Техника вычисления пределов.
методическая разработка по алгебре (10 класс)

Теория пределов. Основные понятия и формулы.

Определение: Число А называется пределом функции y=f(х) при х, стремящемся к а, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε существует такое положительное число δ, что для всех x, удовлетворяющих условиюδ , выполняется неравенство ε . 
Предел функции в точке а обозначается .

Основные теоремы о пределах:

1.  ;
2.  ; 
3.  ;
4.  ;
5.  ;
6.  

Примечание: Все правила имеют смысл, если пределы функций f(x) и g(x) существуют.

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Следствия из первого замечательного предела

1.   

2.   

3.     

4.     

Пример1.

Найти предел  

Разложим tgx на sinx и cosx и воспользуемся свойствами пределов.

= ====

===

Ответ: = 

Второй замечательный предел   

Следствия из второго замечательного предела

1.   

2.    

3.    

4.    

5.   

6.    

Пример2.

Найти предел

Подставим , получим неопределённость и для решения предела воспользуемся вторым замечательным пределом.

=

Ответ:.

Техника вычисления пределов

а) Чтобы раскрыть неопределенность типа ,  необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной. 
б) Чтобы раскрыть неопределенность типа , где под знаком предела стоит рациональная дробь, достаточно числить и знаменатель дроби разложить на множители и затем сократить дробь на множитель, приводящий к неопределенности. 
в) Чтобы раскрыть неопределенность типа, если под знаком предела стоит иррациональная дробь, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на сопряженный множитель и сократить множитель, приводящий к неопределенности. 
г) Необходимо помнить, что 

1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как

, ,   и т.д.

Пределы с неопределенностью вида      и метод их решения

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Пример3.

        Вычислить предел

 Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида .

Для того, чтобы раскрыть неопределенность   необходимо разделить числитель и знаменатель на x в старшей степени.

==(*)

Разделим числитель и знаменатель на x

(*)====

Ответ: 

Пример 4.

Найти предел   
В числителе и знаменателе находим x в старшей степени:

Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае 4
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности   делим числитель и знаменатель на  .

Полное оформление задания может выглядеть так:

==(*)

Разделим числитель и знаменатель на  

=====0

Ответ: 0

Пример 5.

Найти предел 
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 (x можно записать как )
Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:

==(*)

Разделим числитель и знаменатель на 

(*)====

Ответ: 

Под записью   подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число (.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида  у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

Пределы с неопределенностью вида    и метод их решения

Пример 6. 

Решить предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь: = 
В данном случае получена так называемая неопределенность
 

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. 

==(*)

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

(*)===

Ответ:

Пример 7.

Вычислить предел 

Сначала «чистовой» вариант решения

(*)

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: 
Знаменатель:

(*)22

Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.
Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. 

 встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).

, то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Пример 8.

Найти предел 

Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела 

Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.

(*)

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности  используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Умножаем числитель на сопряженное выражение:

(*)

=

Ответ:

Пример 9.

Найти предел 

Окончательное решение примера может выглядеть так:

=(*)

Разложим числитель на множители:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

(*)=

Ответ: 

Правило (теорема) Лопиталя.

Пусть функция и удовлетворяют следующим условиям:

1) эти функции дифференцируемы в окрестности точки , кроме, может быть, самой точки ;

2)  и в этой окрестности;

3)

4) существует, конечный или бесконечный.

Тогда существует и , причем

Таким образом, вычисление предела отношения двух функций может быть заменено, при выполнении условий теоремы вычислением предела отношения производных этих функций.

Замечание: Правило Лопиталя распространяется на случай неопределенности типа  при

Применение правила Лопиталя на практике.

Пример 10.

Найти предел

Получаем неопределенность:

(*)

Воспользуемся правилом Лопиталя:

(*)

Ответ: 0

Замечание:

Правило Лопиталя распространяется и на случай . Чтобы убедиться в этом, достаточно сделать замену  и воспользоваться результатом выше приведенной теоремы.

Замечание: Иногда правило Лопиталя приходится применять несколько раз (делать несколько шагов), если от неопределенности не удается избавиться на первом шаге. Однако условия теоремы на каждом шаге должны оставаться справедливыми.

Замечание: Хотя правило Лопиталя работает только с неопределенностями  и, неопределенности других типов могут быть раскрыты с его помощью, если путем преобразований удастся привести изучаемую неопределенность к указанному типу.

Пример 11.

Найти предел

Получаем неопределенность не подходящую под правило Лопиталя

 (*)

Приведем ее к нужному виду

(*) (*)

 и для решения воспользуемся правилом Лопиталя

(*)

Ответ: