Урок в 10 классе на тему «Логарифм»
план-конспект урока по алгебре (10 класс)

Действия учителя

Действия ученика

УУД

На экране появляется цитата: «Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь» П.С. Лаплас.

Прочитайте высказывание, определите тему урока и цель.

Читают, определяют тему урока «Логарифм», цель: изучение понятия логарифма, его свойств, практического применения данного понятия.

Коммуникативные: выстраивание речевого высказывания

Познавательные: умение выделить главную мысль в тексте, сформулировать тему урока и цель

Регулятивные: целеполагание

Сначала познакомимся с историческим материалом для того, чтобы понять, как и в связи с чем было введено понятие логарифма. На экране появляется текст: Потребность в сложных расчетах в XVI веке быстро росла в связи с развитием дальнего мореплавания, вызвавшим усовершенствование астрономических приборов и вычислений. Значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоемкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на более простое и надежное вычитание, а извлечение корня степени n сводится к делению логарифма подкоренного выражения на n. Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra» Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьезных усилий для реализации своей идеи.

Прочитайте, выделите основные утверждения, запишите их.

Читают, выделяют основные утверждения, записывают их в тетрадь.

Познавательные: умение работать с информацией, умение выделить основную мысль в тексте

Личностные: осознание роли математики в развитии общества

Для чего ученые решили создавать специальные таблицы? Зачем это было нужно? В чем заключается смысл данных таблиц?

Отвечают: Ученые создавали специальные таблицы для упрощения умножения и деления многозначных чисел. Это было необходимо для изучения и исследования объектов или явлений в области географии и астрономии. Умножение заменяется на сложение, деление на вычитание

Коммуникативные: построение речевого высказывания;

Познавательные: умение найти информацию в тексте

Составим одну из таких таблиц – таблица степеней 2. Заполните самостоятельно таблицу

…

Самостоятельно заполняют в тетрадях

Заметим, что для того, чтобы умножить 32 на 256 достаточно представить эти числа в виде степеней числа 2, затем выполнить умножение чисел с одинаковыми основаниями, т.е. сложить показатели и полученный результат – новая степень числа 2 – посмотреть в приведенной таблице. Выполните умножение 32*256

Вычисляют: 32*256=25*28=213=8192

Познавательные: умение работать с таблицей, находить необходимую информацию

Так происходит замена умножения сложением. Аналогично можно выполнять и деление с помощью вычитания.

Вычислите: 1024/64.

Таблицу можно продлить влево, используя не только натуральные показатели, но и целые.

Вычисляют: 1024/64=210*26=24=16

Прочитайте текст, выделите основные утверждения, запишите их.

В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием “Описание удивительной таблицы логарифмов”. В нем было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке. Логарифмом числа x называют показатель степени y, в которую надо возвести некоторое фиксированное число a, чтобы получить исходное число x: ay=x. Записывают: y = logax.

Читают, выделяют основные утверждения, записывают их в тетрадь.

Познавательные: умение работать с информацией, умение выделить основную мысль в тексте

Что такое логарифм?

Отвечают: Логарифм числа x - это показатель степени y, в которую надо возвести некоторое фиксированное число a, чтобы получить исходное число x

Познавательные: умение находить необходимую информацию в тексте, интерпретировать ее

Коммуникативные: построение речевого высказывания

Как обозначается логарифм?

y = logax

Посмотрите на построенную выше таблицу степеней числа 2. В какой строке записан значение логарифма? Фиксированное число? Исходное число х?

Отвечают: значение логарифма в верхней строке. Фиксированное число равно 2. Исходное число х расположено в нижней строке.

Определите по таблице, чему равен log264, log21024. Запишите в тетрадь

log264=6, log21024=10

Познавательные: умение работать с таблицей, искать необходимую информацию

Вычислите устно log2, log5625

log2=-1, log5625=4

Познавательные: умение найти необходимую информацию для решения задачи, применить ее в процессе решения

Коммуникативные: построение речевого высказывания

Выходя к доске по одному, решаем №267-269 (2,4), 277 (2,4,5)

Выходят по одному к доске, решают. Ответы:

267. 2) 6, 4) 0

268. 2) -3, 4) - 0,25

269. 2) 4, 4) 0

277. 2) 625, 4) 25, 5) 5,5

Также за определение логарифма принимают следующую запись: alogab=b. Формула справедлива, так как по определению логарифма – показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить исходное число. Чаще всего эту запись называют основное логарифмическое тождество. Запишите его в тетрадь.

Записывают ОЛТ: alogab=b

Основываясь на свойствах показательной функции y=ax, где y=b, x=logab, определите, при каких a и b ОЛТ имеет смысл.

Ответ поясните.

a>0, a≠1 по определению показательной функции;

b>0, т.к. a>0 и положительное число в любой степени есть положительное число.

Познавательные: развитие мыслительных операций, причинно-следственных связей

Коммуникативные: построение речевого высказывания

Выходя к доске по одному, решаем №274-276, 278

Решают, выходя по одному к доске.

Познавательные: умение найти необходимую информацию для решения задачи, применить ее в процессе решения

Коммуникативные: построение речевого высказывания

Основываясь на замене умножения сложением и деления вычитанием логарифмов чисел, выделяют следующие свойства:

Выпишите формулы. Ознакомьтесь с их доказательством на стр. 94 учебника. Законспектируйте материал.

Читают материал учебника, конспектируют

Познавательные: умение находить необходимую информацию в тексте, работать с математическим текстом, интерпретировать информацию в удобной форме

Выходя к доске по одному, решаем №290-293

Решают, выходя по одному к доске.

Познавательные: умение найти необходимую информацию для решения задачи, применить ее в процессе решения

Коммуникативные: построение речевого высказывания

Мы выяснили, что более 300 лет логарифмы использовались для облегчения вычислений. Но вычисления не исчерпывают роли логарифмов. Использование логарифмов необходимо для описания самых разнообразных процессов роста, происходящих в природе и обществе. Рассмотрим задачи, которые связывают понятия разных дисциплин.

К доске вызывается ученик, получивший опережающее домашнее задание – подготовить сообщение тему “Измерение количества информации”.

Задача дисциплины “Информатика”

Ученик рассказывает сообщение и представляет задачу:

Информация является важнейшим понятием и основным объектом изучения в информатике. Неудивительно поэтому, что проблема измерения информации имеет фундаментальное значение.

Пусть алфавит, с помощью которого записываются все сообщения, состоит из M символов. Для простоты предположим, что все они появляются в тексте с одинаковой вероятностью.

Тогда в рассматриваемой постановке применима формула Хартли для вычисления количества информации:I = log2M.

Решить задачу:

Определить информацию, которую несет в себе один символ в кодировках ASCII и Unicode.

Решение.

1) В алфавите ASCII предусмотрено 256 различных символов, т.е. 

M = 256, а I = log2 256 = 8 бит = 1 байт

Ответ: 1 байт.

2) В современной кодировке Unicode заложено гораздо большее количество символов. В ней определено 256 алфавитных страниц по 256 символов в каждой.

Таким образом:

I = log2 (256 * 256) = 8 + 8 = 16 бит = 2 байта

Ответ:2 байта.

Познавательные: демонстрация межпредметных связей математики и информатики

Личностные: развитие умения работать перед аудиторией, осознание роли математической составляющей в других областях знаний, расширение кругозора, развитие ответственности

Регулятивные: развитие самооценки, самоконтроля

Коммуникативные: построение речевого высказывания, развитие монологической речи

Задача из дисциплины “Биология”. Решает весь класс под руководством учителя.

В начальный момент времени было 8 бактерий. Через 2 часа после помещения бактерий в питательную среду, их число возросло до 100. Через сколько времени с момента размещения в питательную среду следует ожидать появления 500 бактерий?

Решение.

Для решения данной задачи, необходимо вспомнить понятия скорости и ускорения. Спрашивает об этом учеников.

Теперь попробуем перевести текст задачи на математический язык:

1. Было 8, стало 100, значит 8х=100, значит х=log8100 – конечное значение скорости распространения бактерий при первом изменении;
2. Было 8, стало 500, значит 8х=500, значит х=log8500 – конечное значение скорости распространения бактерий при втором изменении;

Составим формулу для ускорения, учитывая, что начальная скорость  (т.е. было 8, стало 8):

 = 

 = 

Что следует сделать для нахождения времени? Самостоятельно выполните в тетрадях.

При желании точный ответ можно посчитать с помощью калькулятора.

Скорость движения - это физическая величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло.

Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости

Приравняем ускорения и выразим время.

Вычисляют в тетради. Приходят к ответу:

Познавательные: демонстрация межпредметных связей математики и физики, умение сделать вывод на основе данных

Добились ли мы цели урока? Что нового сегодня узнали? Для чего необходим логарифм?

Да, так как узнали, что такое логарифм, его свойства, практическое применение. Логарифм необходим для решения задач в различных сферах жизни и науки, а также для описания многих процессов.

Регулятивные: осознание достижения цели урока, развитие самооценки

Личностные: осознание роли математики в развитии различных сфер жизни человека и науки

Домашнее задание:

Обязательная часть: учебник №296, 298

Вариативная часть

1. Задача из дисциплины “Физика”.

Для обогрева помещения, температура в котором равна Тп = 200С, через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой  Тв = 1000С. Расход проходящей через трубу воды m = 0,2 кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры Т0С, причем

где с = 4200Дж/кг*С — теплоемкость воды

 = 42 Вт/м * 0С— коэффициент теплообмена

a = 1,4 — постоянная.

До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 28 м?

2. Найти факты, доказывающие использование логарифма в различных областях знаний:

Разделы физики, в которых выявлено применение логарифмов:

• Макроскопическая физика.
• Механика.
• Термодинамика.
• Оптика.
• Акустика.
• Электродинамика.
• Микроскопическая физика.
• Статистическая физика.
• Физика конденсированных сред.
• Физика твердого тела.
• Физика атомов и молекул.
• Физика наноструктур.
• Квантовая физика.
• Ядерная физика.
• Физика высоких энергий.
• Физика элементарных частиц.

Логарифмическая шкала:

• Шкала Рихтера интенсивности землетрясений.
• Шкала экспозиций в фотографии.
• Звездные величины — шкала яркости звезд.
• Шкала рН.
• Шкала интенсивности звука — децибелы.
• Теория музыки — нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков.
• История — логарифмическая шкала времени.

Экономика, биология, химия и др.

3. Написать эссе «Роль логарифма в развитии математики»

4. №289, 300 – задачи повышенной трудности