Задачи-ловушки на ЕГЭ по математике
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10, 11 класс)

Задачи-ловушки на ЕГЭ по математике

В 1. Простейшие текстовые задачи

Единый государственный экзамен по математике является обязательным испытанием для всех выпускников российских школ. Абсолютно все 11-классники должны сдавать ЕГЭ по математике базового уровня, а если выпускник планирует после окончания школы поступать в вузы на специальности, где требуются результаты экзамена по математике, ему необходимо сдать ЕГЭ профильного уровня. С каждым годом экзамены меняются, усложняются и совершенствуются задания. Поэтому в ходе подготовки к испытаниям необходимо учитывать все нюансы и подводные камни предстоящего ЕГЭ. 

Все задачи с кратким ответом на самом экзамене (профильный уровень) безошибочно решает лишь небольшая часть сдающих, а именно около 25 процентов.

В1. Простейшие текстовые задачи

1. Показания счётчика электроэнергии 1 ноября составляли 12 625 кВт·ч, а 1 декабря — 12 802 кВт·ч. Сколько нужно заплатить за электроэнергию за ноябрь, если 1 кВт·ч электроэнергии стоит 1 рубль 80 копеек? Ответ дайте в рублях.

Решение.

Расход электроэнергии за ноябрь составляет 12 802 − 12 625 = 177 киловатт-часов. Значит, за ноябрь нужно заплатить 1,8 · 177 = 318,6 рубля.

 Ответ: 318,6.

2. Маша отправила SMS-сообщения с новогодними поздравлениями своим 16 друзьям. Стоимость одного SMS-сообщения 1 рубль 30 копеек. Перед отправкой сообщения на счету у Маши было 30 рублей. Сколько рублей останется у Маши после отправки всех сообщений?

Решение.

За 16 SMS-сообщений Маша заплатила 16 · 1,3 = 20,8 рубля. Значит, после отправки всех сообщений у Маши осталось: 30 − 20,8 = 9,2 рубля.

 Ответ: 9,2.

3. Бегун пробежал 50 м за 5 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

Решение.

Средняя скорость бегуна 50 : 5 = 10 м/с. Переведем метры в секунду в километры в час:

1 м/с = 60 м/мин = 3600 м/ч = 3,6 км/ч.

Поэтому 10 м/с = 36 км/ч.

 Ответ: 36.

4. Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 3300 рублей. До установки счётчиков за воду платили 800 рублей ежемесячно. После установки счётчиков ежемесячная оплата воды стала составлять 300 рублей. Через какое наименьшее количество месяцев экономия по оплате воды превысит затраты на установку счётчиков, если тарифы на воду не изменятся?

Решение.

Установка счетчиков позволяет ежемесячно экономить 800 − 300 = 500 руб. Значит, они окупятся через 3300 : 500 = 6,6 месяца или за 7 полных месяцев.

Ответ:7

5. Сырок стоит 7 рублей 20 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 60 рублей?

Решение.

Разделим 60 на 7,2:

Значит, на 60 рублей можно купить 8 сырков.

Ответ: 8.

6. Сколько рейсов должна сделать автомашина грузоподъемностью 3 т для перевозки 10 м3 цемента, плотность которого 2800 кг/м3?

Решение.

По условию задачи, мы знаем грузоподъемность одного грузовика (3 тонны) и общее количество груза, которое необходимо перевезти (28 тонн). Для того, чтобы определить количество грузовиков, необходимых для перевозки всего груза, нужно 28 тонн разделить на 3 тонны. В результате получаем 28/3 = 9 целых 1/3. По логике, 9 машин не хватит для перевозки всего груза, а, значит, необходимо 10 машин для перевозки всего груза.
Ответ: чтобы перевезти 28 тонн груза, необходимо 10 грузовиков

28000/3000=9,3 надо 10

Ответ: 10.

7. На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 30 рублей за штуку. У Вани есть 500 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения?

Решение.

Разделим 500 на 30:

Ване хватает денег на 16 тюльпанов, но цветов должно быть нечетное число. Следовательно, Ваня может купить букет из 15 тюльпанов.

 Ответ: 15.

8. Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в течение 21 дня. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?

Решение.

Больному нужно выпить 0,5 · 3 · 21 = 31,5 г лекарства. В одной упаковке содержится 0,5 · 10 = 5 г лекарства. Разделим 31,5 на 5:

Значит, на курс лечения шести упаковок не хватит, требуется 7 упаковок.

 Ответ: 7.

9. В университетскую библиотеку привезли новые учебники для трёх курсов, по 360 штук для каждого курса. В книжном шкафу 9 полок, на каждой полке помещается 25 учебников. Какое наименьшее количество шкафов потребуется, чтобы в них разместить все новые учебники?

Решение.

Всего привезли 360 · 3 = 1080 учебников. В книжном шкафу помещается 25 · 9 = 225 учебников. Разделим 1080 на 225:

Значит, чтобы вместить все книги понадобится 5 шкафов.

 Ответ: 5.

Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Решение.

10.  Цена чайника после повышения стала составлять 116% от начальной цены. Разделим 3480 на 1,16:

Значит, цена чайника до повышения составляла 3000 рублей.

 Ответ: 3000.

11. В городе N живет 200 000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых жителей 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т. п.). Сколько взрослых жителей работает?

Решение.

Численность детей в городе N составляет 200 000 · 0,15 = 30 000. Численность взрослого населения 200 000 − 30 000 = 170 000 человек. Из них не работает 170 000 · 0,45 = 76 500 человек. Значит, работает 170 000 − 76 500 = 93 500 человек.

 Ответ: 93 500.

12. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?

Решение.

Пусть заработная плата Марии Константиновны составляет x рублей. Тогда

x − 0,13x = 9570  0,87x = 9570  x = 9570 : 0,87  x = 11 000.

Значит, зарплата Марии Константиновны составляет 11 000 рублей.

Ответ: 11 000.

13. В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?

Решение.

В октябре виноград подорожал на 60 · 0,25 = 15 рублей и стал стоить 60 + 15 = 75 рублей. В ноябре виноград подорожал на 75 · 0,2 = 15 рублей. Значит, после подорожания в ноябре 1 кг винограда стоил 75 + 15 = 90 рублей.

 Ответ: 90.

14. Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 5% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,4 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте четырёх месяцев и весом 5 кг в течение суток?

Решение.

В одной таблетке лекарства содержится 20 · 0,05 = 1 мг активного вещества. Суточная норма активного вещества для ребенка весом 5 кг составит: 1,4 · 5 = 7 мг. Тем самым, ребенку следует дать 7 таблеток.

 Ответ: 7.

15. Футболка стоила 800 рублей. Затем цена была снижена на 15%. Сколько рублей сдачи с 1000 рублей должен получить покупатель при покупке этой футболки после снижения цены?

Решение.

Цена была снижена на 0,15 · 800 = 120 руб. и составила 800 − 120 = 680 руб. Поэтому покупатель получит 1000 − 680 = 320 руб. сдачи.

Ответ: 320.

Задачи-ловушки на ЕГЭ по математике

В 3. Квадратная решётка, координатная плоскость

Единый государственный экзамен по математике является обязательным испытанием для всех выпускников российских школ. Абсолютно все 11-классники должны сдавать ЕГЭ по математике базового уровня, а если выпускник планирует после окончания школы поступать в вузы на специальности, где требуются результаты экзамена по математике, ему необходимо сдать ЕГЭ профильного уровня. С каждым годом экзамены меняются, усложняются и совершенствуются задания. Поэтому в ходе подготовки к испытаниям необходимо учитывать все нюансы и подводные камни предстоящего ЕГЭ. 

Все задачи с кратким ответом на самом экзамене (профильный уровень) безошибочно решает лишь небольшая часть сдающих, а именно около 25 процентов.

1. Найдите синус угла  В ответе укажите значение синуса, умноженное на 

Решение.

Проведем высоту  из точки  на продолжение стороны  Тогда:

Ответ: 1.

2. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

Решение.

Достроим угол до треугольника OBA, OB = BA. BK делит основание OAпополам, значит, BK — высота. Из рисунка находим 

Примечание.

Можно заметить и доказать, что равнобедренный треугольник ABO является прямоугольным. Тогда углы AOB и OАB равны 45°, а их тангенсы равны 1.

Ответ: 1.

3. Найдите тангенс угла AOB. Сторона одной клетки равна 1.

Решение.

Достроим угол до треугольника  Из рисунка находим: , ,  Воспользуемся теоремой косинусов:

Тогда:

Поэтому угол  равен 135°, а его тангенс равен −1.

Ответ: −1.

4. На клетчатой бумаге с размером клетки   изображён четырёхугольник ABCD . Найдите его периметр. 

Решение.

По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами заданного четырехугольника, имеем:

тогда периметр равен 

Ответ: 30.

5.

На клетчатой бумаге с размером клетки   изображён квадрат. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Решение.

радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Ответ: 2.

6. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его высоты, опущенной на продолжение стороны AB.

Решение.

Формулировка задания некорректна: на сторону АВ высоту опустить нельзя. Из точки С можно опустить перпендикуляр к прямой, содержащей сторону АВ. Этот перпендикуляр будет являться высотой треугольника АВС, его длина равна 3.

Ответ: 3.

7. Найдите радиус окружности, вписанной в изображенный на рисунке треугольник ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Решение.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник равен полуразности суммы катетов и гипотенузы. Заметим, что в треугольнике с катетами 3 и 4 гипотенуза равна 5, откуда

Ответ: 1.

8. На клетчатой бумаге с размером клетки   изображён треугольник. Найдите радиус его описанной окружности.

Решение.

Найдём радиус окружности, описанной вокруг этого треугольника, по теореме Пифагора:

Ответ: 5.

 9. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Площадь четырехугольника равна разности площади большого прямоугольника и двух одинаковых треугольников, площади которых равны половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию. Поэтому

10.  

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Площадь четырехугольника (в том числе невыпуклого) равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Диагонали изображенного на рисунке четырехугольника являются взаимно перпендикулярными диагоналями квадратов со стороной 1. Поэтому длины диагоналей равны  , а синус угла между ними равен 1. Тем самым, площадь четырехугольника равна 1.

Ответ: 1.

11. На клетчатой бумаге с размером клетки  изображён круг. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Отрежем от закрашенной фигуры сектор, отмеченный синим цветом, и добавим к ней сектор, выделенный красным цветом. Указанные секторы равны, поэтому площадь фигуры не изменилась. Следовательно, она равна трём четвертям площади круга, радиус которого  см. Поэтому

 см2.

Ответ: 12.

12.

 На клетчатой бумаге с размером клетки 1  1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение.

Треугольник прямоугольный, значит, радиус описанной вокруг него окружности равен половине гипотенузы.

Ответ: 2,5.

13. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см изображено кольцо. Найдите его площадь. В ответ запишите площадь, делённую на . Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Площадь кольца равна разности площади большого и малого кругов. Радиус большого круга равен 2, а малого — 1, откуда

Поэтому

Ответ: 3.

14. На клетчатой бумаге с размером клетки  изображён круг. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Выполним дополнительное построение и из прямоугольного треугольника с катетами 2 и 4 найдем квадрат радиуса круга:  см2 (см. рис. 1). Площадь фигуры равна трем восьмым площади этого круга (см. рис. 2). Поэтому

 см2.

Ответ: 7,5.

15. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры. 

Решение.

Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Радиус внешнего круга равен 6, радиус внутреннего равен 3. Поскольку радиус большего круга вдвое больше радиуса наименьшего круга, площадь большего круга вчетверо больше площади меньшего. Следовательно, она равна 4. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 4 − 1 = 3.

Ответ: 3.

16.

На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 32?

Решение.

Заметим, что  Тогда  поэтому  Поэтому площадь сектора равна  от площади круга. Следовательно, площадь круга равна 3 · 32 = 96.

Ответ:96.

17. Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной плоскости. 

Решение.

Площадь закрашенной фигуры равна разности площади большого и маленького ромбов. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Поэтому

Ответ: 24.

18.

Найдите площадь ромба, вершины которого имеют координаты (6;3), (9;4), (10;7), (7;6).

Решение.

Площадь четырехугольника равна разности площади квадрата 4х4, четырех равных прямоугольных треугольников с катетами 1 и 3 и двух равных квадратов 1х1. Поэтому

 см2.

Ответ: 8.

Задачи-ловушки на ЕГЭ по математике

В 7. Производная и первообразная

1. Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Решение.

Найдем закон изменения скорости:

Чтобы найти, в какой момент времени  скорость была равна 3 м/с, решим уравнение:

Ответ: 8.

2. Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с. Найти ускорение в (м/с2)?

Решение.

Найдем закон изменения скорости:

 м/с.

Тогда находим:

 м/с.

а = 3t-6, a(6)=12 м/с2.

Ответ: 20, 12.

3. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

Решение.

Поскольку касательная параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Производная равна нулю в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 2 максимума и 2 минимума, итого 4 экстремума. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней в 4 точках.

Ответ: 4.

4. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –2. Найдем количество точек, в которых y'(x0) = −2, это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = −2. На данном интервале таких точек 5.

Ответ: 5.

5. 

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (1; 2), B (1; −4), C(−2; −4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB:

Ответ: 2.

6. 

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−3; 6), B (−3; 4), C (5; 4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:

Ответ: −0,25.

7. На рисунке изображен график производной функции Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику  параллельна прямой  или совпадает с ней.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой  или совпадает с ней, она имеет угловой коэффициент равный 2 и Осталось найти, при каких  производная принимает значение 2. Искомая точка 

Ответ: 5.

8.  Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции ax2 + 2x + 3. Найдите a.

Решение.

Прямая  является касательной к графику функции  в точке  тогда и только тогда, когда одновременно  и  В нашем случае имеем:

Искомое значение а равно 0,125.

Ответ: 0,125.

9. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите промежутки возрастания функции  В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение.

Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых ее производная неотрицательна, то есть промежуткам (−6; −5,2] и [2; 6). Данные промежутки содержат целые точки 2, 3, 4 и 5. Их сумма равна 14.

Ответ: 14.

10. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Решение.

Производная функции положительна на тех интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (−3; 0) и (4,2; 7). В них содержатся целые точки −2, −1, 5 и 6, всего их 4.

Ответ: 4.

11. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале    (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает наименьшее значение?

Решение.

На заданном отрезке производная функции положительна, поэтому функция на этом отрезке возрастает. Поэтому наименьшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке 

Ответ: −7.

12. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение.

Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна, то есть интервалу (−2,5; 6,5). Данный интервал содержит следующие целые точки: –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 сумма которых равна 18.

Ответ: 18.

13. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].

Решение.

Если производная в некоторой точке равна нулю и меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке [–2; 6] график производной пересекает ось абсцисс, производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, точка 4 является точкой экстремума.

Ответ: 4.

14. На рисунке изображен график функции  и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках −1 и 4. Модуль тангенса угла наклона касательной явно больше в точке 4, поэтому тангенс в этой точке наименьший.

Ответ:4.

.  

15. Функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x0, в которой функция принимает наименьшее значение, если  f (−5) ≥ f (5).

Решение.

Напомним, что если функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на отрезке [a; b].

Тем самым, функция f, график производной которой дан в условии, возрастает на отрезках [−5; −3] и [3; 5] и убывает на отрезке [−3; 3].

Из этого следует, что f принимает наименьшее значение на левой границе отрезка, в точке −5, или в точке минимума хmin = 3. В силу возрастания f на отрезке [3; 5] справедливо неравенство f (5) > f (3). Поскольку по условию f (−5) не меньше, чем f (5), справедлива оценка f (−5) > f (3).

Тем самым, наименьшего значения функция f достигает в точке 3. График одной из функций, удовлетовряющих условию, приведён на рисунке.

Ответ:3.

Примечание Б. М. Беккера (Санкт-Петербург).

Непрерывность функции на концах отрезка существенна. Действительно, если бы функция f имела в точке 5 разрыв первого рода (см. рис.), значение f (5) могло оказаться меньше значения f (3), а тогда наименьшим значением функции на отрезке [−5; 5] являлось бы значение функции в точке 5.

Примечание портала РЕШУ ЕГЭ.

Мы были удивлены, обнаружив это задание в экзаменационной работе досрочного ЕГЭ по математике 28.04.2014 г. Это непростое задание отсутствует в Открытых банках заданий, что, несомненно, оказалось неприятным сюрпризом для выпускников.

Примечание Александра Ларина (Москва).

В этой задачке весь ужас «выстрелил вхолостую», 99,9999% решающих даже и не обратят внимание на потенциальную угрозу — ответ-то получается такой же. А про соотношение значений на границах и уж тем более про непрерывность никто читать и не собирается :-) А вот если условие слегка поменять, то «минус балл» всей стране обеспечен будет.

Первообразная

1. На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (−3; 5). Найдите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [−2; 4].

Решение.

По определению первообразной на интервале (−3; 5) справедливо равенство

Следовательно, решениями уравнения f(x)=0 являются точки экстремумов изображенной на рисунке функции F(x) Это точки −2,6; −2,2; −1,2; −0,5; 0; 0,4; 0,8; 1,2; 2,2; 2,8; 3,4; 3,8. Из них на отрезке [−2;4] лежат 10 точек. Таким образом, на отрезке [−2;4] уравнение  имеет 10 решений.

Ответ: 10.

2. На рисунке изображён график некоторой функции  (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) − F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Решение.

Разность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции  Поэтому

Ответ:7.

3. На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция  — одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение.

Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках и 

Имеем:

Приведем другое решение.

Вычисления можно было бы упростить, выделив полный куб:

что позволяет сразу же найти

Приведем ещё одно решение.

Можно было бы найти разность первообразных, используя формулы сокращенного умножения:

Приведем ещё одно решение.

Получим явное выражение для  Поскольку

имеем:

Примечание.

Этот подход можно несколько усовершенствовать. Заметим, что график функции  получен сдвигом графика функции  на  единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции  и отрезком  оси абсцисс. Имеем:

Ответ:6.

В 5. Простейшие уравнения

1. Найдите корень уравнения:  Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Решение.

Возведем в квадрат:

Меньший корень равен −9.

Ответ: −9.

2. Решите уравнение  Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение.

Возведем в квадрат:

Уравнение имеет единственный корень, он и является ответом.

Ответ: 6.

Примечание.

Можно было сделать проверку. Подставляя число 6, получаем верное равенство , поэтому число 6 является корнем. Подставляя число −1, получаем неверное равенство , поэтому число −1 не является корнем.

3. Решите уравнение: 

Решение.

Возведем обе части уравнения в третью степень:

Ответ: −10.

4.  Решите уравнение:

Решение.

Возведем в квадрат:

Ответ:  −7.

5. Найдите корень уравнения 

Решение.

Перейдем к одному основанию степени:

Ответ: 4.

6. Решите уравнение 

Решение.

Перейдем к одному основанию степени:

Ответ: −2.

7. Найдите корень уравнения 

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: −42.

8.  Решите уравнение 

Решение.

Заметим, что  и используем формулу  Имеем:

Ответ: 2.

9. Решите уравнение  Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решение.

На ОДЗ перейдем к уравнению на основание логарифма:

Итак, на ОДЗ уравнение имеет только один корень.

Ответ: 12.

10. Найдите корень уравнения 

Решение.

Последовательно решаем уравнение:

Ответ: 7.

11. Решите уравнение  Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решение.

На ОДЗ перейдем к уравнению на основание логарифма:

Итак, на ОДЗ уравнение имеет только один корень.

Ответ: 12.

12.  Найдите корни уравнения:  В ответ запишите наибольший отрицательный корень.

Решение.

Последовательно получаем:

Значениям  соответствуют положительные корни.

Если , то  и 

Если , то  и 

Значениям  соответствуют меньшие значения корней.

Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число 

Ответ: −4.

13.  Решите уравнение  В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

Решение.

Решим уравнение:

Значению  соответствует  Положительным значениям параметра соответствуют положительные значения корней, отрицательным значениям параметра соответствуют меньшие значения корней. Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число −1.

Ответ:  −1.

14.  Решите уравнение  В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решение.

Решим уравнение:

Значениям  соответствуют отрицательные корни.

Если , то  и 

Если , то  и 

Значениям  соответствуют большие положительные корни.

Наименьшим положительным решением является 0,5.

Ответ: 0,5.

В 8. Стереометрия

Комбинации тел

1. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.

Решение.

Высота параллелепипеда равна высоте вписанного в него цилиндра. Основанием параллелепипеда является квадрат, сторона которого в два раза больше радиуса вписанной в него окружности. Поэтому площадь основания равна 4, а объем параллелепипеда равен

Ответ: 4.

3. В куб вписан шар радиуса 1. Найдите объем куба.

Решение.

Ребро куба равно диаметру вписанного в него шара, а объем куба равен кубу его ребра. Отсюда имеем:

Ответ: 8.

4. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны  Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Решение.

По теореме Пифагора длина гипотенузы треугольника в основании  Поскольку гипотенуза является диаметром основания описанного цилиндра, его объем

Ответ: 125.

5. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра равны  Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Решение.

Диагональ квадрата, лежащего в основании призмы,  является диаметром описанного вокруг призмы цилиндра. Тогда объем цилиндра:

Ответ: 4.

6. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 25. Найдите объём цилиндра.

Решение.

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту, а объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. Поскольку они имеют общее основание и высоту, объем цилиндра в три раза больше объема конуса.

Ответ: 75.

7. Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

Решение.

Радиусы шара и основания цилиндра равны. Площадь поверхности цилиндра, с радиусом основания r и высотой 2r равна

Площадь поверхности шара радиуса r равна , то есть в 1,5 раза меньше площади поверхности цилиндра. Следовательно, площадь поверхности шара равна 12.

Ответ: 12.

8. Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

Решение.

Площадь поверхности получившегося многогранника равна сумме площадей поверхностей куба с ребром 1 и четырех граней параллелепипеда с ребрами 1, 0,5,  0,5, уменьшенной на две площади основания вырезанной призмы:

Ответ: 7,5.

9. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 150.

Решение.

Объем конуса равен

,

где   — площадь основания, а   — высота конуса. Объем цилиндра равен   и поэтому он в 3 раза больше объема конуса. Тем самым, объем конуса равен 50.

Ответ: 50.

10. Объём куба, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.

Решение.

Прямоугольный параллелепипед, описанный вокруг сферы, является кубом. Тогда длина его ребра

Радиус сферы равен половине длины ребра 

Ответ: 3.

11. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на 

Решение.

Квадрат, лежащий в основании пирамиды, вписан в окружность, являющуюся основанием конуса. Поэтому радиус основания конуса r равен половине диагонали квадрата ABCD:   Тогда для объема конуса, деленного на  имеем:

Ответ: 16.

12. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Решение.

Объемы данных конусов соотносятся как площади их оснований, и, следовательно, как квадраты их диаметров. Диаметр вписанного конуса равен стороне квадрата, диаметр описанного — диагонали квадрата, длина которой равна   длины стороны. Поэтому объем описанного конуса в 2 раза больше объема вписанного.

Ответ: 2.

13. В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на 

Решение.

Радиус вписанного в куб шара равен половине длины ребра куба:  Тогда объем шара

Ответ: 4,5.

14. Около куба с ребром   описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на 

Решение.

Пусть длина ребра куба равна а, а его диагональ равна d. Радиус описанного шара R равен половине диагонали куба:

Поэтому объем шара равен

Тогда

Ответ: 4,5.

15.

Вершина A куба  с ребром 1,6 является центром сферы, проходящей через точку A1. Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину 

Решение.

Так как ребро куба равно радиусу сферы, в кубе содержится 1/8 часть сферы и, соответственно, 1/8 ее поверхности, равная

Ответ: 1,28.

16.

Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса 0,95. Найдите площадь  части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите 

Решение.

Так как середина ребер куба является центром сферы, диаметр которой равен ребру куба, в кубе содержится 1/4 сферы и, соответственно, 1/4 ее поверхности. Имеем:

Ответ: 0,9025.

17. Объём тетраэдра равен 19. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

Решение.

Объем данного многогранника равен разности объемов исходного тетраэдра  и четырех тетраэдров, одни из вершин которых совпадают с вершинами исходного:

Ответ: 9,5.

18. Площадь поверхности тетраэдра равна 12. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

Решение.

Искомая поверхность состоит из четырёх пар равных треугольников, каждый из которых имеет площадь равную с четверти площади грани исходного тетраэдра. Поэтому искомая площадь равна половине площади поверхности тетраэдра и равна 6.

Ответ: 6.

19. Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 33. Найдите объем шара.

Решение.

,

Выразим из формулы для объёма цилиндра  и подставим в формулу для объёма шара

Ответ: 22.

20. Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 24. Найдите объем цилиндра.

Решение.

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту. Площадь основания цилиндра равна площади большого круга вписанного шара, а высота цилиндра равна диаметру вписанного шара. Поэтому

Ответ: 36.

21. Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 5.

Решение.

Поскольку

а конус и цилиндр имеют общую высоту и основание, имеем:

Ответ: 15.

22. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса.

Решение.

Запишем формулу для объёма шара:

Объём конуса в 4 раза меньше:

Ответ: 7.

23. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.

Решение.

Из формул для объема конуса и шара получаем:

Ответ: 24.

24. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра.

Решение.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на боковое ребро. Боковое ребро равно высоте цилиндра. В основании призмы лежит квадрат, его сторона равна диаметру вписанного круга. Поэтому

Поскольку по условию площадь боковой поверхности равна 48, искомая высота равна 3.

Ответ: 3.

25. Куб вписан в шар радиуса  Найдите объем куба.

Решение.

Диаметр шара, описанного вокруг куба, совпадает с его диагональю и вдвое больше радиуса. Поэтому диагональ куба равна  Если ребро куба равно , то диагональ куба дается формулой  Следовательно, ребро куба равно 2, а его объем равен 8.

Ответ: 8.

26. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна  Найдите радиус сферы.

Решение.

Высота конуса перпендикулярна основанию и равна радиусу сферы. Тогда по теореме Пифагора получаем:

Поскольку по условию образующая равна  радиус сферы равен 7.

Ответ:7.

27. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен  Найдите образующую конуса.

Решение.

Высота конуса перпендикулярна основанию и равна радиусу сферы. Тогда по теореме Пифагора получаем:

Радиус сферы равен  поэтому образующая равна 

Ответ:56.

28. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Решение.

Высота цилиндра равна диаметру шара, а радиус основания цилиндра равен радиусу шара (см. рис.).

Площадь основания цилиндра:

Площадь боковой поверхности цилиндра:

Площадь полной поверхности цилиндра:

Поскольку площадь поверхности шара дается формулой  имеем: 

Ответ:166,5.

29. Шар, объём которого равен 6π, вписан в куб. Найдите объём куба.

Решение.

Ребро куба равно двум радиусам вписанного в куб шара, поэтому объем куба, выраженный через радиус вписанного в него шара, даётся формулой  Объём шара вычисляется по формуле  откуда имеем:

Тем самым, объём куба равен 36.

Ответ:36.

30. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна  Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение.

Заметим, что конус и цилиндр имеют общую высоту и равные радиусы основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна откуда, учитывая, что  получаем:  или

Образующая конуса , его высота  и радиус основания  связаны соотношением  откуда, учитывая, что  получаем:  или 

Площадь боковой поверхности конуса равна  следовательно:

Ответ: 3.

31. Куб описан около сферы радиуса 6. Найдите объём куба.

Решение.

Ребро куба равно диаметру вписанной в него сферы, а объем куба равен кубу его ребра. Отсюда имеем:

Ответ: 1728.

32. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение.

Высота призмы равна высоте цилиндра, а сторона ее основания равна диаметру цилиндра. Боковые грани призмы — прямоугольники со сторонами 1 и 2. Поэтому площадь боковой поверхности 4 · 1 · 2 = 8.

Ответ: 8.

33. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 2.

Решение.

Сторона правильного треугольника  выражается через радиус  вписанной в него окружности как  Тогда площадь боковой поверхности призмы выражается формулой

Ответ: 36.

34. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен , а высота равна 2.

Решение.

Сторона правильного треугольника выражается через радиус описанной окружности как  Площадь боковой поверхности призмы тогда равна

Ответ: 36.

35. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 2.

Решение.

Сторона правильного шестиугольника  выражается через радиус  вписанной в него окружности формулой  Тогда площадь боковой поверхности призмы выражается формулой

Ответ: 24.

Практика:

. Одна из распространенных задач в части 1 — такая, где надо посчитать объем или площадь поверхности многогранника, из которого какая-нибудь часть вырезана. Например, такого: 

Что тут нарисовано? Очевидно, это большой параллелепипед, из которого вырезан «кирпичик», так что получилась «полочка». Если вы увидели на рисунке что-то другое — обратите внимание на сплошные и штриховые линии. Сплошные линии — видимы. Штриховыми линиями показываются те ребра, которые мы не видим, потому что они находятся сзади.

Объем найти просто. Из объема большого «кирпича» вычитаем объем маленького. Получаем: 

А как быть с площадью поверхности? Почему-то многие школьники пытаются посчитать ее по аналогии с объемом, как разность площадей большого и малого «кирпичей». В ответ на такое «решение» я обычно предлагаю детскую задачу — если у четырехугольного стола отпилить один угол, сколько углов у него останется? :-)

На самом деле нам нужно посчитать сумму площадей всех граней — верхней, нижней, передней, задней, правой, левой, а также сумму площадей трех маленьких прямоугольников, которые образуют «полочку». Можно сделать это «в лоб», напрямую. Но есть и способ попроще.

Прежде всего, если бы из большого параллелепипеда ничего не вырезали, его площадь поверхности была бы равна . А как повлияет на него вырезанная «полочка»?
Давайте посчитаем сначала площадь всех горизонтальных участков, то есть «дна», «крыши» и нижней поверхности «полочки». С дном — все понятно, оно прямоугольное, его площадь равна .

А вот сумма площадей «крыши» и горизонтальной грани «полочки» тоже равна ! Посмотрите на них сверху.
…В этот момент и наступает понимание. Кому-то проще нарисовать вид сверху. Кому-то — представить, что мы передвигаем дно и стенки полочки и получаем целый большой параллелепипед, площадь поверхности которого равна . Каким бы способом вы ни решали, результат один — площадь поверхности будет такой же, как и у целого параллелепипеда, из которого ничего не вырезали.

Ответ: .

Следующую задачу, попроще, вы теперь решите без труда. Здесь тоже надо найти площадь поверхности многогранника:

. Из площади поверхности «целого кирпича» вычитаем площади двух квадратиков со стороной  — на верхней и нижней гранях.

А здесь нарисована прямоугольная плитка с «окошком». Задание то же самое — надо найти площадь поверхности.

Сначала посчитайте сумму площадей всех граней. Представьте, что вы дизайнер, а эта штучка — украшение. И вам надо оклеить эту штуку чем-то ценным, например, бриллиантами Сваровски. И вы их покупаете на свои деньги. (Я не знаю почему, но эта фраза мгновенно повышает вероятность правильного ответа!) Оклеивайте все грани плитки. Но только из площадей передней и задней граней вычтите площадь «окошка». А затем — само «окошко». Оклеивайте всю его «раму».
Правильный ответ: .

Следующий тип задач — когда одно объемное тело вписано в другое.

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны . Найдите объем параллелепипеда.

Прежде всего, заметим, что высота цилиндра равна высоте параллелепипеда. Нарисуйте вид сверху, то есть круг, вписанный в прямоугольник. Тут сразу и увидите, что этот прямоугольник — на самом деле квадрат, а сторона его в два раза больше, чем радиус вписанной в него окружности. Итак, площадь основания параллелепипеда равна , высота равна , объем равен .

. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами  и . Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. В ответ запишите .

Очевидно, высота цилиндра равна боковому ребру призмы, то есть . Осталось найти радиус его основания.
Рисуем вид сверху. Прямоугольный треугольник вписан в окружность. Где будет находиться радиус этой окружности? Правильно, посередине гипотенузы. Гипотенузу находим по теореме Пифагора, она равна . Тогда радиус основания цилиндра равен пяти. Находим объем цилиндра по формуле и записываем ответ: .

. В прямоугольный параллелепипед вписан шар радиуса . Найдите объем параллелепипеда.

Эта задача тоже проста. Нарисуйте вид сверху. Или сбоку. Или спереди. В любом случае вы увидите одно и то же — круг, вписанный в прямоугольник. Очевидно, этот прямоугольник будет квадратом. Можно даже ничего не рисовать, а просто представить себе шарик, который положили в коробочку так, что он касается всех стенок, дна и крышки. Ясно, что такая коробочка будет кубической формы. Длина, ширина и высота этого куба в два раза больше, чем радиус шара.

Ответ: .

Следующий тип задач — такие, в которых увеличили или уменьшили какой-либо линейный размер (или размеры) объемного тела. А узнать нужно, как изменится объем или площадь поверхности.

. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает  см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в  раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Слова «другой такой же сосуд» означают, что другой сосуд тоже имеет форму правильной треугольной призмы. То есть в его основании — правильный треугольник, у которого все стороны в два раза больше, чем у первого. Мы уже говорили о том, что площадь этого треугольника будет больше в  раза. Объем воды остался неизменным. Следовательно, в  раза уменьшится высота.
Ответ: .

. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в два раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

Давайте вспомним, как мы решали стандартные задачи, на движение и работу. Мы рисовали таблицу, верно? И здесь тоже нарисуем таблицу. Мы помним, что объем цилиндра равен .

Считаем объем второй кружки. Он равен . Получается, что он в два раза больше, чем объем первой.

. Следующая задача тоже решается сразу и без формул.

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен , проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Высота меньшей призмы высота такая же, как и у большой. А какой же будет ее площадь основания? Очевидно, в  раза меньше. Вспомните свойство средней линии треугольника — она равна половине основания. Значит, объем отсеченной призмы равен .

И еще одна классическая задача. Никаких формул!

. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в  раза?

Только не надо обмирать от ужаса при слове «октаэдр». Тем более — он здесь нарисован и представляет собой две сложенные вместе четырехугольные пирамиды. А мы уже говорили — если все ребра многогранника увеличить в три раза, площадь поверхности увеличится в  раз, поскольку .
Ответ: .

Следующий тип задач — такие, в которых надо найти объем части конуса, или части пирамиды. Они тоже решаются элементарно.

. Найдите объем  части цилиндра, изображенной на рисунке. Радиус цилиндра равен 15, высота равна 5. В ответе укажите .

Изображен не целый цилиндр, а его часть. Из него, как из круглого сыра, вырезали кусок. Надо найти объем оставшегося «сыра».
Какая же часть цилиндра изображена? Вырезан кусок с углом  градусов, а  — это одна шестая часть полного круга. Значит, от всего объема цилиндра осталось пять шестых. Находим объем всего цилиндра, умножаем на пять шестых, делим на , записываем ответ: .

В 10. Прикладные задачи

1. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных изданий на основе показателей информативности , оперативности  и объективности  публикаций. Каждый показатель — целое число от −2 до 2.

Составители рейтинга считают, что информативность публикаций ценится втрое, а объективность — вдвое дороже, чем оперативность. Таким образом, формула приняла вид

Найдите, каким должно быть число , чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило бы рейтинг 30.

Решение.

Поскольку показатели максимальны, они все равны 2. Подставим значения в формулу и учтем, что рейтинг равен 30:

Ответ:0,4.

2. На рисунке изображена схема вантового моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами.

Введём систему координат: ось Oy направим вертикально вдоль одного из пилонов, а ось Ox направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке.

В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, имеет уравнение где x и y измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 30 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.

Решение.

Задача сводится к вычислению значения  найдём его:

Ответ: 7,3.

1. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время  падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле , где  – расстояние в метрах,  – время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

Решение.

Пусть  – расстояние до воды до дождя,  – расстояние до воды после дождя. После дождя уровень воды в колодце повысится, расстояние до воды уменьшится, и время падения уменьшится, станет равным  с. Уровень воды поднимется на  метров.

Ответ: 1.

3. Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна , где  – масса воды в килограммах,  скорость движения ведeрка в м/с,  – длина верeвки в метрах, g – ускорение свободного падения (считайте  м/с). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ выразите в м/с.

Решение.

Задача сводится к решению неравенства  при заданной длине верёвки  м:

Ответ: 2.

4. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону  где  – время в секундах, прошедшее с момента открытия крана,  – начальная высота столба воды,  – отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а  – ускорение свободного падения (считайте  м/с). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?

Решение.

Формулой, описывающей уменьшение высоты столба воды с течением времени, является

Четверть первоначального объёма воды в баке останется, когда высота столба воды будет 5 м. Определим требуемое на вытекание трех четвертей воды время — найдем меньший корень уравнения :

Таким образом, через 50 секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды.

Ответ: 50.

7. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: , где  – время в минутах,  К,  К/мин,  К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Решение.

Найдем, в какой момент времени после начала работы температура станет равной  К. Задача сводится к решению уравнения  при заданных значениях параметров a и b:

Через 2 минуты после включения прибор нагреется до 1760 К, и при дальнейшем нагревании может испортиться. Таким образом, прибор нужно выключить через 2 минуты.

Ответ: 2.

8. Для сматывания кабеля на заводе используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону , где t — время в минутах, мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а мин2 — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки  достигнет Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах.

Решение.

Задача сводится к нахождению наибольшего решения неравенства  при заданных значениях параметров  и :

Учитывая то, что время — неотрицательная величина, получаем  Угол намотки достигнет значения 1200° при t = 20 мин.

Ответ: 20.

9. Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью  км/ч, выезжает из него и сразу

15. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой , где  — высота в метрах,  — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.

Решение.

Определим моменты времени, когда камень находился на высоте ровно 9 метров. Для этого решим уравнение :

Проанализируем полученный результат: поскольку по условию задачи камень брошен снизу вверх, это означает, что в момент времени (с) камень находился на высоте 9 метров, двигаясь снизу вверх, а в момент времени (с) камень находился на этой высоте, двигаясь сверху вниз. Поэтому он находился на высоте не менее девяти метров 2,4 секунды.

Ответ: 2,4.

3. Наблюдатель находится на высоте h, выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле , где  км — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 4 километров? Ответ выразите в метрах.

Решение.

Задача сводится к решению уравнения  при заданном значении R:

 м.

Ответ: 1,25.

Примечание.

Иногда в физике или технике бывает удобно записать какую-либо формулу в определённых единицах измерения, особенно часто это используется при инженерных расчётах. При этом, длины, например, могут быть выражены в различных единицах измерения. Здесь удобно использовать величины  и  выраженные в километрах, а  выражать в метрах. Если бы в этой формуле все величины измерялись в одних и тех же единицах измерения, то формула выглядела бы так:  В формуле, приведённой в задании, коэффициент 500 как раз отражает, то что все величины, за исключением  выражены в километрах.

4. Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землeй, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле , где  км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 6,4 километров?

Решение.

Задача сводится к решению уравнений  и  при заданном значении R:

Следовательно, чтобы видеть горизонт на более далеком расстоянии, наблюдателю нужно подняться на  метра.

Ответ: 1,4.

Примечание.

Иногда в физике или технике бывает удобно записать какую-либо формулу в определённых единицах измерения, особенно часто это используется при инженерных расчётах. При этом, длины, например, могут быть выражены в различных единицах измерения. Здесь удобно использовать величины  и  выраженные в километрах, а  выражать в метрах. Если бы в этой формуле все величины измерялись в одних и тех же единицах измерения, то формула выглядела бы так:  В формуле, приведённой в задании, коэффициент 500 как раз отражает, то что все величины, за исключением  выражены в километрах.

5. Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землeй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле , где  км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 км. К пляжу ведeт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 6,4 километров?

Решение.

Задача сводится к решению уравнений  и  при заданном значении R:

 м.

 м.

Следовательно, чтобы видеть горизонт на более далеком расстоянии, наблюдателю нужно подняться на  метра. Для этого ему необходимо подняться на  ступенек.

Ответ: 7.

Примечание.

Иногда в физике или технике используют формулы, в которых величины имеют разные единицы измерения. Например, удобно вывести такую формулу, чтобы при ее использовании радиус планеты не приходилось выражать в метрах, а рост человека не надо было вычислять в долях километра. Особенно часто такой подход применяется в инженерных расчётах. В данной задаче величины  и  выражены в километрах, а  — в метрах, о чем сказано в условии. Если бы все величины в этой формуле измерялись в одних и тех же единицах измерения, она выглядела бы так:  Коэффициент 500 отражает то, что все величины, за исключением  выражены в километрах. Проверьте это.

7. Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте  километров над землeй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле , где  (км) — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 4 километра? Ответ выразите в километрах.

Решение.

Задача сводится к решению уравнения  при заданном значении R:

Примечание. Заметим, что полученная величина равна 1,25 метра, т. е. соответствует уровню глаз ребенка.

Ответ: 0,00125.

1. При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон  Пам5, где – давление в газе в паскалях,  – объeм газа в кубических метрах,  Найдите, какой объём  (в куб. м) будет занимать газ при давлении , равном  Па.

Решение.

Поскольку произведение давления на степень объёма постоянно, а давление равно , при заданных значениях параметров  и  имеем равенство:

Ответ: 0,125.

4. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объeм и давление связаны соотношением , где (атм.) – давление в газе,  – объeм газа в литрах. Изначально объeм газа равен 1,6 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объeма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.

Решение.

пусть  и  - начальные, а  и  - конечные значения объема и давления газа, соответственно. Тогда задача сводится к решению неравенства

, где  атм.,  л.,  атм.

Тогда

Ответ: 0,05.

5. Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде , где p (Па) — давление в газе, V — объeм газа в кубических метрах, a — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение в 25 раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 5 раз?

Решение.

Пусть  и  – начальные, а  и  – конечные значения объема и давления газа, соответственно. Условие  означает, что  откуда  Задача сводится к решению неравенства , причем по условию :

Ответ: 0,5.

6. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением  где и  — давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях,  и  — объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 256 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.

Решение.

Подставим в формулу  данные из условия:    Решим полученное уравнение, заметив, что  и возведя обе части уравнения в степень :

Ответ: 8.

7. При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон  где p — давление в газа (в Па), V — объём газа (в м3),  Найдите, какой объём V (в м3) будет занимать газ при давлении p, равном 2·105 Па.

Решение.

Поскольку произведение давления на степень объёма постоянно, а давление равно , при заданных значениях параметров  и  имеем равенство:

Ответ: 125.

1. Мяч бросили под углом  к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полeта мяча (в секундах) определяется по формуле  При каком значении угла  (в градусах) время полeта составит 3 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью  м/с? Считайте, что ускорение свободного падения  м/с

Решение.

Задача сводится к решению уравнения  на интервале  при заданных значениях начальной скорости и ускорения свободного падения:

Ответ: 30.

2. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону , где  – время в секундах, амплитуда  В, частота /с, фаза  Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем  В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Решение.

Задача сводится к решению уравнения  при заданных значениях амплитуды сигнала, частоты и фазы:

На протяжении первой секунды лампочка будет гореть  с, то есть % времени.

Ответ: 50.

5. Небольшой мячик бросают под острым углом  к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полeта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой, где  м/с – начальная скорость мячика, а  – ускорение свободного падения (считайте  м/с). При каком наименьшем значении угла  (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м?

Решение.

Задача сводится к решению неравенства  на интервале  при заданных значениях начальной скорости  и ускорения свободного падения :

Ответ: 30.

1. Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре  Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением  Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе  кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением  (с), где – постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 21 с. Ответ дайте в киловольтах.

Решение.

Задача сводится к решению неравенства  при заданных значениях начального напряжения на конденсаторе  кВ, сопротивления резистора  Ом и ёмкости конденсатора  Ф:

 кВ.

Ответ: 2.

2. Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне , через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу воды  кг/с. Проходя по трубе расстояние , вода охлаждается от начальной температуры  до температуры , причeм , где  — теплоeмкость воды,  — коэффициент теплообмена, а  — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 84 м.

Решение.

Задача сводится к решению уравнения  при заданных значениях теплоёмкости воды , коэффициента теплообмена , постоянной , температуры помещения  и расхода воды :

Ответ: 30.

3. Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени  моля воздуха объeмом  л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма  Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением  (Дж), где  – постоянная, а  – температура воздуха. Какой объeм  (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10 350 Дж?

Решение.

Задача сводится к решению уравнения  при заданных значениях постоянной , температуры воздуха  К, количества воздуха  моль и объема воздуха  л:

 л.

Ответ: 2.

В 11. Текстовые задачи

1. В 2008 году в городском квартале проживало  человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на , а в 2010 году на  по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

Решение.

В 2009 году число жителей стало  человек, а в 2010 году число жителей стало  человек.

Ответ: 47 088.

2. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на  дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Решение.

Обозначим первоначальную стоимость акций за 1. Пусть в понедельник акции компании подорожали на , и их стоимость стала составлять  Во вторник акции подешевели на , и их стоимость стала составлять  В результате они стали стоить на дешевле, чем при открытии торгов в понедельник, то есть 0,96. Таким образом,

Ответ: 20.

3. Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки?

Решение.

Стоимость четырех рубашек составляет 92% стоимости куртки. Значит, стоимость одной рубашки составляет 23% стоимости куртки. Поэтому стоимость пяти рубашек составляет 115% стоимости куртки. Это превышает стоимость куртки на 15%.

Ответ: 15.

4. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение.

Условие «если бы зарплата отца увеличилась вдвое, доход семьи вырос бы на 67%» означает, что зарплата отца составляет 67% дохода семьи. Условие «если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, доход семьи сократился бы на 4%», означает, что 2/3 стипендии составляют 4% дохода семьи, то есть вся стипендия дочери составляет 6% дохода семьи. Таким образом, доход матери составляет  дохода семьи.

Ответ: 27.

5. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.

Решение.

Пусть цена холодильника ежегодно снижалась на  процентов в год. Тогда за два года она снизилась на  откуда имеем:

Ответ: 11.

6. Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон — 42000 рублей, Гоша — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

Решение.

Антон внес  уставного капитала. Тогда Борис внес 100 − 12 − 14 − 21 = 53% уставного капитала. Таким образом, от прибыли 1000000 рублей Борису причитается 0,53 · 1 000 000 = 530 000 рублей.

Ответ: 530 000.

7. В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

Концентрация раствора равна

Объем вещества в исходном растворе равен  литра. При добавлении 7 литров воды общий объем раствора увеличится, а объем растворенного вещества останется прежним. Таким образом, концентрация полученного раствора равна:

Ответ: 5.

Примечание.

В текстовых задачах по математике предполагается, что объем раствора, образованного при сливании двух жидкостей, равен сумме их объемов. Это такая же условность, как «мгновенный разворот» в задачах на движение. В действительности, объем (в отличие от массы) не обладает таким свойством.

8. Смешали некоторое количество 15–процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19–процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

Процентная концентрация раствора (массовая доля) равна  Пусть масса получившегося раствора  Таким образом, концентрация полученного раствора равна:

Ответ: 17.

9. Смешали 4 литра 15–процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25–процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Конечно, вместо литров следовало бы говорить о килограммах растворов.

Решение.

Концентрация раствора равна  Таким образом, концентрация получившегося раствора равна:

Ответ: 21.

10. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

Решение.

Виноград содержит 10% питательного вещества, а изюм — 95%. Поэтому 20 кг изюма содержат  кг питательного вещества. Таким образом, для получения 20 килограммов изюма требуется  кг винограда.

Ответ: 190.

11. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Решение.

Пусть масса первого сплава  кг, а масса второго –  кг. Тогда массовое содержание никеля в первом и втором сплавах  и , соответственно. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. Получаем систему уравнений:

Таким образом, первый сплав легче второго на 100 килограммов.

Ответ: 100.

12. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Решение.

Пусть масса первого сплава  кг, а масса второго –  кг, масса третьего сплава –  кг. Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди, третий сплав – 30% меди. Тогда:

Таким образом, масса третьего сплава равна 9 кг.

Ответ: 9.

13. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение.

Пусть масса 30-процентного раствора кислоты –  кг, а масса 60-процентного –  Если смешать 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавить  кг чистой воды, получится 36-процентный раствор кислоты:  Если бы вместо 10 кг воды добавили  кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты:  Решим полученную систему уравнений:

Ответ: 60.

14. Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй – 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора кислоты – , а концентрация второго –  Если смешать эти растворы кислоты, то получится раствор, содержащий 68% кислоты: Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты:  Решим полученную систему уравнений:

Поэтому 

Ответ: 18.

15. Клиент А. сделал вклад в банке в размере 7700 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Еще ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 847 рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

Решение.

Пусть банк начислял  годовых. Тогда клиент А. за два года получил  руб., а клиент Б. за один год получил  руб. Обозначим , тогда поскольку А. получил на 847 руб. больше, имеем:

Поскольку  получаем: , откуда  Тем самым, банк начислял вкладчикам по 10% годовых.

Ответ: 10.

16. Имеется два сплава. Первый содержит 15% никеля, второй — 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 140 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Решение.

Пусть масса первого сплава  а масса второго —  Тогда массовое содержание никеля в первом и втором сплавах  и  соответственно. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 140 кг, содержащий 30% никеля. Получаем систему уравнений:

Таким образом, первый сплав легче второго на 70 килограммов.

Ответ: 70.

 Расстояние между городами  и  равно 150 км. Из города  в город  выехал автомобиль, а через 30 минут следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе  и повернул обратно. Когда он вернулся в , автомобиль прибыл в  Найдите расстояние от  до Ответ дайте в километрах.

Решение.

Обозначим  км – расстояние от A до C,  км/ч – скорость автомобиля,  ч – время движения мотоциклиста от A до C. Тогда  и  Решим систему полученных уравнений:

Тогда  км.

Ответ: 90.

Приведём другой способ решения.

Обозначим  км — скорость автомобиля. В момент выезда мотоциклиста между автомобилем и мотоциклом было 0,5v км, и мотоциклист догонит автомобиль в городе C за  ч. За это же время мотоцикл вернётся в A, а автомобиль доедет до B.

Всего автомобиль затратит времени  За это время он со скоростью v проедет 150 км. Получим уравнение:

Положительный корень уравнения  Тогда мотоцикл затратит на дорогу до C  час, а поскольку его скорость равна 90, то расстояние до C равно 90 км.

Ответ: 90.

____________________________________________________________________

1. Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого – третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Пусть  км/ч – скорость третьего велосипедиста, а  ч – время, которое понадобилось ему, чтобы догнать второго велосипедиста. Таким образом,

А через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Таким образом,

Таким образом, 

Ответ: 25.

2. Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 66 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пусть автомобиль находился в пути  часов, тогда его средняя скорость равна:

 км/ч.

Ответ: 70.

3. Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть – со скоростью 120 км/ч, а последнюю – со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пусть  км – весь путь автомобиля, тогда средняя скорость равна:

 км/ч.

Ответ: 88.

4. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение.

Скорость поезда равна  За 36 секунд поезд проходит мимо придорожного столба расстояние, равное своей длине:

Ответ: 800.

5. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 400 метрам, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах.

Решение.

Скорость поезда равна 60 км в час, значит, за 1 минуту поезд проезжает 1 км. За это время поезд проезжает мимо лесополосы, то есть проходит расстояние, равное сумме длин лесополосы и самого поезда. Поэтому длина поезда равна  метров.

Ответ: 600.

6. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.

Решение.

Скорость сближения поездов равна 60 км/ч или 1 км/мин. Следовательно, за 1 минуту пассажирский поезд сместится относительно товарного на 1 км. При этом он преодолеет расстояние, равное сумме длин поездов. Поэтому длина пассажирского поезда равна 1000 − 600 = 400 м.

Приведём другое решение.

Скорость сближения поездов равна

Пусть длина пассажирского поезда равна х метров. За 60 секунд один поезд проходит мимо другого, то есть преодолевает расстояние х + 600. Тогда:

Поэтому длина пассажирского поезда 400 м.

Ответ: 400.

7. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.

Решение.

Относительная скорость поездов равна

За 36 секунд один поезд проходит мимо другого, то есть вместе поезда преодолевают расстояние, равное сумме их длин:

 м,

поэтому длина скорого поезда 

Ответ: 300.

_____________________________________________________________

1. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?

Решение.

Пусть v км/ч — скорость первого мотоциклиста, тогда скорость второго мотоциклиста равна v + 21 км/ч. Пусть первый раз мотоциклисты поравняются через  часов. Для того, чтобы мотоциклисты поравнялись, более быстрый должен преодолеть изначально разделяющее их расстояние, равное половине длины трассы. Поэтому

Таким образом, мотоциклисты поравняются через  часа или через 20 минут.

Ответ: 20.

Приведём другое решение.

Быстрый мотоциклист движется относительно медленного со скоростью 21 км в час, и должен преодолеть разделяющие их 7 км. Следовательно, на это ему потребуется одна треть часа.

3. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

К моменту первого обгона мотоциклист за 10 минут проехал столько же, сколько велосипедист за 40 минут, следовательно, его скорость в 4 раза больше. Поэтому, если скорость велосипедиста принять за x км/час, то скорость мотоциклиста будет равна 4x, а скорость их сближения — 3x км/час.

C другой стороны, второй раз мотоциклист догнал велосипедиста за 30 минут, за это время он проехал на 30 км больше. Следовательно, скорость их сближения составлят 60 км/час.

Итак, 3х = 60 км/час, откуда скорость велосипедиста равна 20 км/час, а скорость мотоциклиста равна 80 км/час.

Ответ: 80.

4. Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

Решение.

Скорость движения минутной стрелки 12 делений/час (под одним делением здесь подразумевается расстояние между соседними цифрами на циферблате часов), а часовой – 1 деление/час. До четвертой встречи минутной и часовой стрелок минутная должна сначала 3 раза «обогнать» часовую, то есть пройти 3 круга по 12 делений. Пусть после этого до четвертой встречи часовая стрелка пройдет делений. Тогда общий путь минутной стрелки складывается из найденных 36 делений, ещё 8 изначально разделяющих их делений (поскольку часы показывают 8 часов) и последних L делений. Приравняем время движения часовой и минутной стрелок:

Часовая стрелка пройдет 4 деления, что соответствует 4 часам, то есть 240 минутам.

Ответ: 240.

Приведем другое решение.

Ясно, что в первый раз стрелки встретятся между 8 и 9 часами, второй раз — между 9 и 10 часами, третий — между 10 и 11, четвертый — между 11 и 12 часами, то есть ровно в 12 часов. Таким образом, они встретятся ровно через 4 часа, что составляет 240 минут.

5. Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Первый обогнал второго на 3 км за четверть часа, это значит, что скорость удаления (сближения) гонщиков равна  км/ч. Обозначим скорость второго гонщика  км/ч, тогда скорость первого  км/ч. Составим и решим уравнение:

Таким образом, скорость второго гонщика равна 108 км/ч.

Ответ: 108.

________________________________________________________________

19. Плиточник должен уложить 175 м2 плитки. Если он будет укладывать на 10 м2 в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 2 дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?

Решение.

Пусть плиточник должен был укладывать  кв. м. плитки в течение  дней. Если он будет укладывать  кв. м. плитки в течение  дней, то выполнит ту же работу. Поскольку всего нужно уложить 175 кв. м. плитки, имеем систему уравнений:

Таким образом, плиточник планировал в течение 7 дней укладывать по 25 кв. м. плитки в день.

Ответ: 25.

Приведём другое решение.

Пусть плиточник должен укладывать  кв. м плитки в день и справиться с работой за  дней. Если укладывать  кв. м. плитки в день, то работа будет выполнена за  дня. Имеем:

Таким образом, плиточник должен укладывать по 25 кв. м плитки в день.

Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 16 рабочих, а во второй — 25 рабочих. Через 7 дней после начала работы в первую бригаду перешли 8 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.

Решение.

Пусть производительность каждого из рабочих равна  заказа в день, и пусть в новом составе бригады доделывали заказы  дней. Тогда за первые 7 дней работы бригадами в 16 и 25 человек было сделано  и  частей заказов, а за следующие  дней бригадами в 24 человека и 17 человек были доделаны оставшиеся  и  частей заказов. Поскольку в результате были целиком выполнены два заказа, имеем:

Значит, в новом составе бригады работали 9 дней. Таким образом, потребовалось 7 + 9 = 16 дней на выполнений заказов.

Ответ: 16.

13. Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь – за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Решение.

Обозначим выполняемую мальчиками работу по покраске забора за 1. Пусть за , ,  часов Игорь, Паша и Володя, соответственно, покрасят забор, работая самостоятельно. Игорь и Паша красят забор за 9 часов:

Паша и Володя красят этот же забор за  часов:

,

а Володя и Игорь — за 18 часов:

Получаем систему уравнений:

Просуммируем левые и правые части данных трех уравнений, получим:

Ответ: 8.

Приведём ещё одно решение.

За один час Игорь и Паша красят 1/9 забора, Паша и Володя красят 1/12 забора, а Володя и Игорь — 1/18 забора. Работая вместе, за один час два Игоря, Паши и Володи покрасили бы:

  забора.

Тем самым, они могли бы покрасить один забор за 4 часа. Поскольку каждый из мальчиков был учтен два раза, в реальности Игорь, Паша и Володя могут покрасить забор за 8 часов.

_________________________________________________________________________

1.

Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Решение.

Пусть бригада в первый день покрасила  метров забора, во второй — , … , в последний — метров забора. Тогда  м, а за  дней было покрашено

 метров забора.

Поскольку всего было покрашено 240 метров забора, имеем:  Таким образом, бригада красила забор в течение 8 дней.

Ответ: 8.

2.

Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

Решение.

Пусть рабочие в первый день проложили  метров тоннеля, во второй —  , …, в последний —  метров тоннеля. Длина тоннеля  метров. ,  дней. Тогда в последний день рабочие проложили

 метров.

Таким образом, рабочие в последний день проложили 97 метров тоннеля.

Ответ: 97.

3.

Компания "Альфа" начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Решение.

Каждый год прибыль компании «Альфа» составляла 200% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 300% от капитала предыдущего года. В конце 2006 года на счёте компании «Альфа» была сумма

 долларов.

Каждый год прибыль компании «Бета» составила 400% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 500% от капитала предыдущего года. В конце 2006 года на счёте компании «Бета» была сумма

Таким образом, капитал компании «Бета» был на 35 000 долларов больше.

Ответ: 35 000.

В 12. Исследование производной функции

1. Найдите точку минимума функции 

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка минимума 

Ответ: 4.

2. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Производная обращается в нуль в точках и , заданному отрезку принадлежит числоОпределим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на заданном отрезке:

В точке −6 функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

Ответ: 8.

3.Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

Решение.

Заметим, что  и найдем производную этой функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Наибольшим значением функции на отрезке [0; 4] является ее значение в точке максимума. Найдем его:

Ответ: 1.

1. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке [−2,5; 0].

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке  заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:

Ответ: −6.

11. Найдите точку минимума функции 

Решение.

Заметим, что  Область определения функции — открытый луч  Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Найденная точка лежит на луче  Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка минимума 

Ответ: −2.

17. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Отметим на рисунке нули производной и поведение функции на заданном отрезке:

Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является ее значение в точке минимума. Найдем его:

Ответ: −6.

1. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке  заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

Ответ: 12.

10. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

Решение.

Найдем производную заданной функции:  Уравнение  не имеет решений, производная положительна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является возрастающей.

Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является

Ответ: −16,5.

11. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найденная производная неотрицательна на заданном отрезке, заданная функция возрастает на нем, поэтому наибольшим значением функции на отрезке является

Ответ: 5.

21. Найдите точку максимума функции , принадлежащую промежутку 

Решение.

Найдем производную заданной функции:

На заданном промежутке (первая четверть без граничных точек) синус не обращается в нуль и принимает только положительные значения. Поэтому единственный нуль производной — число 1,5.

Определим знаки производной функции: она положительна при x < 1,5 и отрицательна при x > 1,5. Поэтому искомая точка максимума — число 1,5.

Ответ: 1,5.

1. Найдите точку минимума функции 

Решение.

Поскольку функция  возрастающая, заданная функция достигает минимума в той же точке, в которой достигает минимума выражение  Квадратный трехчлен  с положительным старшим коэффициентом достигает минимума в точке , в нашем случае — в точке −1.

Ответ: −1.

2. Найдите наибольшее значение функции 

Решение.

Выделим полный квадрат:

Отсюда имеем:

Поэтому наибольшее значние функции достигается в точке −2, и оно равно 3.

Ответ: 3.

Примечание.

Приведем другое решение.

Квадратный трехчлен  с отрицательным старшим коэффициентом достигает наибольшего значения в точке  В нашем случае наибольшее значение достигается в точке −2 и равно 9. Поскольку функция  возрастает и определена в точке 9, для исходной функции  имеем: 

3. Найдите точку максимума функции 

Решение.

Квадратный трехчлен  с отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке , в нашем случае — в точке 1. Поскольку функция возрастает, и функция  определена в точке 1, она также достигает в ней максимума.

Ответ: 1.

Каталог 9. График функции                             1 вариант

1. На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b и c — целые. Найдите 

2. На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b и c — целые. Найдите значение .

3. На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b, c и d — целые. Найдите корень уравнения 

4. На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b и c — целые. Найдите 

5. На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b и c — целые. Найдите b.

6. На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b, c и d — целые. Найдите корень уравнения 

Каталог 9. График функции                             2 вариант

1. На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b и c — целые. Найдите значение дискриминанта уравнения .

2. На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b, c и d — целые. Найдите корень уравнения 

3. На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b и c — целые. Найдите c.

4. На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b и c — целые. Найдите 

5. На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b и c — целые. Найдите 

6. На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b, c и d — целые. Найдите корень уравнения 

Ключ

Начала теории вероятностей

1. Фабрика выпускает сумки. В среднем 8 сумок из 100 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

Решение. В среднем без дефектов выпускают 92 сумки из каждых 100, поэтому искомая вероятность равна 0,92.

Ответ: 0,92.

2.Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение.

По условию из любых 100 + 8 = 108 сумок в среднем 100 качественных сумок. Значит, вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна

 Ответ: 0,93.

3. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.

Решение. Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (Д — Дания, Ш — Швеция, Н — Норвегия):

...Д...Ш...Н..., ...Д...Н...Ш..., ...Ш...Н...Д..., ...Ш...Д...Н..., ...Н...Д...Ш..., ...Н...Ш...Д...

Дания находится после Швеции и Норвегии в двух случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна

 Ответ: 0,33.

4. В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

Решение. Из 5000 тысяч новорожденных 5000 − 2512 = 2488 девочек. Поэтому частота рождения девочек равна

Ответ: 0,498.

5. На борту самолёта 12 кресел расположены рядом с запасными выходами и 18 — за перегородками, разделяющими салоны. Все эти места удобны для пассажира высокого роста. Остальные места неудобны. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

Решение. В самолете 12 + 18 = 30 мест удобны пассажиру В., а всего в самолете 300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В. достанется удобное место равна 30 : 300 = 0,1.

 Ответ: 0,1.

6. В классе 26 учащихся, среди них два друга  — Андрей и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

Решение. Пусть один из друзей находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 12 человек из 25 оставшихся одноклассников. Вероятность того, что второй друг окажется среди этих 12 человек, равна 12 : 25 = 0,48.

Ответ: 0,48.

7. За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

Решение. Пусть первой за стол сядет девочка, рядом с ней есть два места, на каждое из которых может сесть 8 человек, из которых только одна девочка. Таким образом, вероятность, что девочки будут сидеть рядом равна 

Ответ: 0,25.

8. За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки будут сидеть рядом.

Решение. Пусть первой за стол сядет девочка, тогда рядом с ней есть два места, на каждое из которых претендует 4 человека, из которых только одна девочка. Таким образом, вероятность, что девочки будут сидеть рядом равна 

9. За круглый стол на 201 стул в случайном порядке рассаживаются 199 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что между девочками будет сидеть один мальчик.

Решение. Рассмотрим сидящую за столом девочку. За столом есть два места через одно от нее, на каждое из которых претендует 200 человек, из которых только одна девочка. Таким образом, вероятность, что между двумя девочками будет сидеть один мальчик равна 

Ответ: 0,01

 10. Проводится жеребьёвка Лиги Чемпионов. На первом этапе жеребьёвки восемь команд, среди которых команда «Барселона», распределились случайным образом по восьми игровым группам — по одной команде в группу. Затем по этим же группам случайным образом распределяются еще восемь команд, среди которых команда «Зенит». Найдите вероятность того, что команды «Барселона» и «Зенит» окажутся в одной игровой группе.

Решение. По результатам первой жеребьёвки команда «Барселона» находится в одной из 8 групп. Вероятность того, что команда «Зенит» окажется в той же игровой группе равна одной восьмой.

Ответ: 0,125.

11. У Вити в копилке лежит 12 рублёвых, 6 двухрублёвых, 4 пятирублёвых и 3 десятирублёвых монеты. Витя наугад достаёт из копилки одну монету. Найдите вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит более 70 рублей.

Решение. У Вити в копилке лежит 12 + 6 + 4 + 3 = 25 монет на сумму 12 + 12 + 20 + 30 = 74 рубля. Больше 70 рублей останется, если достать из копилки либо рублёвую, либо двухрублёвую монету. Таких монет 12 + 6 = 18. Искомая вероятность равна 18 : 25 = 0,72. Ответ: 0,72.

12. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Решение. Обозначим выпадение орла буквой О, а выпадение решки буквой Р. Возможных восемь исходов:

OOO,  OОР,   ОРО,   ОРР,   РОО,   РОР,  РРО,   РРР

Из них благоприятными являются OОР, ОРО и РОО. Поэтому искомая вероятность равна  то есть 0,375. (Этот подход затруднителен в случае большого числа бросаний монетки.)

Ответ: 0,375.

13. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Решение. Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 8 очков, равно 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна

Ответ: 0,14.

14. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Решение. Вероятность того, что команда России окажется во второй группе, равна отношению количества карточек с номером 2, к общему числу карточек. Тем самым, она равна

Ответ: 0,25

15. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?

Решение. На клавиатуре телефона 10 цифр, из них 5 четных: 0, 2, 4, 6, 8. Поэтому вероятность того, что случайно будет нажата четная цифра, равна 5 : 10 = 0,5.

Ответ: 0,5.

16. Из множества натуральных чисел от 10 до 19 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3?

Решение. Натуральных чисел от 10 до 19 включительно десять, из них на три делятся три числа: 12, 15, 18. Следовательно, искомая вероятность равна 3:10 = 0,3.

Ответ: 0,3.

17. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

Решение. Всего туристов пять, случайным образом из них выбирают двоих. Вероятность быть выбранным равна 2 : 5 = 0,4.

Ответ: 0,4.

18. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

Решение. Обозначим «1» ту сторону монеты, которая отвечает за выигрыш жребия «Физиком», другую сторону монеты обозначим «0». Тогда благоприятных комбинаций три: 110, 101, 011, а всего комбинаций 23 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Тем самым, искомая вероятность равна:

Ответ: 0,375.

19. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 5»?

Решение. Сумма очков может быть равна 5 в четырех случаях: «3 + 2», «2 + 3», «1 + 4», «4 + 1».

Ответ: 4.

20. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадает орёл, во второй — решка).

Решение. Всего возможных исходов — четыре: орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка. Благоприятным является один: орел-решка. Следовательно, искомая вероятность равна 1 : 4 = 0,25.

Ответ: 0,25.

Вероятности сложных событий

1. Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Решение. Воспользуемся формулой Бернулли. Найдем вероятность события А, состоящего в том, что при десяти бросаниях выпадет ровно 5 орлов:

Аналогично найдем вероятность события B, состоящего в том, что при десяти бросаниях выпадет ровно 4 орла:

Тогда

Ответ: 1,2

Приведем решение Ирины Шраго.

Вероятность того, что выпадет ровно 5 орлов, равна отношению количества вариантов, при которых выпадает ровно 5 орлов, к общему количеству вариантов:  Вероятность того, что выпадет ровно 4 орла, равна отношению количества вариантов, при которых выпадает ровно 4 орла, к общему количеству вариантов:  Тогда отношение этих вероятностей 

Количество вариантов, при которых выпадет ровно 5 орлов, равно 

Количество вариантов, при которых выпадет ровно 4 орла, равно 

Тогда

2. В одном ресторане в г. Тамбове администратор предлагает гостям сыграть в «Шеш-беш»: гость бросает одновременно две игральные кости. Если он выбросит комбинацию 5 и 6 очков хотя бы один раз из двух попыток, то получит комплимент от ресторана: чашку кофе или десерт бесплатно. Какова вероятность получить комплимент? Результат округлите до сотых.

Решение. Сначала найдём вероятность того, что при двух бросках игральных костей комбинация 5 и 6 очков не выпадет ни разу. Заметим, что вероятность выбросить комбинацию 5 и 6 очков складывается из двух несовместных событий: на первом кубике выпало 5 очков, а на втором кубике выпало 6 очков или на первом кубике выпало 6 очков, а на втором кубике выпало 5 очков. Тогда вероятность того, что при броске двух игральных костей выпадет комбинация 5 и 6 очков, равна

Вероятность противоположного события, состоящего в том, что при одном броске костей комбинация 5 и 6 очков не выпадет, равна

Каждое бросание костей не зависит от предыдущего. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что при двух бросках игральных костей комбинация 5 и 6 очков не выпадет ни разу, равна  Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что при двух бросаниях игральных костей комбинация 5 и 6 очков выпадет хотя бы один раз, равна

Округляя до сотых, получаем ответ.

Ответ: 0,11.

3. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.

Решение. Изобразим с помощью дерева возможные исходы. Зелёным цветом отмечены исходы, удовлетворяющие условию «Сумма очков превысила число 3 ровно за два броска». Красным цветом отмечены исходы, неудовлетворяющие этому.

Искомая вероятность равна

Округляя до сотых, получаем 0,42.

Ответ: 0,42.

4. Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.

Решение. Вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток, равна сумме вероятностей того, что сообщение будет передано с первой попытки, и того, что сообщение будет передано со второй попытки. Вероятность неудачной отправки равна 1 − 0,4 = 0,6. Тогда искомая вероятность равна

Ответ: 0,64.

5. При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование.

При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Решение. Пусть событие A — пациент болен, событие B — тест выявляет наличие заболевания. Тогда P(A) = x — вероятность того, что пациент болен. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев, значит, вероятность того, что пациент болен и тест подтверждает это, равна P(AB) = x · 0,86. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в 94% случаев, значит, вероятность того, что пациент не болен, а тест дал положительный результат, равна (1 − x) · (1 − 0,94). Тогда вероятность того, что тест окажется положительным, равна  Отсюда выразим x:

Тогда вероятность того, что тест оказался положительным у пациента, который действительно имеет заболевание, равна

Ответ: 0,43.

6. Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Сколько патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,6?

Решение. Вероятность попадания в мишень равна 0,2. Вероятность противоположного события — промаха — равна 1 − 0,2 = 0,8. Заметим, что вероятность попадания с n-го раза равна 1 − 0,8n. Таким образом, задача сводится к решению неравенства

При n = 2 получаем  При n = 3 получаем  При n = 4 получаем  При n = 5 получаем  Таким образом, ответ — 5.

Ответ: 5.

7. В ящике четыре красных и два синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?

Решение. Изобразим с помощью дерева возможные исходы. Последовательность исходов, приводящая к событию «первый раз синий фломастер появится третьим по счету» выделена оранжевым цветом. Искомая вероятность равна

Ответ: 0,2.

8. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени»?

Решение. Сначала найдём вероятность попасть в мишень с первого или второго выстрела:  Соответственно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что стрелок не попадёт в мишень с двух выстрелов, равна 1 − 0,84 = 0,16.

Вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» равна 0,845. Для нахождения вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени» воспользуемся формулой Бернулли:

Теперь найдём искомое отношение вероятностей:

Ответ: 1,05.

9. В викторине участвуют 6 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых трёх играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет четвёртый раунд?

Решение. Поскольку команда A победила в первых трёх играх, она является либо сильнейшей среди всех команд, либо второй по силе, либо третьей по силе. Рассмотрим три случая.

Первый случай — команда A — сильнейшая. Выпишем все команды в порядке возрастания силы: xxxxxA, где x — некоторая команда. Тогда есть 5 · 4 · 3 · 2 · 1 · 1 = 120 способов расположить по силе остальные команды. Поскольку команда A является сильнейшей, вероятность выигрыша в четвёртом раунде равна 1.

Второй случай — команда A является второй по силе среди всех команд. Выпишем все команды в порядке возрастания силы: xxxxAx, где x — некоторая команда. Заметим, что справа от команды A может располагаться одна из двух ещё не проигравших ей команд, значит, есть 2 · 4 · 3 · 2 · 1 · 1 · 1 = 48 способов расположить по силе остальные команды. Поскольку к четвёртому раунду в игре, кроме команды A, остались ещё две команды, одна из которых слабее команды A, вероятность победы команды A в четвёртом раунде равна 0,5.

Третий случай — команда A является третьей по силе среди всех команд. Выпишем все команды в порядке возрастания силы: xxxAxx, где x — некоторая команда. Заметим, что справа от команды A могут располагаться две ещё не проигравшие ей команды, а слева — три проигравших ей команды, значит, есть 3 · 2 · 1 · 1 · 2 · 1 = 12 способов расположить по силе остальные команды. Поскольку к четвёртому раунду в игре, кроме команды A, остались ещё две команды, обе из которых сильнее команды A, вероятность победы команды A в четвёртом раунде равна 0.

Таким образом, поскольку известно, что некоторые три команды слабее команды A, всего имеется 120 + 48 + 12 = 180 способов расположить шесть команд по силе. Так как три вышеперечисленных случая — несовместные события, вероятность победы команды A в четвёртом раунде равна

Ответ: 0,8.

10. Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определён жребием. Всего в турнире участвует 16 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга – Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?

Решение. Заметим, что поскольку в турнире участвуют 16 игроков, всего будет четыре тура, в каждом из которых будут играть 16, 8, 4 и 2 человека соответственно. Пусть событие A — Иван с Алексеем сыграли друг с другом в первом туре, событие B — они не сыграли друг с другом в первом туре, но выиграли свои игры в первом туре и встретились во втором, событие C — они не сыграли друг с другом в первом и втором туре, но выиграли свои игры в первом и втором туре и встретились в третьем, D — они не сыграли друг с другом в первом, втором и третьем туре, но выиграли свои игры в первом, втором и третьем туре и встретились в четвёртом.

Вероятность того, что Иван с Алексеем сыграют в первом туре, равна  Вероятность события, при котором Иван с Алексеем не сыграли друг с другом в первом туре, но оба выиграли в первом туре и встретились во втором туре, равна

Аналогично, вероятность события C:

Осталось найти вероятность того, что Иван с Алексеем сыграют в четвёртом туре:

Теперь найдём искомую вероятность:

Ответ: 0,125.

____________________________________________________________________

7. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна 

Ответ: 0,027.

8. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру кофе останется в обоих автоматах.

Решение. Рассмотрим события

А = кофе закончится в первом автомате,

В = кофе закончится во втором автомате.

Тогда

A·B = кофе закончится в обоих автоматах,

A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию P(A) = P(B) = 0,25; P(A·B) = 0,15.

События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35.

Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,35 = 0,65.

Ответ: 0,65.

9. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение. Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», С = «чайник прослужит ровно два года», тогда A + B + С = «чайник прослужит больше года».

События A, В и С несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Вероятность события С, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час, наносекунду и т. д. — равна нулю. Тогда:

P(A + B + С) = P(A) + P(B) + P(С)= P(A) + P(B),

откуда, используя данные из условия, получаем

0,97 = P(A) + 0,89.

Тем самым для искомой вероятности имеем:

P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.

Ответ: 0,08.

11. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,82. Вероятность того, что окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,51. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 10 до 17.

Решение. Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 10 пассажиров» и В = «в автобусе от 10 до 17 пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 18 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,82 = 0,51 + P(В), откуда P(В) = 0,82 − 0,51 = 0,31.

Ответ: 0,31.

12. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение. Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,8, он промахивается с вероятностью 1 − 0,8 = 0,2. Cобытия попасть или промахнуться при каждом выстреле независимы, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Тем самым, вероятность события «попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся» равна

Ответ: 0,02.

13. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение. Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,3·0,3 = 0,09.

Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,09 = 0,91.

Ответ: 0,91.

14. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов.

Решение. 

Р(1) = 0,6.

Р(2) = Р(1)·0,4 = 0,24.

Р(3) = Р(2)·0,4 = 0,096.

Р(4) = Р(3)·0,4 = 0,0384;

Р(5) = Р(4)·0,4 = 0,01536.

Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени. Ответ:5

16. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Решение. Команда может получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами: 3+1, 1+3, 3+3. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Каждое из этих событий представляет собой произведение двух независимых событий — результата в первой и во второй игре. Отсюда имеем:

Ответ: 0,32.

17. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение. Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хорошая, О — отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды:

P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128;

P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128;

P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008;

P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.

Указанные события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

Ответ: 0,392.

18. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение. Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,05 · 0,05 = 0,0025. Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,0025 = 0,9975.

Ответ: 0,9975.

19. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение. Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер и промахнется из него, или если схватит непристрелянный револьвер и промахнется из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·(1 − 0,9) = 0,04 и 0,6·(1 − 0,2) = 0,48. События схватить пристрелянный или непристрелянный револьвер образуют полную группу (они несовместны и одно из них непременно наступает), поэтому, по формуле полной вероятности, Джон промахнется с вероятностью 0,04 + 0,48 = 0,52.

Ответ: 0,52.

20. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение. Вероятность того, что стекло сделано на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135.

Вероятность того, что стекло сделано на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055.

Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019.

Ответ: 0,019.

21. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение. Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: А) пациент болеет гепатитом, его анализ верен; B) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно  и 

События быть больным или быть здоровым образуют полную группу (они несовместны и одно из них непременно наступает), поэтому можно применить формулу полной вероятности. Получим: 

Ответ: 0,0545.

22. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение. Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате следующих событий: батарейка действительно неисправна и забракована справедливо или батарейка исправна, но по ошибке забракована. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно  и 

События быть неисправной батарейкой или быть исправной образуют полную группу (они несовместны и одно из них непременно происходит), поэтому можно применить формулу полной вероятности. Получим:

Ответ: 0,0296.

23. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Это решение можно записать коротко. Пусть x — искомая вероятность того, что куплено яйцо, произведенное в первом хозяйстве. Тогда  — вероятность того, что куплено яйцо, произведенное во втором хозяйстве. По формуле полной вероятности имеем:

Ответ: 0,75.

 25. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.

Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение. Для того, чтобы поступить хоть куда-нибудь, З. нужно сдать и русский, и математику как минимум на 70 баллов, а помимо этого еще сдать иностранный язык или обществознание не менее, чем на 70 баллов. Пусть A, B, C и D — это события, в которых З. сдает соответственно математику, русский, иностранный и обществознание не менее, чем на 70 баллов. Тогда поскольку

для вероятности поступления имеем:

Ответ: 0,408.

26. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

Решение. Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15 пассажиров» и В = «в автобусе от 15 до 19 пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В), откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.

Ответ: 0,38.

.

28. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.

Решение. Пусть завод произвел n тарелок. В продажу поступят все качественные тарелки и 20% невыявленных дефектных тарелок:  тарелок. Поскольку качественных из них  вероятность купить качественную тарелку равна

Округляя результат до сотых, получаем 0,98.

Ответ: 0,98.

29. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение. Вероятность того, что первый магазин не доставит нужный товар равна 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит нужный товар равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02.

Ответ: 0,02.

30. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.

Решение. Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125.

Ответ: 0,125.

31. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Решение. Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, Петя должен взять из кармана одну пятирублевую и две десятирублевые монеты. Это можно сделать тремя способами: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Эти события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

32. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).

Решение. Пусть A — событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком с первого выстрела, B — событие, состоящее в том, что первый раз стрелок промахнулся, а со второго выстрела поразил мишень. Вероятность события A равна P(A) = 0,7. Событие B является произведением двух независимых событий, поэтому его вероятность равна произведению вероятностей этих событий: P(B) = 0,3·0,7 = 0,21. События A и B несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,21 = 0,91.

Ответ: 0,91.

33. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Мотор» по очереди играет с командами «Статор», «Стартер» и «Ротор». Найдите вероятность того, что «Мотор» будет начинать с мячом только вторую игру.

Решение. Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Мотор» не начинает первую игру, начинает вторую игру, не начинает третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125.

Ответ: 0,125.

34. Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что во второй раз выпало 3 очка.

Решение. При двукратном бросании кубика 8 очков может получиться только в пяти случаях: 6 + 2, 5 + 3, 4 + 4, 3 + 5 и 2 + 6. При этом во второй раз только единожды выпало 3 очка. Значит, вероятность того, что во второй раз выпало 3 очка при условии, что в сумме выпало 8 очков, равна одной пятой.

Ответ: 0,2.

35. При двукратном бросании игральной кости в сумме выпало 9 очков. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпало 5 очков?

Решение. При двукратном бросании игральной кости 9 очков может получится только в четырёх случаях: 6 + 3, 5 + 4, 4 + 5 и 3 + 6. При этом 5 очков выпадало в двух из этих случаев. Значит, вероятность того, что хотя бы раз выпало 5 очков равна

Ответ: 0,5.

36. Игральную кость бросили два раза. Известно, что три очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 8».

Решение. Условию, что при двукратном броске игральной кости три очка не выпали ни разу, соответствует 25 исходов (отмечены оранжевым цветом). Событию «сумма выпавших очков равна 8» соответствуют 3 из них (отмечены зелёным цветом). Значит, искомая вероятность равна

Ответ: 0,12.

37. Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 4. Какова вероятность того, что был сделан один бросок? Ответ округлите до сотых.

Решение. Пусть событие A состоит в том, сумма всех выпавших в результате одного или нескольких бросаний очков равна 4. Построим дерево вариантов, приводящих к этому событию.

Найдем вероятность P(A):

Пусть событие B состоит в том, что был сделан один бросок. Тогда искомая вероятность P(B|A) события В при условии, что событие А наступило (вероятность того, что был сделан один бросок, при условии что выпало 4 очка) определяется по формуле условной вероятности  Вероятность произведения событий B и A, то есть события, в котором при первом бросании кости выпало 4 очка, равна  Тогда для искомой вероятности получаем:

Ответ просят округлить до сотых.

Ответ: 0,63.

Примечание.

Любознательный читатель наверняка обратит внимание на различие в способах решения этой задачи и задачи 508762. В задаче 508762 подсчитывалось общее количество вариантов, с помощью которых можно получить заданную сумму очков, а затем количество подходящих вариантов делилось на общее количество. В данной задаче общее количество вариантов равно 8: 4, 1 + 3, 3 + 1, 2 + 2, 1 + 1 + 2, 1 + 2 + 1, 2 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1. Подходящий вариант только один. Однако эти варианты не являются равновероятными, поэтому нельзя делить количество подходящих вариантов на общее количество вариантов, а необходимо рассчитывать вероятности вариантов и использовать формулу, приведенную в решении данной задачи.

38. Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 3. Какова вероятность того, что было сделано два броска? Ответ округлите до сотых.

Решение. Изобразим с помощью дерева возможные исходы. Зелёным цветом отмечены исходы, удовлетворяющие условию «сумма выпавших очков равна 3». Оранжевым цветом отмечены исходы, удовлетворяющие условию «сумма очков, выпавших ровно за два броска равна 3».

Тогда вероятность события «сделано два броска» при условии «в сумме выпало 3 очка» равна:

Ответ просят округлить до сотых.

Ответ: 0,24.

39. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чётных чисел, а нечётные числа 1, 3 и 5 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?

Решение. Предположим, что бросали первый кубик. Тогда вероятность того, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков, равна  Теперь предположим, что бросали второй кубик. Поскольку на втором кубике числа 3 и 5 встречаются по два раза, вероятность того, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков, равна  Таким образом, искомая вероятность равна 

Ответ: 0,8.

40. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чисел, больших, чем 2, а числа 1 и 2 встречаются по три раза. В остальном кубики одинаковые.

Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 1 и 2 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?

Решение. Предположим, что бросали первый кубик. Тогда вероятность того, что в каком-то порядке выпали 1 и 2, равна  Теперь предположим, что бросали второй кубик. Поскольку на втором кубике числа 1 и 2 встречаются по три раза, вероятность того, что в каком-то порядке выпали 1 и 2, равна  Таким образом, искомая вероятность равна 

Ответ: 0,9.

41. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чётных чисел, а нечётные числа 1, 3 и 5 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые.

Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность того, что бросали первый кубик?

Решение. Предположим, что бросали первый кубик. Тогда вероятность того, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков, равна  Теперь предположим, что бросали второй кубик. Поскольку на втором кубике числа 3 и 5 встречаются по два раза, вероятность того, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков, равна  Таким образом, искомая вероятность равна 

Ответ: 0,2.

42. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика числа 1 и 2 встречаются по три раза. В остальном кубики одинаковые.

Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 1 и 2 очков. Какова вероятность того, что бросали первый кубик?

Решение. Предположим, что бросали первый кубик. Тогда вероятность того, что в каком-то порядке выпали 1 и 2, равна  Теперь предположим, что бросали второй кубик. Поскольку на втором кубике числа 1 и 2 встречаются по три раза, вероятность того, что в каком-то порядке выпали 1 и 2, равна  Таким образом, искомая вероятность равна 

Ответ: 0,1.

43. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет нечётных чисел, а чётные числа 2, 4 и 6 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые.

Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?

Решение. Предположим, что бросали первый кубик. Тогда вероятность того, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков, равна  Теперь предположим, что бросали второй кубик. Поскольку на втором кубике числа 4 и 6 встречаются по два раза, вероятность того, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков, равна  Таким образом, искомая вероятность равна 

Ответ: 0,8.

44. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет нечётных чисел, а чётные числа 2, 4 и 6 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые.

Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков. Какова вероятность того, что бросали первый кубик?

Решение. Предположим, что бросали первый кубик. Тогда вероятность того, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков, равна  Теперь предположим, что бросали второй кубик. Поскольку на втором кубике числа 4 и 6 встречаются по два раза, вероятность того, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков, равна  Таким образом, искомая вероятность равна 

Ответ: 0,2.

45. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика числа 5 и 6 встречаются по три раза. В остальном кубики одинаковые.

Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 5 и 6 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?

Решение. Предположим, что бросали первый кубик. Тогда вероятность того, что в каком-то порядке выпали 5 и 6 очков, равна  Теперь предположим, что бросали второй кубик. Поскольку на втором кубике числа 5 и 6 встречаются по три раза, вероятность того, что в каком-то порядке выпали 5 и 6 очков, равна  Таким образом, искомая вероятность равна 

Ответ: 0,9.

46. Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом очередном Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс. У Маши уже есть две разные принцессы из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить ещё 2 или 3 шоколадных яйца?

Решение. Заметим, что вероятность получения новой принцессы равна  а вероятность противоположного события — получение старой принцессы —  Вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить 2 шоколадных яйца, равна  Вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить 3 шоколадных яйца, равна  Таким образом, искомая вероятность — 0,16 + 0,032 = 0,192.

Ответ: 0,192.

47. Артём гуляет по парку. Он выходит из точки S и, дойдя до очередной развилки, с равными шансами выбирает следующую дорожку, но не возвращается обратно. Найдите вероятность того, что таким образом он выйдет к пруду или фонтану.

Решение. Чтобы выйти к фонтану Артёму нужно пройти три развилки. На первой развилке нужно выбрать одну из четырёх дорожек, на второй — одну из двух, на третьей — одну из двух. Значит, вероятность выйти к фонтану равна 

Выйти к пруду Артём может двумя разными способами. Первый способ: на первой развилке нужно выбрать одну из четырёх дорожек, на второй — одну из двух. Вероятность этого способа равна  Второй способ: на первой развилке нужно выбрать одну из четырёх дорожек, на второй — две из четырёх. Вероятность этого способа тоже равна 

Значит, вероятность того, что Артём выйдет к пруду или фонтану, равна 

Ответ: 0,3125.

48. Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало 3 очка»?

Решение. При трёхкратном бросании игральной кости 6 очков может получится только в десяти случаях: 1 + 2 + 3, 1 + 3 + 2, 2 + 1 + 3, 2 + 3 + 1, 3 + 1 + 2, 3 + 2 + 1, 2 + 2 + 2, 1 + 1 + 4, 1 + 4 + 1 и 4 + 1 + 1. При этом 3 очка выпадает в шести из этих случаев. Значит, вероятность того, что хотя бы раз выпало 3 очка равна

Ответ: 0,6.

49. В городе 48 % взрослого населения — мужчины. Пенсионеры составляют 12,6 % взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15 %. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».

Решение. Женщин среди взрослого населения 100 % − 48 % = 52 %, среди них 52 % · 0,15 = 7,8% пенсионерок. Всего в городе 12,6 % пенсионеров, поэтому мужчин-пенсионеров 12,6 % − 7,8 % = 4,8 % от взрослого населения города. Поскольку всего среди взрослого населения города 48 % мужчин и среди них 4,8 % пенсионеров, пенсионером является каждый десятый:  Следовательно, вероятность того, что случайно выбранный мужчина окажется пенсионером равна 0,1.

Ответ: 0,1.

Приведём другое решение.

Пусть х  — доля мужчин-пенсионеров среди всех мужчин. Построим дерево вероятностей (см. рис.).

Пенсионеры составляют 0,126 взрослого населения города, откуда получаем:

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный мужчина окажется пенсионером, равна 0,1.

50. В коробке 8 синих, 6 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?

Решение. Заметим, что возможны два случая, когда выбраны один синий и один красный фломастер: сначала выбрали синий, потом красный; сначала выбрали красный, потом синий. Эти события несовместны, следовательно, искомая вероятность равна P(С; К) + P(К; С):

Ответ: 0,16.