понятие факториала
план-конспект урока по алгебре (9 класс)

Фамилия: Сутягина

Имя: Елена                                                                                Отчество: Сергеевна

Название номинации: Урок (занятие) или методическая копилка с использованием авторских презентаций.

Тема урока: Перестановки. Факториал.

Предмет: алгебра.

Класс: 9.

Аннотация.

Тема «Факториал» занимает важное место в разделе « Комбинаторики»

На данном уроке вводится понятие факториала, решение простых задач на перестановки, преобразование и нахождение значений выражений, содержащих факториалы. Приложения содержат достаточно материала для отработки данных навыков. Презентация позволяет эффективно провести устный счёт, на каждом этапе урока делать проверку, познакомить с историческими данными. Урок может быть полезен учителям математики.

Введение.

Многие годы « элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей» не изучалась в школе. Проработав в школе много лет, учителям  приходится заново самим изучать данные темы и продумывать методику  их преподавания. Именно тема « Факториал» является базовой для решения задач на размещения, перестановки и сочетания и от того как учащиеся усвоят данную тему зависит на сколько успешны они будут при решении более сложных комбинаторных задач.

Цели:

1. Обратить внимание на значимость темы « Факториал».
2. Разработать методику преподавания данной темы.
3. Подобрать дидактический материал.

 На уроке используются различные  формы самостоятельной работы:

1. Работа с учебником.
2. Работа в группе.
3. Работа в паре.
4. Самостоятельная работа на 2 варианта.

После каждого этапа работы проводится проверка, выполненных заданий. Проведение и проверка  самостоятельной работы  в конце урока дают возможность оценить степень усвоения данной теме, что позволяет целенаправленно планировать следующие уроки. Презентация на разных этапах урока решает задачи:

1. Эффективно провести устный счёт.
2. Делать проверку, выполненных заданий.
3. Познакомить с историческими данными.
4. Подвести итоги урока.

Данный урок рассчитан на учебник А.Г. Мордкович. Алгебра. 9класс. В 2 ч. – М.;Мнемозина,2010.,  поменяв домашнее задание,  урок  может быть использован применительно к любому другому учебнику.  

ТЕМА УРОКА «Перестановки. Факториал»

ЦЕЛЬ УРОКА:

Образовательная цель: дать специальное название одному из видов комбинаций – перестановки, рассмотреть формулу для вычисления числа перестановок, ввести понятие факториала, решение простых задач на перестановки, преобразование и нахождение значений выражений

Развивающая цель: способствовать формированию логического мышления учащихся при решении задач и развитию монологической речи обучающихся с использованием новых терминов.

Воспитательная цель: приучать школьников к доброжелательному общению в группе, в паре. развитие умений  оценивать результаты своей работы на уроке, регулировать и контролировать свои действия.

План урока.

1. Организационный момент. (2мин)
2. Устная работа. (5мин)
3. Новая тема.(7мин)
4. Работа в группах (7+1мин)
5. Работа в парах (7+1 мин)
6. Самостоятельная работа. (6+1мин)
7. Подведение итогов (3мин).

В течении урока учащиеся заполняют оценочную таблицу и в конце урока выставляют себе оценки.

Оценки:  14-17баллов-3, 18-22баллов -4, 23-29баллов -5.

1. Учитель знакомит учащихся с темой и целями урока.( слайд1-2)
2. Устная работа На прошлом уроке мы начали решать комбинаторные задачи. Каким правилом мы пользовались? (слайд3-6)

А) сколько четных трёхзначных чисел можно составить из цифр 2.3,4,5,

(4*4*2=32)

Б)  В столовой имеются 3 первых блюда, пять вторых блюд и 2 третьих. Сколькими способами посетитель может выбрать обед, состоящий из 3-х блюд.

(3*5*2=30)

В)Проказница Мартышка
Осел,
Козел,
Да косолапый Мишка
Затеяли играть квартет
…
Стой, братцы стой! –
Кричит Мартышка, - погодите!
Как музыке идти?
Ведь вы не так сидите…
И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.
Тут пуще прежнего пошли у них раздоры
И споры,
Кому и как сидеть…

Вероятно, крыловские музыканты так и не перепробовали всех возможных мест. Однако способов не так уж и много. Сколько?

Попробуем решить эту задачу. К доске вызываются 4 ученика. На доске

Появляется запись. 4*3*2*1.=24.

3.      Мы получили произведение первых четырёх натуральных чисел. Оказывается произведение подряд идущих первых натуральных чисел часто встречается при решении комбинаторных задач, поэтому для обозначения таких произведений ввели новое понятие факториал.

Работа по учебнику. Стр.180. определение факториала. Свойство факториала, формула. (слайд7)

Термин «факториал» ввёл Л. Арбогаст (1800), обозначение n! – К. Крамп (1808)

(слайд8)

Рассмотрение примеров.(слайд 9)

!

Вычислите (устно):

а) 4! = 1*2*3*4 = 24;
б) 5! = 1*2*3*4*5* = 120; учитель обращает внимание на таблицу.
в) 4! + 5! = 1*2*3*4 + 1*2*3*4*5 = 24+120 = 144;
г) 5*4! =5* 1*2*3*4 = 5! = 120;
(письменно): д) 4! * 5! = 1*2*3*4 *1*2*3*4*5 = 24 * 120 = 2880;

е) ;

з)

и)  к) .

Учитель. Принято считать: 1!=1, 0!=1. (слайд10)

Факториалы растут удивительно быстро. Вы можете понаблюдать за их изменением, рассмотрев таблицу в учебнике, в которой приведены факториалы чисел от 1 до 10:

А значение выражения 15!, которого нет в таблице, превосходит 1015, а именно 15!=1 307 674 368 000. Может быть, именно из-за быстрого роста факториалов восхищенный изобретатель этого выражения использовал восклицательный знак.

Вернёмся к первой задаче.

Число всевозможных перестановок из n элементов обозначают

Pn (P – первая буква французского слова permutation – перестановка). Читается: “Число перестановок из эн элементов” или “Пэ из эн”.

В задании 1 было показано P4 = 4*3*2*1 = 1*2*3*4 (по переместительному свойству умножения).

Pn=1*2*3*…*n (1)

т.о., число перестановок из n элементов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n.

При использовании символа n! формула (1) принимает вид  Pn= n! (слайд11)

Обращать внимание учащихся при решении задач на следующие факты:

1) в задачах на перестановки используются все элементы данного набора элементов;

2) две перестановки одного набора элементов отличаются друг от друга только порядком элементов)

     4. Работа в группах.(слайд12)

1задание. Разобрать решение предложенных задач.

1. Пример 1. В расписании 7 класса на четверг должно быть 6 предметов: русский язык, литература, алгебра, география, физика, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание на этот день?
2. Решение. Число способов, которыми можно составить расписание, равно числу перестановок из шести элементов: P6=6!=1*2*3*4*5*6=720.
3. Пример 2. Сколькими способами можно составить расписание из тех же 6 предметов, если требуется, чтобы урок физкультуры был последним?
4. Решение. У урока физкультуры фиксированное место, поэтому расписания отличаются порядком остальных 5 предметов. Значит, число таких расписаний равно числу перестановок из 5 элементов: P5=5!= 120.
5. Пример 3. Сколькими способами из тех же 6 предметов можно составить такое расписание, в котором русский язык и литература стоят рядом?
6. Решение. Будем рассматривать русский язык и литературу как один предмет, тогда всего предметов будет пять. Число способов, которыми можно составить расписание из 5 предметов, равно P5=5!. Но в каждой из этих перестановок русский язык и литература могут меняться местами. Поэтому искомое число расписаний вдвое больше. Оно равно 5!*2=240.

2.задание.

 1.Сколькими способами можно выписать в колонку фамилии 30 учеников?

Решение. P30 = 30!

2.Сколько различных 5-значных чисел, все цифры которых различны можно записать с помощью цифр 4, 5, 6, 7, 8?

Решение. Задача сводится к подсчету числа перестановок из 5 элементов. P5 = 1*2*3*4*5 = 120. Ответ: 120 различных чисел.

3.Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг, если среди них 2 книги одного автора, которые при любых перестановках должны стоять рядом?

Решение: первоначально будем считать 2 книги одного автора единой книгой. Тогда количество способов расстановки условных семи книг на полке будет равно числу перестановок из 7 элементов: P7 = 1*2*3*4*5*6*7 = 5040. Но в каждой такой перестановке книги одного автора можно менять местами, потому общее число способов расстановки книг на полке будет в 2 раза больше, т.е. 5040 * 2 = 10080. Ответ: 10080 способов.(стр. 47 МШ - 3 - 2003).

4. Вычислить.

а) ; б) ;

в) ; г) ;                      

д) ;  е)      ж) ;

Проверка. ( слайд13)

.

;                  5.Работа в парах. (слайд14)

1. Сколькими способами можно рассадить 15 учеников на ЕГЭ по математике за 15-ю партами
2. а) ;  б) ;                    
3. Упростить:

                 а) ;  б); .

.

6. Самостоятельная  работа.

Вариант 1

1. 50 депутатов парламента рассаживаются в зале заседаний, в котором 50 мест. Сколько у них есть вариантов это сделать? (Решение. 50!)
2. Упростите выражение

                   (Решение. 14).

3. Упростите :  ;

Самостоятельная  работа.

Вариант 2

1. 200 солдат строятся в шеренгу. Сколько имеется вариантов это сделать? (Решение. 200!)
2. Упростите выражение

          (Решение. 1).

3. Упростите выражение:    
   Взаимопроверка. (слайд15).

Подведение итогов. (слайд16)

Домашнее задание: №18.12..№18.14.№ 18.16. Придумать  две задачи на подсчет количества перестановок.(слайд17).

                        Приложение1.

Работа в группах. Разобрать готовые решения.

1. Пример 1. В расписании 7 класса на четверг должно быть 6 предметов: русский язык, литература, алгебра, география, физика, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание на этот день?
2. Решение. Число способов, которыми можно составить расписание, равно числу перестановок из шести элементов: P6=6!=1*2*3*4*5*6=720.
3. Пример 2. Сколькими способами можно составить расписание из тех же 6 предметов, если требуется, чтобы урок физкультуры был последним?
4. Решение. У урока физкультуры фиксированное место, поэтому расписания отличаются порядком остальных 5 предметов. Значит, число таких расписаний равно числу перестановок из 5 элементов: P5=5!= 120.
5. Пример 3. Сколькими способами из тех же 6 предметов можно составить такое расписание, в котором русский язык и литература стоят рядом?
6. Решение. Будем рассматривать русский язык и литературу как один предмет, тогда всего предметов будет пять. Число способов, которыми можно составить расписание из 5 предметов, равно P5=5!. Но в каждой из этих перестановок русский язык и литература могут меняться местами. Поэтому искомое число расписаний вдвое больше. Оно равно 5!*2=240.

            Приложение2

Работа в группе.

Решить задачи:                                                                                                                   Задание 1

Сколькими способами можно выписать в колонку фамилии 30 учеников?

Задание 2

Сколько различных 5-значных чисел, все цифры которых различны можно записать с помощью цифр 4, 5, 6, 7, 8?

.

Задание 3

Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг, если среди них 2 книги одного автора, которые при любых перестановках должны стоять рядом?

Вычислить:                                                                                                                  

Задание 4

а) ; б) ;

в) ; г) ;                      

д) ;    е)      ж) ;

      Приложение3

Работа в парах

1. Сколькими способами можно рассадить 15 учеников на ЕГЭ по математике за 15-ю партами
2. а) ; б) ;                    
3. Упростить:

                 а) ;  б); .

      Приложение 4

Самостоятельная  работа.

Вариант 1

1. 50 депутатов парламента рассаживаются в зале заседаний, в котором 50 мест. Сколько у них есть вариантов это сделать?
2. Упростите выражение
3.   Упростите :  ;

Самостоятельная работа.

Вариант 2

1. 200 солдат строятся в шеренгу. Сколько имеется вариантов это сделать?
2. Упростите выражение
3. Упростите выражение:    
   

                       Приложение 5.

            Оценки:  14-17баллов-3, 18-22баллов -4, 23-29баллов -5

Заключение.

Данный урок прошёл апробацию в 9 классах. Методика, предложенная для проведения урока, оправдала себя. Самостоятельная работа, проведенная в конце урока, показала, что учащиеся хорошо усвоили тему урока. С нахождением значений выражений, содержащих факториал,  справились 97%, с преобразованием выражений содержащих факториал 80%.            Работа в разноуровневых группах помогла слабым учащимся усвоить материал. Цели урока были достигнуты.

Список литературы.

1. А.Г. Мордкович. П.В. Семёнов. Алгебра 9.Часть1. Учебник. М. : Мнемозина.2010.
2. А.Г. Мордкович, Л.А.Александрова, Т.Н.Мишустина.  Алгебра 9.Часть1. Задачник. М. : Мнемозина.2010.
3. Т.Л. Афанасьева, Л.А. Тапилина. Алгебра 9класс. Поурочные планы. Волглград.2008.
4. О.В.Занина , И.Н.Данкова. Поурочные разработки по алгебре. 9 класс. М. «ВАКО» 2007.
5. В.Н. Студенецкая. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. 7-9 классы. Волгоград. 2006