методическая разработка урока по алгебре
учебно-методический материал по алгебре (9 класс)

Тема 6 : Решение текстовых задач

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Цели:

1) Формирование предметных результатов: составления математических моделей на примерах текстовых задач на разные темы.

2) Формирование метапредметных результатов:

Регулятивные: планирование - определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата (с помощью учителя и самостоятельно);

Познавательные: структурирование знаний; осознанное и произвольное построение речевых высказываний в устной и письменной форме

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества; выражение своих мыслей с достаточной полнотой.

Оборудование: интерактивная доска, проектор, карточки с заданиями, презентация.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Сегодня у нас урок решения текстовых задач. Мы рассмотрим несколько видов таких задач. Вы знаете, что существует много различных видов текстовых задач.

- Назовите несколько видов текстовых задач? (Ответы учащихся).

Молодцы! А сейчас мы перейдём к следующему этапу урока.

2. Устная работа.

- Собственная скорость катера 21,6 км/ч. Скорость течения реки 4,7. Найдите скорость катера по течению и против течения.

- За несколько одинаковых карандашей заплатили 8 р. Сколько нужно заплатить за такие же карандаши, если их купили в 2 раза меньше?

- За 6 ч поезд прошел 480 км. Какой путь прошел поезд за первые 2 ч, если его скорость была постоянна?

2. Разбор текстовых задач из ОГЭ по математике.

Для начала ребята давайте вспомним план решения задачи. (Учащиеся называют этапы решения задачи, которые отображаются на интерактивной доске).

План решения задачи:

. Работа по карточкам в группах (15 мин). Учащиеся выполняют самостоятельно задания по карточкам с последующей проверкой на интерактивной доске.

4. Рефлексия.

Текстовые задачи

1.Смешав 60%−ый и 30%−ый растворы кислоты и добавив 5 кг чистой воды, получили 20%−ый раствор кислоты. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 90%−го раствора той же кислоты, то получили бы 70%−ый раствор кислоты. Сколько килограммов 60%−го раствора использовали для получения смеси?

Решение Пусть  кг и  кг — массы первого и второго растворов, взятые при смешивании. Тогда кг — масса полученного раствора, содержащего  кг кислоты. Концентрация кислоты в полученном растворе 20 %, откуда

Решим систему двух полученных уравнений:

Замечание. Решение можно сделать несколько проще, если заметить, что из полученных уравнений следует: , откуда . Первое уравнение принимает вид , откуда .

Ответ: 2 кг.

2. Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 60%, а во втором — 45% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 55% меди?

Решение Пусть первый сплав взят в количестве x кг, тогда он будет содержать 0,6x кг меди, а второй сплав взят в количестве y кг, тогда он будет содержать 0,45y кг меди. Соединив два этих сплава, получим сплав меди массой x + y, по условию задачи он должен содержать 0,55(x + y) меди. Следовательно, можно составить уравнение:

Выразим x через y:

Следовательно, отношение, в котором нужно взять сплавы:

Ответ: 

3. При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

Решение  Пусть первый раствор взят в количестве  грамм, тогда он содержит 0,2 грамм чистой кислоты, а второй раствор взят в количестве  грамм, тогда он содержит 0,5 грамм чистой кислоты. При смешивании двух этих растворов получится раствор массой  +  грамм, по условию задачи, он содержит 0,3( + ) чистой кислоты. Следовательно, можно составить уравнение:

Выразим  через :  Следовательно, отношение, в котором были взяты растворы: 

Ответ: 

4. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 19 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 9 км от А. Найдите скорость пешехода, шедшего из А, если известно, что он шёл со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход, шедший из В, и сделал в пути получасовую остановку.

Решение Пусть скорость пешехода, шедшего из пункта A, равна  км/ч. Тогда скорость пешехода, шедшего из пункта B, равна  км/ч. Время движения пешехода из пункта A до места встречи   ч на полчаса меньше, чем время движения другого пешехода   ч. Составим уравнение:   . После преобразования оно примет вид:    Корни уравнения 6 и −3. Значит, скорость пешехода, шедшего из А, равна 6 км/ч.

Ответ: 6.

5. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 19 км, вышел пешеход. Через полчаса навстречу ему из пункта В вышел турист и встретил пешехода в 9 км от В. Турист шёл со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход. Найдите скорость пешехода, шедшего из А.

Решение Пусть скорость пешехода, шедшего из пункта A, равна  км/ч. Тогда скорость туриста равна  км/ч. Время движения пешехода до места встречи   ч на полчаса больше, чем время движения туриста   ч. Составим уравнение:   . После преобразования оно примет вид:    Корни уравнения 5 и −4. Значит, скорость пешехода равна 5 км/ч.

Ответ: 5.

6. Расстояние между городами А и В равно 375 км. Город С находится между городами А и В. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 1 час 30 минут следом за ним со скоростью 75 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С.

Решение Обозначим скорость ( в км/ч) автомобиля за  , а время (в часах), за которое мотоцикл проезжает от А до С за  . Тогда имеем  , откуда  . Поскольку весь путь от А до В автомобиль преодолел за время  , получаем:

,

откуда  . Значит, расстояние от А до С равно   (км).

Ответ: 225 км.

7. Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер. Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки?

Решение Пусть скорость течения реки (и плота)  км/ч. Тогда скорость катера против течения равна  км/ч, а по течению  км/ч. Следовательно, скорость катера против течения в 3 раза больше скорости плота, а по течению — в 5 раз больше скорости плота. Если плот до встречи проплыл  км, то катер — в 3 раза больше, т. е.  км. После встречи катер пройдет  км, а плот — в 5 раз меньше, т. е.  км. Всего плот пройдет

.

Отношение пройденного плотом пути ко всему пути равно .

Приведём другое решение. Пусть скорость течения реки (и плота)  км/ч. Тогда скорость катера против течения равна  км/ч, а по течению  км/ч. Скорость сближения катера и плота равна  км/ч. Встреча произошла через  ч. За это время плот проплыл расстояние, равное , а катер — .

Обратный путь катер пройдет за  ч. Плот за это время проплывет расстояние, равное , а всего он проплывет .

Ответ: плот пройдет   всего пути.

5. Домашнее задание: задание на карточках.

8. Расстояние между пристанями А и В равно 80 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 2 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 22 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение Пусть искомая скорость равна v км/ч, v > 2. Плот прошёл 22 км, значит, он плыл 11 часов, а яхта — 9 часов. Тогда получаем:

Таким образом, скорость яхты в неподвижной воде равна 18 км/ч.

Ответ: 18 км/ч.

7.  Расстояние между пристанями А и В равно 126 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 34 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение Обозначим искомую скорость (в км/ч) за  . Плот прошёл 34 км, значит, он плыл 17 часов, а яхта 16 часов. Таким образом, имеем:

откуда находим  .

Ответ: 16 км/ч.

10. Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты объявлений за 8 ч. Если первый оператор будет работать 3 ч, а второй 12 ч, то они выполнят только 75% всей работы. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?

Пусть первый оператор может выполнить данную работу за    часов, а второй за    часов. За один час первый оператор выполняет    часть всей работы, а второй  . Составим систему уравнений:

Ответ: первый оператор за 12 ч, второй оператор за 24 ч.