Конспект урока по математике 9 класс по теме "Арифметическая и геометрическая прогрессия"
методическая разработка по алгебре (9 класс)

I этап. Целевой. 

Постановка индивидуальных целей с выходом на общую цель урока. Мотивация учебной деятельности.

1.1.Сегодня в начале урока мне хотелось бы проверить вашу память и внимание. Сейчас вам предлагается обратить свой взгляд на доску на три секунды. Ваша задача запомнить расположение чисел в фигуре.

1.2. Воспроизведите числа, которые были в квадрате на ваших листочках.

1.3. Опрос обучающихся (по желанию). Как тебе удалось запомнить последовательность чисел?

В школьном курсе какого предмета используется данная зависимость чисел?

Чем отличается последовательность чисел 2, 4, 6, 8, 10 … от представленной в квадрате?

Как вы думаете какую тему урока мы будем сегодня с вами повторять?

Сегодня мы с вами начинаем повторение по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии», подумайте и запишите на ваших рабочих листах, что бы вы хотели повторить, каких знаний вам недостаточно, чему бы еще хотели научиться?

Ребята озвучьте свои цели.

Я думаю, что каждый из вас к концу урока сможет достичь того результата, который важен для вас. Итак, цель нашего урока – обобщить и систематизировать знания по теме: «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Запоминание таблицы (3 сек)

Воспроизведение по памяти

Ответы детей на вопросы

Сравнение арифметической и геометрической прогрессии

Формирование темы урока

Постановка индивидуальных целей

Предполагаемые ответы: хочу научиться решать любые задания по данной теме, которые встречаются в сборнике по подготовке к экзаменам; надеюсь успешно применить полученные знания; хочу узнать, где мне могут пригодиться знания по данной теме.

II этап. Операциональный

2.1. Систематизация опорных знаний

2.2. Выработка алгоритма

Фронтальная работа с классом

Дайте определения арифметической и геометрической прогрессий. (схема-кластер 1, формулы)

Хорошо, ребята. Мы с вами вспомнили различные  формулы по теме арифметической и геометрической прогрессии, но какой же алгоритм их применения.

Составления алгоритма решения задач

1. определение вида прогрессии: АРИФМЕТИЧЕСКАЯ? ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ?

а)12;14; 16; б) в) 2;-4;8; г) 1,2; 0,5; -0,2. Как вы определили какая где прогрессия?

2. Выяснение известного условия в задаче. (первый член прогрессии, количество членов, номера известных членов, разность или знаменатель прогрессии, суммы п-первых членов прогрессии). Какое условие задано в данной задаче: 1,2 ; 2,4; 4,8 …

Геометрическая прогрессия () задана условиями: .

3. Определение неизвестного условия в задаче. Что нужно определить?

Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: … ; -12 ; x ; -3 ; 1,5 ; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.

4. Подбор формулы, формул или аналитического решения.

Заполнение схемы-кластера (работа в парах)

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа.

Геометрической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же не равное нулю число.

Проверка алгоритма учителем в ходе составления у детей с низким уровнем обученности.

Сообщение нового

Ребята, мы с вами по данной теме формулы использовали, знакомясь с ними из раздела учебника алгебра и брали их без доказательства. Сейчас я прошу вас мне помочь доказать формулу суммы арифметической прогрессии, используя знания которыми вы пользовались на последнем уроке геометрии.

Что мы с вами делали на уроке геометрии?

Скажите пожалуйста а можно ли изобразить на клеточках к примеру арифметическую последовательность 2, 5, 8, 11. Как это можно выполнить?

А где это можно встретить в реальной жизни?

Хорошо, мы с вами изобразили геометрически нашу прогрессию. Давайте вспомним, а какими способами можно найти площадь этой фигуры. Давайте выполним дополнительное построение.

         D                                                                                                                            Е

         А                                                                                                        В                С

Как найти площадь получившейся фигуры.

2S=AC*AD

2S=(AB+BC)*AD, переведем получившуюся формулу на язык прогрессии.

2Sn=(an+a1)*n

 Что и требовалось доказать, оказывается если внимательно посмотреть то можно сделать вывод что вы ежедневно встречаетесь с арифметической прогрессией (возрастающей и убывающей). Похож наш рисунок на лестницу?

Доказательство формулы суммы при помощи знаний по геометрии

Находили площади фигур на клеточках

Расстановка кресел в театре, кинотеатре

1. Количество клеточек
2. Дорисовать фигуру до прямоугольника и найти площадь по формуле

2.3. Формирование вычислительного навыка

Вычислить шестой член арифметической прогрессии 21,3; 22,4; …, 

Найдем разность прогрессии d=a2-a1=22,4-21,3=1,1. 
Далее вычисляем шестой член арифметической прогрессии по формуле n-го члена прогрессии
a6=a1+(6-1)d=21,3+5*1,1=26,8.

Вычислить шестой член геометрической прогрессии 5; 10; 20; ...

Найдем знаменатель геометрической прогрессии
q=b2/b1=10/5=2. 
Вычисляем шестой член геометрической прогрессии
b6=b1q6-1=5*25=5*32=160.

В арифметической прогрессии a1=20,1, d=1,3. Вычислить сумму первых восьми членов прогрессии.

Сумму находим по формулам: an =  a1 + d ( n – 1 )

Выполняем вычисления
а8=20,1 + 7*1,3=29,2

S8=(20,1+29,2)*8/2=197,2. 

В геометрической прогрессии b1=1,5; q=1,2. Вычислить сумму первых трех членов прогрессии.

Сумму геометрической прогрессии вычисляем по формуле

S3= 1,5(1,23-1)/(1,2-1)=5,46

Геометрическая прогрессия задана условием  Найдите 4 член прогрессии.

12960

Турист в первый день прошёл 20 км, а в каждый следующий – на 2 км меньше, чем в предыдущий. Какое расстояние прошёл турист за 7 дней?

а1=20, d=-2, n=7. Sn ?

98

3. Самостоятельная работа

Работа в виде теста в форме google

https://forms.gle/EnkcNmcX1bQJBMQZ6

8 минут

4. Подведение итогов. Рефлексия

Большое спасибо за работу на уроке, давайте подведем итоги

Ребята по окончании работы, посмотрите еще раз свои цели и отметьте достигли ли вы их. Чего вам не хватило, на что уделить внимание на следующем уроке.

Домашняя работа «Прогрессии». В тетрадях для зачетов

1.Вычислить седьмой член прогрессии 23,5; 24,82; 26,14; ... 

2.Вычислить четвертый член прогрессии 1,5; 1,8; 2,16; .... 

3. В арифметической прогрессии a5=14,91 a9=20,11. Вычислить a1.

4. В геометрической прогрессии b5=64; b8=1. Вычислить b3

5.Между числами 2 и 18 вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия.

6*. Решите уравнение (х+1) +(х+5)+(х+9)+…+(х+157)=3200

Ответы детей

Прогрессии

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа. 

an+1 = an + d

Геометрической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же не равное нулю число.

bn+1 =bn · q, где bn ≠ 0, q ≠ 0

Разность прогрессии

d =  an+1 - an

Знаменатель прогрессии

Формула п-го члена

an =  a1 + d ( n – 1 )

Формула п-го члена

bn =  b1  q n − 1 

Формула суммы п-первых членов

Формула суммы п-первых членов

Тема

Определение арифметической прогрессии

Определение геометрической прогрессии

Разность прогрессии

Знаменатель прогрессии

Формула п-го члена

Формула п-го члена

Формула суммы п-первых членов

Формула суммы п-первых членов

1. Вычислить шестой член арифметической прогрессии 21,3; 22,4; …, 

2. Вычислить шестой член геометрической прогрессии 5; 10; 20; ...

3. В арифметической прогрессии a1=20,1, d=1,3. Вычислить сумму первых восьми членов прогрессии.

4. В геометрической прогрессии b1=1,5; q=1,2. Вычислить сумму первых трех членов прогрессии.

5. Геометрическая прогрессия задана условием  Найдите 4 член прогрессии.

6. Турист в первый день прошёл 20 км, а в каждый следующий – на 2 км меньше, чем в предыдущий. Какое расстояние прошёл турист за 7 дней?

Всё получилось

Не совсем всё получилось

Не получилось (почему)