Открытый урок по математике "Квадратные уравнения"
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

МКОУ  «Кищинская МПГ» Дахадаевского района Республика Дагестан.

Открытый урок на тему: «Квадратные уравнения»

                                                8 класс

Разработала и провела учительница математики                                 МКОУ «Кищинской многопрофильной гимназии»

Муртазалиева Патимат Курбановна.

Кища 2019 год

Тема урока. Формула корней квадратного уравнения.

Тип урока. Изучение нового материала.

Цели урока:

Образовательные:Ввести формулу нахождение корней квадратного уравнения,изучить новый приёмрешения квадратных уравнений по формуле, учить применять при решении уравнений.

Воспитательные:воспитать чувство сплоченности и дисциплины,воспитывать стремление к достижению цели, уважительное отношение к старшим и друг другу,  взаимопомощь, интерес к математике.

Развивающие:Развивать грамотную математическую речь. развивать память, внимание, логическое мышление, умение правильно и последовательно рассуждать.

Задачи урока: Вывести формулу корней квадратного уравнения, учить применять её при решении квадратных уравнений,научить находить дискриминант квадратного уравнения.

Оборудование к уроку: компьютер, мультимедийный проектор.

Структура урока:

1.Организация класса

2. Актуализация знаний.

3. Постановка проблемы.

4. Открытие нового знания.

5. Первичное закрепление.

6. Фронтальная работа с классом.

7. Работа в парах.

8. Самостоятельная работа.

9. Подведение итогов урока.

10. Домашнее задание.

Математику нельзя не любить –  её можно только не знать.

Ход урока.

1.Организация класса.

Сегодня у нас не совсем обычный урок, к нам пришли гости. Посмотрите на наших гостей, улыбнитесь им, посмотрите друг на друга и тоже улыбнитесь, ведь от улыбки станет всем теплей, поднимется настроение.

2. Актуализация знаний. (слайд 1)Решить линейные уравнения.Определения уравнений.Корень уравнения.

Какие уравнения вы видите на экране? (Квадратные)

 – Докажите, что данные уравнения квадратные.

 – Перечислите виды квадратных уравнений, изображенных на экране. (Неполные квадратные уравнения, полные квадратные уравнения, приведенные и неприведенные квадратные уравнения).

 – Какие методы вы применяете при решении квадратных уравнений? (1. При решении неполных  квадратных уравнений следует воспользоваться определением квадратного корня (когда нет слагаемого при х), либо вынесением х за скобки; 2. Выделение полного квадрата).

 3.Постановка проблемы.

- Решите уравнение 3х2 +7х +1 = 0 методом выделения полного квадрата за 1 минуту.

Учащиеся не успевают за отведенное время решить уравнение.

Вопросы учителя:

- Почему не решили уравнение? ( Не хватило времени.)

- Почему  не хватило времени? (Приходится работать с дробными числами).

- Что же вы будете делать, если вам предложат решить уравнение 67х2 – 105х+172=0?

- Удобны ли известные нам способы решения квадратных уравнений для решения последних двух уравнений? ( Нет.)

- Какой выход вы предлагаете? ( Найти новый способ решения квадратных уравнений.)

- Какую цель мы перед собой поставим на этом уроке? ( Попробовать найти другой способ решения квадратных уравнений.)

-Запишем тему урока «Решение квадратных уравнений по формуле.»

4.Открытие нового знания.

История алгебры уходит своими корнями в древние времена.

Задачи, связанные с уравнениями решались ещё в Древнем Египте и Вавилоне. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов.

В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач.

Вывод формулы корней квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако он признавал только положительные корни. Итальянские математики 16 в. учитывают помимо положительных и отрицательные числа. Лишь в 17 в. благодаря трудам Ньютона, Декарта и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.( Слайд 2)

Над проблемой решения квадратных уравнений математики бились в течение нескольких тысячелетий.

Вы же легко научитесь решать любое квадратное уравнение на этом уроке, на зависть математикам Древней Греции и Индии.

Чтобы каждый раз не проводить громоздкие вычисления, нам достаточно один раз решить уравнение в общем виде и получить готовые формулы для корней квадратного уравнения.

ах2+ bx +c = 0                              

- Попробуем установить, как связаны корни квадратного уравнения с числами а, b, с.

- Числа а, b, с мы видим в квадратном уравнении, а корней – нет. Что будем делать? ( Искать корни.)

Для начала надо выделить в уравнении полный квадрат. Для этого разделим уравнение на старший коэффициент а.

x2 + +  = 0

Теперь получим формулу квадрата суммы. Для этого сначала добавим, а затем вычтем выражение .

.    

Преобразуем полученное уравнение.

= 0      

В левой части запишем квадрат суммы, а в правую  перенесём всё остальное.

Теперь упростим правую часть, т.е. из одной дроби вычтем другую.

.

Обратите внимание на знаменатель в правой части. Отрицательное или положительное это число? Знаменатель этой дроби всегда положительный.

Значит,только от числителя, стоящего в правой части, зависит, сколько корней имеет это квадратное уравнение. Поэтому такой числитель и удостоился в математике собственного имени. Его называют дискриминантом квадратного уравнения и обозначают буквой D.

.

В математике довольно редко бывает так, чтобы введённый термин не имел, образно выражаясь, житейской подоплеки. Вспомните слово «дискриминация». Что оно означает? Оно означает унижение одних и возвышение других, т.е. различное отношение к различным людям. Оба слова (и дискриминант, и дискриминация) происходят от латинскогоdiscriminans – различающий. Дискриминант различает квадратные уравнения по числу корней

В зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение может иметь один или два корня, а может не иметь корней вообще.

Рассмотрим каждый из этих случаев.

, D< 0.  

Если дискриминант меньше нуля, то квадратное уравнение корней не имеет.

, D= 0,  

Если дискриминант равен нулю, то квадратное уравнение имеет только один корень.

x =  .

 , D> 0.

Если дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет ровно два различных действительных корня, причём получить их можно по готовой формуле. А полученные при этом формулы мы и будем использовать в дальнейшем для нахождения корней.

 ,   ,    x = ,   x =.

 – формула корней квадратного уравнения.

5. Первичное закрепление.

Пример 1. Решить уравнение  3х2 + 8х – 11 = 0.

a = 3, b = 8, c = –11

D = b2 – 4ac = 82 – 4 · 3 · (–11) = 64 + 132 = 196, D > 0

Ответ. 1; –3.

Пример 2. Решить уравнение – 9х2+6х – 1 = 0.

Как показывает опыт удобнее иметь дело с квадратными уравнениями, у которых старший коэффициент положительный. Поэтому сначала умножим обе части уравнения на  –1, получим:

9х2– 6х + 1 = 0

D = 0, x = .

x =

Это уравнение можно было решить по другому: так как  9х2– 6х + 1= (3х – 1)2, то получаем уравнение(3х – 1)2 = 0,

                      3х – 1 = 0,

x = .

Пример 3.Решить уравнение2х2 – х+3,5 = 0.

D = – 27,  D< 0.

Уравнение не имеет корней.

6. Фронтальная работа с классом.

№25.5 (а, б)

а) х2 – 5х + 6 = 0,  D = 1, x1 = 2, x2 = 3;

б) х2 – 2х – 15 = 0,  D = 64, x1 = –3, x2 = 5.

7. Работа в парах.

№ 25.7 (а, б, в) (по очереди объясняют решение уравнений друг другу)

а)2х2 + 3х + 1 = 0,  D = 1, x1 = , x2 = –1;

б)3х2 – 3х + 4 = 0,  D = –39, корней нет;

в)5х2 – 8х + 3 = 0,  D = 4, x1 = 1, x2 = 0,6.

8. Самостоятельная работа.

№ 25.6 (по вариантам)

1 вариант

а) х2 + 42х + 441 = 0,  D = 0, x = , x = –21;

б) х2 + 8х + 7 = 0,  D = 36, x1 = –1, x2 = –7.

2 вариант

в) х2 – 34х + 289 = 0,  D = 0, x = , x2 = 17;

г) х2+ 4х – 5 = 0,  D = 36, x1 = 1, x2 = –5.

9. Подведение итогов урока. Оценки.

1) Какую цель мы поставили перед собой на этом уроке?

2) Почему она возникла?

3) Достигли ли мы своей цели?

Ребята, прочитайте пословицу “ Математика – гимнастика ума”.

Что такое гимнастика?

Выслушав ответы, учитель подводит итог:

Гимнастика – это система упражнений для физического развития человека;гимнаст – человек ловкий, стройный, сильный, пластичный, красивый.

Математика также много даёт для умственного развития человека – заставляет думать, соображать, искать простые и красивые решения, помогает развивать логическое мышление, умение правильно и последовательно рассуждать, тренирует память, внимание, закаляет характер.

10. Домашнее задание.

Самым трудным и важным делом для каждого ученика является выполнение домашнего задания. Если домашнее задание выполнено правильно, то на уроке вы чувствуете себя гораздо увереннее.

§25,  № 25.4 , № 25.8