Главные вкладки

    Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике - Геометрический смысл производной. Задача В8.
    материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10 класс) по теме

    Справочный материал и задания с решениями по теме"Геометрический смысл производной. Задача В8".

    Скачать:


    Предварительный просмотр:

    ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ В8

    Задача1.  На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

     Решение. Отметим на оси границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:

    Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.

    Ответ: −3

    Задача 2. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

    Решение. Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:
    Δx = x
    2 − x1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y2 − y1 = 6 − 2 = 4.

    Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

    Ответ: 2

    Задача 3. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

    Решение. Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
    Δx = x
    2 − x1 = 3 − 0 = 3; Δy = y2 − y1 = 0 − 3 = −3.

    Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

    Ответ: −1

    Задача 4. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

    Решение. Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
    Δx = x
    2 − x1 = 5 − 0 = 5; Δy = y2 − y1 = 2 − 2 = 0.

    Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

    Ответ: 0

    Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график.

    Задача 5. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

    Решение. Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:

    Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.

    Ответ: 5

    Задача 6. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

    Решение. Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:

    Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:
    −1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

    Ответ: 14

    Задача 7. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

    Решение. Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:

    Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины: l1 = − 6 − (−8) = 2;l2 = 2 − (−3) = 5.

    Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение  l2 = 5.



    Предварительный просмотр:

    Точки минимума и максимума функции.

    Точка экстремума  - общее название для точки минимума и точки максимума. Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x0) ≥ f(x). Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x0) ≤ f(x).

    Необходимое условие существования экстремума: если  — точка экстремума и в этой точке существует производная, то она равна нулю, то есть . В этом случае касательная, проведенная к графику функции будет параллельна оси ОХ.

    Достаточное условие существования экстремума: если функция y=f (x) непрерывна в точке и при переходе через производная меняет знак , то  — точка экстремума.

    Признак минимума функции: если функция y=f (x) непрерывна в точке и производная меняет знак с минуса на плюс, то  — точка минимума.

    Признак максимума функции: если функция y=f (x) непрерывна в точке и производная меняет знак с плюса на минус , то  — точка максимума.


    Точки минимума и максимума функции.

    Нахождение точек минимума и максимума функции по графику производной.

    Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, необходимы  следующие шаги:

    1. Отметить на координатной оси границы определения функции и нули производной.

    Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x0 известно, что f’(x0) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x0) ≥ 0 или f’(x0) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.

    1. Там, где знак нуль производной меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.

    Пример.  На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

                     

     Решение. Отметим на оси границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:

                       Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.

    Ответ: −3



    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    Материалы к ЕГЭ по теме"Геометрический смысл производной"

    Данный материал - это  тест-тренажер по теме"Геометрический смысл производной"...

    Самостоятельная работа по теме:"Геометрический смысл производной в задачах ЕГЭ"

    Самостоятельная работа 6 вариантов. Задачи егэ по математике по теме:"геометрический смысл производной"...

    Материалы к уроку по теме "Геометрический смысл производной"

    Материалы к уроку алгебры 11 класса по теме "Геометрический смысл производной"....

    Готовимся к ЕГЭ по математике. "Геометрический смысл производной. Угловой коэффициент касательной". Самостоятельная работа ( 26 вариантов )

    Готовимся к ЕГЭ по математике. "Геометрический смысл производной. Угловой коэффициент касательной".  26 вариантов самостоятельной работы составлены из задач открытого банка заданий ЕГЭэ...

    Геометрический смысл производной: три способа решения задачи на касательную

    Предлагаю материал для самообразования учащихся по теме: «Геометрический смысл производной»...

    Методическая разработка по теме "Геометрический смысл производной. Задачи на касательную"

    Материал содержит планирование по теме, основные теоретические моменты и подбор задач.Рассматриваются типовые задачи на касательную,Более сложные задачи на составление общей касательной, на определени...

    Методическая разработка по теме "Геометрический смысл производной. Задачи на касательную"

    Современный урок математики в аспекте реализации задач ФГОС...