МБОУ  «Физико-математический лицей»

Геометрический смысл производной. Задачи на касательную

Учитель высшей квалификационной категории:  Маслова Галина Юрьевна

2018-2019 учебный год

На изучение темы «Производная и ее применение» в рамках программы «Алгебра и начала математического анализа» выделено 40 часов: 4 часа на изучение геометрического смысла производной и решение задач на

Лекции:

Семинары:

и еще 6 часов в рамках программы элективного курса  «Теория и практика решения  задач повышенной трудности по алгебре»

Лекции:

Семинары:

                                    Немного теории

Геометрический смысл производной: производная функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в данной точке.

Уравнение касательной имеет вид:

Типовые задачи на касательную и геометрический смысл производной

1. Используя геометрический смысл производной, найти значение производной функции в точке;
2. Используя геометрический смысл производной, выяснить, в какой из точек производная функции принимает наибольшее ( наименьшее ) значение;
3. Написать уравнение касательной к графику функции, если задана точка касания;
4.  Написать уравнение касательной к графику функции в точке, не являющейся точкой касания;
5. Написать уравнение касательной к графику функции, параллельной(перпендикулярной) заданной прямой.

Более сложные задачи на касательную

1 )Определение угла между кривой и положительным направлением оси Ох;

2)  Определение угла между  касательными;

3) Определение угла между  кривыми;

4) Нахождение площади треугольника, отсекаемого касательной к графику функции;

5) Использование уравнения касательной в задачах с параметром.

Примеры решения задач

Задачи по материалам ЕГЭ

Задание 1

На рисунке изображен  график функции и касаткльная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функц  в точке х0.

                       Ответ:а)2;б)-0,25

Задание 2

На рисунке изображен  график производной функции  у=f(x).Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

              Ответ:-3

Задание 3

Прямая у=3х+4 является касательной к графику функции у=х2-3х+с. Найдите с.

                                       Ответ:7

Задание 4

На рисунке изображен график функции и отмечены точки  -2;

-1;1;4.В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

        Ответ :4

Задачи  на касательную

Задание 1

Составить уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой 1.

Решение.

Задание 2

На графике функции     найти такую точку, касательная к которой параллельна прямой   y=5x+2.              Ответ: 6

Задание 3

Для графика функции     написать уравнения касательных, проходящих через начало координат.

                                                                                         Ответ : у=20х; у=-20х

Углы между графиками функций

Задание 1

Под каким углом синусоида    пересекает ось Ох в начале координат.

                                                                                           Ответ:60

Задание 2

Найти  угол между касательными к графику функции  в точках с абсциссами -1 и 0.

                                                                                             Ответ:45

Определение. Углом между графиками функций y=f(x)  и   y=g(x) в точке их пересечения называется угол между их касательными в этой точке.

y

Задание 1

Найти угол между графиками функций     и    в точке их пересечения с положительной абсциссой.

                                                                                        Ответ:arctg 0,75

Задание 2

 Найти величину угла под которыми пересекаются окружности    и

                                                                                         Ответ:45

Задача на площадь

Найдите площадь треугольника, вершины которого лежат на графике функции  и имеют абсциссы 11 и -11, а  третья вершина является пересечением касательных, проведенных к графику данной функции в двух первых вершинах треугольника.

Решение

1. Точки А(11;-18) и В(-11;-18)- две вершины треугольника.
2. Напишем уравнения касательных  к графику этой функции в точках А и В:

А(11;-18) :y=-18-2,25(х-11);    у=-2,25х+6,75

 В(-11;-18): у=-18+2,25(х+11);   у=2,25х+6,75

   3.     С(0;6,75)-третья вершина  треугольника

  4.      

                                                                                                         Ответ.74,25

Задача на составление уравнения общей касательной

Составить уравнение общей касательной к графикам функций   и

Решение

Х1-абсцисса точки касания с графиком первой функции;

Уравнение касательной в точке Х1:

Х2-абсцисса точки касания с графиком второй функции

   ;

Уравнение касательной в точке Х2:

Так как касательная общая, то    

Таким образом, у графиков функций две общих касательных:

у=3х-2 и    у=

                                                                                  Ответ. у=3х-2 ;    у=

Задача с параметром(по материалам ЕГЭ)

Определите ,при каких значениях параметра а уравнение имеет ровно два решения.

Решение

Замена:

Уравнение .

Если a=0.

Если a<0,то уравнение имеет единственное решение

Если a>0,то уравнение имеет единственное решение, если прямая y=t касается графика функции ,что задается системой условий: