Особенности изучения элементов статистики в средней школе
методическая разработка по алгебре (7, 8, 9, 10 класс)

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

школа-интернат № 1 имени К. К.Грота

 Красногвардейский район г. Санкт-Петербург

Бритаева О.М.

Учитель математики

 Особенности изучения элементов статистики в средней школе

Санкт-Петербург

2019

Аннотация

Данная разработка призвана оказать помощь учителям математики и информатики, работающих в 7-11 классах общеобразовательных школ. Наибольшая значимость продукта для учителей данных предметов в том, что в нем обобщен и систематизирован учебный материал, который используется на уроках математики и информатики при изучении статистики. Представленный материал может оказаться полезным учителям, которые активно занимаются разработкой и реализацией интегрированного обучения применительно к решению статистических задач.

Введение

Статистика знает всё.

И. Ильф и Е. Петров. Золотой теленок

  Элементы статистики являются составной частью школьного курса математики. Актуальность изучения статистики обусловлена тем, что статистические представления являются важнейшей составляющей интеллектуального багажа современного человека. Они нужны и для повседневной жизни в современном цивилизованном обществе, и для продолжения образования практически во всех сферах человеческой деятельности, например, таких, как социология, экономика, право, медицина, демография.

   Главной задачей при изучении этого материала является воспитание пользователя, т.е. на формирование умения понимать и интерпретировать статистические результаты, представляемые, например, в средствах массовой информации. Необходимо не столько формальное заучивание новых терминов, сколько первоначальное знакомство с понятийным аппаратом этой области знаний, представление о которой необходимо каждому современному человеку.

   Учащиеся, заканчивая обучение в школе и выходя в большой и непредсказуемый мир должны уметь:

• анализировать полученную информацию и воспринимать только ту, которая может использоваться в дальнейшей деятельности и прежде чем что-то предпринять уметь прогнозировать исход предстоящей ситуации.
• использовать результаты статистических обработок для
  внесения поправок в свое собственное поведение, которые необходимы для получения желаемого результата.

Актуальность темы.

         В настоящее время в условиях информатизации общества качество жизни и социальный статус человека стали зависеть от его участия в общественном информационном обмене (оперативного доступа к необходимой информации, ее обработки и представления результатов информационной деятельности).

Значимость приобретаемых знаний зависит от того, насколько они востребованы в реальной жизни. Также большое значение имеет степень их возможной применимости. Знания и умения не должны быть однобокими. Обязательно должны прослеживаться межпредметная связь и формироваться метапредметные навыки. Требования к современному образованию заставляют всех участников учебного процесса осваивать новые технологии, применять полученные знания в нестандартных ситуациях.

Решению поставленных задач способствует интегрированное изучение разделов курсов математики и информатики. Cлабовидящие школьники, работая с электронными таблицами и диаграммами для решения статистических задач, совершенствуют умения, формируемые на уроках информатики, и получают возможность практической реализации теоретических знаний, усвоенных на уроках математики и алгебры.

Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования (ФГОС ООО) требует достижения определенных предметных результатов. Так, в результате изучения курса математики выпускник должен получить возможность научиться следующему:

Раздел «Статистика»

• оперировать понятиями: столбчатые и круговые диаграммы, таблицы данных, среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения выборки, размах выборки, дисперсия и стандартное отклонение, случайная изменчивость;
• извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках;
• составлять таблицы, строить диаграммы и графики на основе данных.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках, отражающую свойства и характеристики реальных процессов и явлений;
• определять статистические характеристики выборок по таблицам, диаграммам, графикам, выполнять сравнение в зависимости от цели решения задачи.

В результате изучения курса информатики (раздел «Электронные таблицы. Статистика») в соответствии с требованиями ФГОС выпускник должен получить возможность научиться следующему:

• овладеть навыками работы с компьютером; знаниями, умениями и навыками, достаточными для работы с различными видами программных систем и интернет-сервисов (файловые менеджеры, текстовые редакторы, электронные таблицы, браузеры, поисковые системы, словари, электронные энциклопедии); умением описывать работу этих систем и сервисов с использованием соответствующей терминологии;
• практиковаться в использовании основных видов прикладного программного обеспечения (редакторы текстов, электронные таблицы, браузеры и др.);
• овладеть различными формами представления данных (таблицы, диаграммы, графики и т. д.).

Достижению названных результатов способствует решение статистических задач с помощью компьютера. Особенно это актуально для слепых и слабовидящих детей. Работа со статистическим материалом на компьютере совершенствует у детей с нарушением зрения умения систематизировать статистический материал, выделять главное, видеть особенности и тенденции при рассмотрении таблиц, диаграмм и графиков.

Успешная интеграция в сложное, вариативное и многоукладное общество зрячих непосредственно связано с правом на получение информации, с ее доступностью и достоверностью, с правом на осознанный выбор, который невозможно осуществить без умения извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами. Типические черты изучаемых явлений, их общие тенденции могут быть выявлены с помощью средних статистических характеристик, для нахождения которых используются знания, полученные на уроках информатики.

Интегрированный урок позволит решить целый ряд задач, которые трудно реализовать в рамках традиционных подходов, а именно:

• повышение мотивации учебной деятельности за счет нестандартной формы урока (это необычно, значит интересно);
• рассмотрение понятий, которые используются в разных предметных областях;
• организация целенаправленной работы с мыслительными операциями: сравнение, обобщение, классификация, анализ, синтез и т.д.;
• показ межпредметных связей и их применение при решении разнообразных задач.

Инновационность продукта.

Ведущую роль в современном образовательном процессе занимает информатизация, дающая огромные возможности, поскольку эффективно применяется не только в передаче знаний, но и способствует саморазвитию ученика. При использовании ИКТ появляются новые методы и организационные формы обучения.

Так, компьютерные технологии на уроке математики экономят время, повышают мотивацию, позволяют провести многостороннюю проверку знаний, наглядно и красочно представляют материал. Использование ИКТ позволяет:

• решать общеобразовательные, воспитательные и развивающие задачи;
• поставить каждому обучающемуся конкретные задачи, в зависимости от его способностей, мотивации, уровня подготовки;
• применить различные типы электронных средств учебного назначения, активизирующие учебную деятельность;
• частично освободить преподавателя от контролирующих функций; — сформировать у школьников навыки самостоятельного овладения знаниями.

Если говорить о слепых и слабовидящих обучающихся, то им особенно необходимо через интегрированные уроки математики и информатики получить представления об информационном обществе, научиться работать с информацией. Для лиц с глубокими нарушениями зрения участие в процессе общественного информационного обмена осложняется несовпадением имеющихся у них возможностей восприятия и сложившейся общественной практики, ориентированной, в основном, на визуально воспринимаемые формы представления информации.

В школе, реализующий адаптированные общеобразовательные программы для слепых и слабовидящих информатика изучается с 7 класса (1 час в неделю). Этого количества часов недостаточно для овладения в полном объеме материала по информатике. Учитывая эту особенность, следует при любой возможности включать работу с компьютером и в другие дисциплины. В этом плане очень удачным вариантом является решение статистических задач на компьютере для закрепления, отработки практических умений работы с электронными таблицами.

ФГОС ООО важное место отводит такому этапу урока, как рефлексия - самостоятельное проведение каждым обучающимся оценки свой деятельности. На уроках математики школьник не всегда может установить правильность или ошибочность своего решения. В основном проверку выполняет учитель. В случае применения компьютерных технологий учащемуся гораздо проще оценить правильность выполнения задания.

На сегодняшний момент не существует дидактических материалов по решению статистических задач со слепыми и слабовидящими детьми.

Методические рекомендации по использованию разработки

При подготовке проведения интегрированного урока по решению статистических задач с использованием настоящего пособия необходимо учитывать следующее:

• нужно организовать учебный процесс так, чтобы уроки информатики шли за уроками математики, т. е. те статистические задачи, которые обучающиеся решали на математике, сразу решались бы и на уроках информатики с использованием компьютера;
• один из учителей (интегратор) должен быть готов проводить интегрированный урок, объединяющий в себе учебный материал одновременно двух дисциплин;
• при подготовке урока обязательно нужно учитывать уровень владения обучающимися персональным компьютером (ПК); возможно придется провести предварительные дополнительные занятия;
• для удобства работы можно разбить класс на группы сменного состава (при работе за ПК) и каждой группе дать свое конкретное задание.

Планируемые результаты применения продукта

В случае решения статистических задач с помощью ПК на интегрированных уроках математики и информатики школе для слепых и слабовидящих удастся достичь следующих результатов образовательного процесса:

1. освоение обучающимися системы базовых знаний, в которых отражается вклад статистики и информатики в формировании современной научной картины мира, роль информационных процессов в развитии в общества, техники и технологии;
2. овладение обучающимися навыками анализа, применения и преобразования информационных моделей реальных объектов и процессов с использованием информационных и коммуникационных технологий;
3. развитие интеллектуальных способностей обучающихся;
4. реализация предпрофильного обучения.

Решение статистических задач.

Раздел «Статистика» - обязательный компонент школьного математического образования, усиливающий его прикладное и практическое значение. Статистика – это наука, которая занимается сбором, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных явлениях, происходящих в природе и обществе и многие процессы в современной жизни подчиняются статистическим законам, которые под силу исследовать самим учащимся.

        Любое статистическое исследование последовательно проходит три этапа:

1. Первый этап: сбор статистических данных.
2. Второй этап: систематизация и группировка собранных данных.
3. Третий этап: анализ собранных данных.

Таким образом, для изучения различных общественных и социально-экономических явлений, а также некоторых процессов, происходящих в природе, проводятся специальные статистические исследования, которые начинаются со сбора информации об изучаемом явлении или процессе.

По собранным данным составляется выборка или статистический ряд.

Для анализа статистического ряда используются основные статистические характеристики, простейшими из которых являются среднее арифметическое, мода, медиана.

Среднее арифметическое

Выборка состоит из элементов попавших в нее. Количество этих элементов (n) называется объемом выборки.

Например, в таблице приведен рост игроков сборной по футболу:

Данная выборка представлена 11 элементами:

 Таким образом, объем выборки (n) равен 11.

Разность между максимальным и минимальным значениями элементов выборки называется размахом выборки.

Размах выборки =

Размах представленной выборки составляет:

 =194−176=18 см.

Среднее арифметическое ряда чисел – это частное от деления суммы этих чисел:   на их количество (n)

Средний рост игроков сборной по футболу определяется так:

Таким образом, средний рост игрока сборной составляет 183,8 см.

Медиана

Медиана (от латинского – середина) – число, характеризующее выборку, она делит отсортированные по возрастанию или убыванию данные (ранжированные) на две равные части. То есть медиана — это такое число выборки, что ровно половина из элементов выборки больше него, а другая половина меньше него.

Возможны две ситуации:

• ряд состоит из нечётного числа членов;
• ряд состоит из чётного числа членов.

Медианой ряда чисел с нечетным числом членов называется число, которое окажется посередине, если этот ряд упорядочить (проранжировать)

Медианой ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине, если этот ряд упорядочить (проранжировать).

Рассмотрим снова нашу таблицу

Для того чтобы найти медиану, ряд надо упорядочить, то есть расположить значения роста футболистов или в порядке убывания, или в порядке возрастания. Выстроим этот ряд в порядке возрастания.

Ряд упорядочен, определим четное и нечетное количество членов в выборке. Количество игроков 11, то есть находим  медиану для нечетного количества членов в выборке. Ищем число, которое оказалось посередине в нашем упорядоченном ряду:

        Рост 183 см будет медианой в нашей выборке (по краям ряда остается по пять чисел).

Рассмотрим ряд с чётным числом членов.

Ученикам 9 класса было задано за неделю решить как можно больше примеров для подготовки к итоговой контрольной по математике. Количество примеров, решенных учениками за неделю, сведены в таблицу:

        Упорядочим этот ряд чисел расположив их в порядке возрастания. Получим следующий ряд:

        Объём рассматриваемой выборки равен 20 – четное число, применяем определение медианы для ряда чисел с четным количеством элементов. То есть надо в нашем упорядоченном ряду найти среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине. Посередине располагаются два числа 80 и 81 и медианой этого ряда будет среднее арифметическое чисел 80 и 81.

Таким образом:

-  медиана рассматриваемой выборки.

Мода

Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.

Рассмотрим пример со сборной по футболу:

Число, наиболее часто встречается в этой выборке, - 181 см; рост же остальных игроков не повторяется.

        Статистическую информацию в современных условиях часто сразу загружается в электронные таблицы.

Электронные таблицы.

Электронные таблицы многократно расширили возможности, связанные с обработкой статистических данных. Принцип работы электронной таблицы очень прост. Как и обычная «бумажная» таблица, она состоит из строк и столбцов, на пересечении которых образуются ячейки. В ячейках можно хранить данные: числа, строки, даты. Каждая ячейка имеет индивидуальный адрес, состоящий из буквы (столбец) и числа (строка). Ячейки автоматически могут составлять статистические характеристики:

Для наглядности данные представляются в виде диаграмм или графиков.

Самыми простыми из них являются столбчатая диаграмма, круговая диаграмма, полигон.

Столбчатая диаграмма

Столбчатые диаграммы используют тогда, когда хотят продемонстрировать динамику изменения данных во времени или распределения данных, полученных в результате статистического исследования.

Например, в таблице приведены данные о годовых отметках, полученных обучающимися:

Круговая диаграмма

Для наглядного изображения соотношения между частями исследуемой выборки удобно использовать круговые диаграммы.

Например, в таблице приведены данные об отметках, полученных обучающимися при написании контрольной работы:

        Круговая диаграмма наглядно покажет, как соотносятся группы обучающихся, получивших ту или иную отметку.

Круговая диаграмма сохраняет свою наглядность и выразительность только при небольшом числе частей совокупности.

Полигон

Динамику изменения статистических данных во времени часто изображают с помощью полигона. Для построения полигона отмечают в координатной плоскости точки, абсциссами которых служат моменты времени, а ординатами – соответствующие им статистические данные. Соединив последовательно эти точки отрезками, получают ломанную, которую называют полигоном.

Например, в таблице приведены данные о годовых отметках, полученных обучающимися по разным предметам:

Использование Excel для расчета статистических характеристик случайной величины.

Рассмотрим, применение инструментов Excel для решения статистических задач на конкретном примере.

Пример. Проведена проверка в 100 компаниях. Даны значения количества работающих в компании (чел.):

Необходимо рассчитать числовые характеристики:

• моду
• медиану
• размах ряда
• построить полигон частот
• построить столбчатую и круговую диаграммы

Ход работы.

1. Занести данные в EXCEL, каждое число в отдельную ячейку.

2. Для расчета числовых характеристик используем опцию Вставка – Функция. И в появившемся окне в строке категория выберем - статистические, в списке: МОДА

В поле Число 1 ставим курсор и мышкой выделяем нашу таблицу:

Нажимаем клавишу ОК. Получили Мо = 29 (чел) – Фирм у которых в штате 29 человек больше всего.

Используя тот же путь вычисляем медиану.

Вставка – Функция – Статистические – Медиана.

В поле Число 1 ставим курсор и мышкой выделяем нашу таблицу:

Нажимаем клавишу ОК. Получили Ме = 29 (чел) – среднее значение сотрудников в фирме.

Размах ряда чисел – разница между наименьшим и наибольшим возможным значением случайной величины. Для вычисления размаха ряда нужно найти наибольшее и наименьшее значения нашей выборки и вычислить их разность.

Вставка – Функция – Статистические – МАКС.

В поле Число 1 ставим курсор и мышкой выделяем нашу таблицу:

Нажимаем клавишу ОК. Получили наибольшее значение = 36.

Вставка – Функция – Статистические – МИН.

В поле Число 1 ставим курсор и мышкой выделяем нашу таблицу:

Нажимаем клавишу ОК. Получили наименьшее значение = 22.

36 – 22 = 14 (чел) – разница между фирмой с наибольшим штатом сотрудников и фирмой с наименьшим штатом сотрудников.

Для построения диаграммы и полигона частот необходимо задать закон распределения, т.е. составить таблицу значений случайной величины и соответствующих им частот. Мы знаем, что наименьшее число сотрудников в фирме = 22, а наибольшее = 36. Составим таблицу, в которой значения xi случайной величины меняются от 22 до 36 включительно шагом 1.

Чтобы сосчитать частоту каждого значения воспользуемся

Вставка – Функция – Статистические – СЧЕТЕСЛИ.

В окне Диапазон ставим курсор и выделяем нашу выборку, а в окне Критерий ставим число 22

Нажимаем клавишу ОК, получаем значение 1, т.е. число 22 в нашей выборке встречается 1 раз и его частота =1. Аналогичным образом заполняем всю таблицу.

Для проверки вычисляем объем выборки, сумму частот (Вставка – Функция – Математические - СУММА). Должно получиться 100 (количество всех фирм).

Чтобы построить полигон частот выделяем таблицу – Вставка – Диаграмма – Стандартные – Точечная (точечная диаграмма на которой значения соединены отрезками)

Нажимаем клавишу Далее, в Мастере диаграмм указываем название диаграммы (Полигон частот), удаляем легенду, редактируем шкалу и характеристики диаграммы для наибольшей наглядности.

 Получаем:

Для построения столбчатой и круговой диаграмм используем тот же путь (выбирая нужный нам тип диаграммы).

Диаграмма – Стандартные – Круговая.

Диаграмма – Стандартные – Гистограмма.