Методическая разработка по теме «Предел функции. Вычисление пределов»
методическая разработка по алгебре

УЧЕБНАЯ ДИСЦИПЛИНА

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ  М ЕТОДЫ В ПРОФЕССИОНЛЬОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Методическая разработка по теме

«Предел функции. Вычисление пределов»

подготовила

преподаватель

математических     дисциплин

                                                                 Сахипгарееа Н.И.

2025

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

        Методическая разработка по теме «Предел функции. Вычисление  пределов» составлена в соответствии с требованиями ФГОС СПО третьего поколения.

        Предлагаемая методическая разработка включает основной теоретический материал по теме «Предел функции», методику нахождения предела функции в условиях неопределенности, решение типовых примеров, задания для самостоятельной работы обучающихся  по теме с ответами и варианты проверочной работы.

        Тема, рассмотренная в методической разработке, является одной из основных тем дисциплины «Математика» и вспомогательным материалом для изучения других тем. Например, при рассмотрении производной функции и ее приложений.

Методическую разработку можно использовать как на уроках, так и  для организации индивидуальной и самостоятельной работы обучающихся, на дополнительных занятиях и консультациях. В качестве дополнительного материала она может быть использована на факультативных занятиях по математике.

Цель методической разработки – помочь обучающимся в освоении материала по теме «Вычисление пределов функций» и получить необходимые практические навыки по применению теоретического материала в условиях конкретного задания.

ПРЕДЕЛ   ФУНКЦИИ

Определение предела функции  

Рассмотрим функцию  на области определения . Возьмем точку  и найдем значение функции в фиксированной точке . Если , то , т.е. .

* Число а называется пределом функции  при и обозначается: .

*Значение  называется предельным значением аргумента.

* Если функция имеет предел в точке , то он единственный.

Бесконечно большие и бесконечно малые функции

* Функция  называется бесконечно малой  в точке , если  ее  предел   в    этой точке равен нулю, т.е. .

* Функция  называется бесконечно большой  в точке , если ее предел в этой точке равен бесконечности, т.е. .

*  Функция, обратная бесконечно малой является  бесконечно большой и наоборот:

1)   если ,  тогда  .

2)  если   , тогда .

Свойства пределов

1)  .        3)  .

2)  .                4)   ,  ≠ 0.

5)  , где f(x) − элементарная функция.

Вычисление пределов

Нахождение предела функции сводится к подстановке в функцию предельного значения аргумента.

Пример.

Найти пределы:         

1) .

2) .

3) .

4) ,  т.к.   и   .

Задачи для самостоятельной работы

Найти пределы:

1.                6.                                 11.          

2.                                 7.                                 12.  

3.                                 8.                          13.

4.                                 9.                 14.                    

5.                         10.                          15.         

Ответы.

1. 11        2. 2                         3. 0                        4.                                  5.                

6. ℮ - 1         7. 0                          8.                                 9. –                                  10.                  

11. +                12. +                     13.  0                                  14. 0                        15. 0               

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

* Часто подстановка предельного значения аргумента приводит к выражениям

вида   , ,  которые  называются неопределенностями.

* Нахождение предела в этих случаях называется раскрытием неопределенности.

Неопределенность  

Неопределенность  вида  раскрывается путем деления числителя и знаменателя на переменную в старшей степени.

Пример.

Найти пределы:  

1) 

=. 

Делим числитель и знаменатель дроби на переменную в старшей степени − х3.

2) .

Делим числитель и знаменатель дроби на переменную в старшей степени − х.

Для раскрытия неопределенности вида  можно использовать правило:

1. если степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен бесконечности;
2. если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел равен нулю;
3. если степени числителя и знаменателя равны, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях.

Неопределенность  

Неопределенность вида    раскрывается с помощью алгебраических преобразований, которые приводят  к сокращению дроби:

1. если функции числителя и знаменателя рациональные, то используется разложение числителя и знаменателя на множители;
2.  если хотя бы одна из функций − числителя или знаменателя −     иррациональная, то  числитель и знаменатель дроби   умножаются на функцию, сопряженную иррациональной.

Пример.

Найти пределы:  

1) = =

Раскладываем числитель и знаменатель на множители. В числителе выносим общий множитель,  в знаменателе используем формулу разность квадратов.

2) = =

Раскладываем числитель и знаменатель на множители. В знаменателе находим корни квадратного трехчлена,  в числителе используем формулу сокращенного умножения − квадрат разности.

3) = =

=    

= .

Т.к. функция знаменателя иррациональная, то числитель и знаменатель дроби умножаются на функцию, сопряженную иррациональной. Для функции    сопряженной будет  функция  .

Неопределенность

Неопределенность вида   с  помощью различных алгебраических  

преобразований сводится  к неопределенностям  или  .

Пример.

Найти пределы:  

1)  ==.

Приводим дроби к общему знаменателю.

2)  = =

=.        

Умножаем  на функцию, сопряженную данной иррациональной.

Задачи для самостоятельной работы

Найти пределы:

1.                         8.                          15.

2.                         9.                           16.

3.                        10.                 17.    

4.                         11.         18.

5.                 12.                 19.        

6.                 13.                 20.

7.                 14.                           21.

Ответы.

1. 6                2. 0                   3. 0,5                4. –12                      5. 0,2                     6.                 7. 5           

8. 6                   9.                    10. −               11.                   12. − 7                  13.                14. 2             

15. 0                   16. 0                 17.               18.              19.                   20. −           21. 0                

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА  

Найти пределы:

Вариант 1

1.                                  2.                                3.                 

4.                             5.                          6.  

Вариант 2

1.                                 2.                                    3.     

4.                          5.                          6.         

Вариант 3

1.                                2.                            3.       

4.                           5.                          6.  

Ответы.

ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

МЕТОДИЧЕСКОЙ РАЗРАБОТКИ

1. Башмаков М.И. Математика. Книга для преподавателя: методическое пособие  для НПО, СПО. –  М.: Академия, 2013 – 224с.

2. Башмаков М.И. Математика. Задачник: учеб. Пособие для образоват. Учреждений нач. и сред. проф. образования. –  М.: Академия, 2013 – 416с.

3. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 – 11 кл. / Под ред. Колмогорова А.Н. – 11 изд. – М.: Просвещение, 2009 – 384 с.

4. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа./ Под ред. Яковлева Г.Н. – М.: Наука, 2008 – 294 с.

5. Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник для средних специальных учебных заведений. – М.: Академия, 2006 – 241 с.

6. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учебное пособие, 5–е издание. – М.: Высшая школа, 2009 – 323 с.