Посторонние и потерянные корни.
статья по алгебре (9, 10, 11 класс)
Комплекс уравнений, при решении которых выполняются тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их потере.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 194.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Посторонние и потерянные корни.
Комплекс уравнений,
при решении которых выполняются тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их потере.
Рассмотрим несколько конкретных примеров, где некоторые преобразования уравнений приводят к новым уравнениям, неравносильным данному, что ведёт к появлению посторонних корней или их потере.
Пример 1.
Дано уравнение 3х(х – 1) = 5(х – 1).
1 способ решения:
Раскроем скобки в данном уравнении, перенесём все члены в левую часть и решим квадратное уравнение.
3х² - 8х + 5 = 0
Корни уравнения х = 1, х= .
2 способ решения:
Сократить обе части уравнения на общий множитель (х – 1), то получится уравнение
3х = 5, которое имеет всего лишь один корень х = .
Таким образом, деление обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, может привести к потере корней.
Пример 2.
Дано уравнение 2х -3 = 5 .
Данное уравнение имеет единственный корень х = 4.
Возведём обе части этого уравнения в квадрат, получим (2х – 3)² = 25.
Решая это уравнение, найдём корни: х = -1, х = 4.
Новое уравнение(2х – 3)² = 25 неравносильно исходному уравнению 2х – 3= 5.
Корень х = -1 не является корнем исходного уравнения, следовательно, является посторонним корнем.
Посторонний корень может появиться при возведении обеих частей уравнения в квадрат, вообще в чётную степень.
Пример 3.
= 0.
Сократим дробь, стоящую в левой части уравнения на х и получим уравнение
х·(х – 1) = 0
Решим данное уравнение: х = 0 или х – 1= 0
х = 1,
т.е. корни данного уравнения 0 и 1.
Корнем исходного уравнения 0 не является, так как в исходном уравнении придётся делить на ноль, а так как на 0 делить нельзя, то х = 0 - посторонний корень.
Ответ:1.
Посторонний корень может появиться при сокращении дроби на выражение, содержащее неизвестное.
Пример 4.
= 2 - х
Решение:
Возведём обе части уравнения в квадрат (возведение в чётную степень)
х + 4 = 4 – 4х + х²
х² -5х = 0
х = 0
х= 5
х= 5 – посторонний корень
Так как уравнение f²(х) = g²(х) является уравнением - следствием не только для уравнения
f(х) = g(х), но и для уравнения f(х) = - g(х). Поэтому при возведении в квадрат корни не теряются, но посторонние корни появиться могут. Уравнения не равносильны, но они равносильны на области определения: х 2.
Уравнение исходное можно заменить на равносильную систему
При решении иррациональных уравнений надо делать проверку подстановкой корней в исходное уравнение или использовать ОDЗ в зависимости от того, где вычисления выполняются легче.
Пример 5.
= х – 2
Возведём обе части уравнения в квадрат.
()²= (х – 2)²
2х – 1 = х²- 4х + 4
2х – 1 - х² + 4х – 4 = 0
- х²- 6х + 5 = 0
х = 3 + 2 = 5
х = 3 – 2 = 1
Проверка.
х= 1 х= 5
= 1 – 2 = 5 - 2
1 = - 1 – неверное 3 = 3 – верное
х= 1 – посторонний корень х= 5 – корень
Ответ:5.
Пример 6.
= -х
Возведём обе части уравнения в квадрат (возведение в чётную степень).
()² = (-х)²
1 + х = х²
х² - х – 1 = 0
4х² - 81х – 81 = 0
х=
х= х=
Проверка подстановкой в данном случае будет сопровождаться значительными трудностями при вычислении, поэтому прибегнем к использованию ОDЗ:
Из уравнения = -х -х 0
Подставим в данное неравенство полученные корни.
1) х= Имеем: -· 0 – неверное, т.к. произведение положительного и отрицательного числа отрицательно. Значит, х= - посторонний корень.
2) х= . Имеем: -· 0 – верное, т.к. произведение двух отрицательных чисел положительно. Значит, х= - корень уравнения.
Ответ: .
Посторонние корни могут появиться также при умножении обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, если этот множитель при действительных значениях х обращается в нуль.
Пример7.
+ = |• (х-1).(х-2)0
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, не равный нулю.
1 + 3х – 6 = - х ² + 4х -3
х ² - х – 2 = 0
х = -1 х= 2
Проверку в дробно – рациональных уравнениях делаем по условию неравенства нулю знаменателя, проверяем условие (х-1).(х-2)0
х = -1 х = 2
(-1 – 1)(-1 – 2) 0 (2 -1 )(2 – 2) 0
60- верное 00 – неверное
х- корень уравнения х- посторонний корень
Ответ: -1.
Причиной изменения множества корней уравнения во время его преобразования является применение равенств, правая и левая части которых имеют разные области определения. Вот некоторые из них:
• х = ()²
• = ·
• log(х·у) = logх + logу
• logх² = 2logх
• tg(x +y) =
• sin x =
В каждом из этих равенств область определения выражения, стоящего в правой части, является подмножеством области выражения, стоящего в левой части. Поэтому использование этих равенств слева направо может привести к потере корней, а справа налево – к появлению посторонних корней.
Пример 8.
log(х – 2) + log(х+3) = 2
Решение:
По свойству логарифмов имеем:
log(х – 2)(х + 3) = 2
(х – 2)(х + 3) = 36
х² + х - 6 -36 = 0
х² + х – 42 = 0
х =6 и х =-7 х = -7 – посторонний корень
Исходное и последнее уравнения неравносильны в ОDЗ
Чтобы исключить посторонний корень надо использовать ОDЗ или уравнение заменить равносильной системой
Пример 9.
3sinx + 4 cos x = 5
3 + 4 = 5
= 0
(3tg-1)² =0
tg =
= arctg +, n
х = 2arctg+ 2, n
При переходе от уравнения (1) к уравнению(2) могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения cos=0 корнями данного уравнения.
cos=0
= + 2, n
х = , n
Проверка.
Если х = , n,тогда 3sin() + 4cos () = 5, х
0 + 4(-1) = 5 – не верно, значит х = , n, не является корнями исходного уравнения.
Ответ: х = 2arctg+ 2, n
Итак, в процессе решения каждое уравнение заменялось на какое-то новое, а у нового уравнения естественно могут быть свои корни. Проследить за изменением корней, не допустить их потери и отбросить лишние корни – это и есть задача правильного решения уравнений.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Выход из одиночества…Урок внеклассного чтения в 10 классе. (Экзистенциальное восприятие мира в повести А. Камю «Посторонний»)
«Посторонний» – яркий пример экзистенциализма, основным критерием которого является п...
![](/sites/default/files/pictures/2013/08/07/picture-278857-1375881072.jpg)
Типичные ошибки в решении задания С1(потеря корней, появление «посторонних» корней)
В презентации для подготовки к ЕГЭ по математике представлены решения двух заданий (тригонометрических уравнений), где подробно рассмотрены возможности появления посторонних корней и потери корн...
![](/sites/default/files/pictures/2016/09/11/picture-814506-1473607699.jpg)
Самостоятельная работа на тему «Комплекс уравнений, при решении которых выполняется тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их потере, с анализом процесса решения»
Вашему вниманию предлагаю самостоятельную работу на тему «Комплекс уравнений, при решении которых выполняется тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их...
![](/sites/default/files/pictures/2018/04/02/picture-516030-1522677368.jpg)
ПРАВИЛА пребывания на территории школы посторонних лиц
Летний оздоровительный лагерь "Зеленая планета", июнь 2017г...
![](/sites/default/files/pictures/2021/02/07/picture-46520-1612705547.jpg)
Конспект мероприятия "Конкурс рисунков на асфальте "Добро пожаловать. Или посторонним вход воспрещён", посвящённого Дню солидарности в борьбе с терроризмом.
Занятие рекомендуется проводить с детьми младшего школьного возраста.Занятие проводится в форме доверительной беседы взрослого и детей. При этом взрослый должен не напугать детей, не научить их видеть...
![](/sites/default/files/pictures/2018/07/27/picture-1047821-1532684160.jpg)
Самостоятельная работа «Комплекс уравнений, при решении которых выполняется тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их потере, с анализом процесса решения»
Работа в помощь слушателям курсов преподавания алгебры...
![](/sites/default/files/pictures/2019/07/12/picture-1152559-1562905646.jpg)
Статья "Координаты счастья героев А.Камю (по повести «Посторонний»)"
Что есть счастье? «Чувство и состояние полного, высшего удовлетворения», как диктуется в толковом словаре. Чаще всего оно заметно по сверкающим глазам и искренней улыбке. Но возможно ли сч...