Алгебра модуля
элективный курс по алгебре (10 класс) на тему

Элективный курс

«Алгебра модуля»

Составлен учителем математики

средней школы №2 города Сосенский

Калужской области Козельского района

                                                     Муравьёвой Ириной Дмитриевной

2015 год

Аннотация

Данный элективный курс составлен для получения математических знаний по теме «Модули» учащимися школ, интересующихся математикой и желающими овладеть прочными знаниями при подготовке к единому и конкурсному экзаменам. Курс рассчитан на год (34 часа) и может служить дополнительным к теме в основной школе и в профильных классах средней школы.

Пояснительная записка.

Модули – одна из важных тем математики, которая нашла широкое практическое применение, как на едином экзамене, так и на конкурсных экзаменах.

В школьной программе данному выбору посвящены темы в 6-ом классе, а также включены отдельные задания в старших классах общеобразовательных школ, что явно недостаточно для прочного усвоения данного понятия и овладения навыками при решении заданий.

При выполнение программы реализуются следующие задачи:

1.Конкретизировать понятие модуля числа, рассмотреть различные методы решения уравнений и неравенств с модулем, основанные на его определении, свойствах и графической интерпретации.

 2.Уделить внимание вопросам приложения модуля к преобразованиям корней.

3.Организовать практическую направленность курса, показать полное решение заданий, иллюстрирующих тот или иной метод.

4.Подготовить учащихся к обучению в классах с математической направленностью, способствовать более полному и глубокому усвоению таких базовых понятий математике, как предел и производная.

5.Подготовить учащихся к сдаче единого экзамена, так как многие задания экзамена предполагают умение оперировать с модулем.

6.Готовить учащихся к сдаче конкурсного экзамена по математике.

Главная цель данного элективного курса посвящена  систематическому  изложению учебного материала, связанного с понятием модуля числа и аспектами его применения.

Тема 1: Определение модуля числа и его применение при решении уравнений (1 час).

Цели: 1.Познавательная: Конкретизировать понятие модуля, как расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой. Провести аналогию между терминами «модуль» и «абсолютная величина».

Ввести аналогичную запись определения:

    а, если а•0

                                  |а|=        0, если а=0

        -а, если а•0

2.Учебная: Учить раскрывать модуль и решать уравнения на основе определения модуля.

Тема 2: Основные свойства модуля. Применение свойств модуля при решение уравнений и неравенств (2 часа).

Цели: 1.Познавательная: Ввести десять основных свойств модуля с доказательством некоторых из них и рассмотрением этих свойств на конкретных примерах.

2.Учебная: Учить применять свойства модуля при решении уравнений и неравенств.

Тема 3: Построение графиков функций, содержащих выражения под знаком модуля (3 часа).

Цели: 1.Познавательная: Систематизировать умения учащихся в построение графиков функции.

2.Учебная: Учить строить графики различных функций с модулем:

y=|f (x)|,   y=f (|x|),   y=|f (|x|)|,   |y|=|f (x)|,   y=|f (x)|+|g (x)|

Тема 4: Решение уравнений с модулем вида |f(x)| и также уравнений высших степеней, решаемых способом подстановки (1час).

Цели: 1.Познавательная: Познакомить учащихся с классификацией различных видов уравнений и способами их решения.

2.Учебная: Учить решать уравнения и неравенства методами, основанными на определение модуля, а также уравнения, решаемые подстановкой.

Тема 5: Решение уравнений с модулем, связанных с приёмами раскрытия модуля по определению (1 час).

Цели: 1.Познавательная: Показать способы решения уравнения с модулем вида

|f (x)|=a, a ≥ 0 переходом к совокупности:

 f (x) =a

f (x) =-a

конкретизировать представление о совокупности.

2.Учебная: учить решать уравнения данного типа и правильно записывать ответ.

Тема 6: Решение уравнений с модулем вида |f (x)|=g (x) (2 часа)

Цели: 1.Познавательная: Решение уравнений вида |f (x)|=g (x) путём равносильного перехода к системе:

           f (x) =g (x)

           f (x) =-g (x)

           (x) ≥0

Появление посторонних корней при решение уравнений.

2.Учебная: Учить выбирать рациональные пути решения уравнений подобного типа.

Тема 7: Метод интервалов решения уравнений, содержащих модуль

(2 часа)

Цель: 1.Познавательная: Доказать теорему о модуле «Если на интервале (а, в) функция f (x) непрерывна и не обращается в ноль, то она на этом интервале сохраняет знак». Алгоритм решения подобных уравнений.

2.Учебная: Учить решать уравнений, содержащие переменные с несколькими знаками модуля, совершенствовать умения в решение уравнений на промежутках. Учить применять на практике теорему о модуле.

Тема 8: Решение неравенств вида |x|•a; |x|•a посредством равносильных переходов (1 час).

Цель: 1.Познавательная: Доказать на основе определения модуля, что при любом а неравенство |x|•a равносильно системе неравенств:

x•a

x•-a,

а неравенство |x|•a равносильно совокупности неравенств:

x•-a

x•-a

2.Учебная: Учить применять эти теоремы при решение неравенств.

Тема 9: Решение дробно-рациональных уравнений и неравенств, содержащих выражение под знаком модуля (2 часа).

Цель: 1.Познавательная: Решение уравнений и неравенств, содержащих дробное выражение под знаком модуля.

2.Учебная: Закрепить навыки решения разными методами. Совершенствование метода интервалов при решение неравенств.

Тема 10: Решение неравенств вида |f (x)|•|g (x)| и | f (x)|• |g (x)| (1 час).

Цель: 1.Познавательная: Объяснение способов решения неравенств вида

|f (x)|•|g (x)| и | g (x)|• |g (x)| путём равносильного перехода к неравенствам вида f 2(x)• g2(x) и g2(x)• g2(x).

2.Учебная: Совершенствование навыков при решение неравенств, в том числе неравенств квадратных и более высоких степеней.

Тема 11: Решение уравнений и неравенств с модулем на координатной прямой (2 часа).

Цель: 1.Познавательная: Рассмотреть вопрос о расстоянии между двумя точками

   А (х1) и В (х2) координатной прямой, вывести формулу, согласно которой АВ=|х2-х1|. Учить использовать эту формулу при решение уравнений и неравенств вида |х-а|=в, |х-а|=|х-в|, |х-а|•в, |х-а|•|х-в|, |х-а|•|х-в|, а также уравнения и неравенства к ним сводимые.

2.Учебная: Развивать умение при решение уравнений и неравенств данного вида.

Тема 12: Решение различных видов тригонометрических уравнений и неравенств, содержащих переменные под знаком модуля (2 часа).

Цель: 1.Познавательная: Способствовать развитию познавательных интересов  

учащихся к данному вопросу и к математике в целом путём рассмотрения конкретных примеров заданий конкурсного экзамена.

2.Учебная: Совершенствование решения тригонометрических уравнений. Рассмотрение уравнений, содержащих под знаком абсолютной величины различные тригонометрические функции и тригонометрические выражения.

Тема 13: Решение тригонометрических неравенств, содержащих модуль, с помощью графика (2 часа).

Цель: 1.Познавательная: Показать использование графиков тригонометрических

функций для решения тригонометрических неравенств вида |cos x|≥|sin x|,

|sin x|≤|cos x| и т.д., а также рассмотреть способы решения тригонометрических неравенств с использованием единичной окружности.

2.Учебная: Учить искать рациональные пути решения поставленных задач. Совершенствовать навыки построения графиков тригонометрических функций, умения решать неравенства.

Тема 14: Модуль и преобразования корней (2 часа).

Цель: 1.Познавательная: Конкретизировать понятие арифметического корня.

2.Учебная: Учить преобразовывать выражения с использованием тождества:

√а2=|а|.

Тема 15: Модуль и иррациональные уравнения (2 часа).

Цель: 1.Познавательная: Знакомство учащихся с уравнениями, содержащими  

переменную под знаком радикала.

2.Учебная: Учить использовать модуль при решении иррациональных уравнений.

Тема 16: Единый экзамен и задания с модулем (3 часа).

Цель: 1.Познавательная: Повысить интерес к теме модуля, совершенствовать математические навыки путём рассмотрения конкретных заданий из материалов единого экзамена.

2.Учебная: Учить решать и правильно оформлять задания из уровня С.

Тема 17: Модуль и конкурсный экзамен (3 часа).

Цель: 1.Познавательная: Обобщить полученные знания по теме «Алгебра модуля» при решении заданий конкурсных экзаменов ведущих вузов.

2.Учебная: Совершенствование навыков решения заданий конкурсных экзаменов.

Тема 18: Контрольная работа (2 часа).

Цель: Выяснить эффективность занятий курса, уровень усвоения полученных знаний учащимися при выполнении контрольной работы.

Календарно-тематическое планирование.

Итого: 34 часа