Решение уравнений высших степеней.
методическая разработка по алгебре (10 класс)

 Григорьева Светлана Владимировна

В материале рассмотрены различные способы решения уравнений.

Скачать:

ВложениеРазмер
Microsoft Office document icon metody_resheniya_uravneniy_razlichnoy_stepeney.doc440 КБ

Предварительный просмотр:

Методы решения уравнений высших степеней.

I) Решение уравнений с помощью деления в столбик.

Очевидно  - корень уравнения

Очевидно  - корень уравнения

Ответ: -5;2;3;4

II) Возвратные уравнения и к ним сводящиеся.

Уравнение называется возвратным, если в нем коэффициенты равноудаленные от концов совпадают, т.е. , ,

1) Возвратные уравнения четной степени.

т.к.  - не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на .

Введем замену.

Пусть , , получим

                ;

Вернемся к замене.

                 или                

                        

                        корней нет

Ответ:

2) Возвратные уравнения нечетной степени.

Любое возвратное уравнение нечетной степени сводится к квадратному уравнению четной степени, т.к у любого возвратного ур–ия нечетной степени один из корней всегда равен –1

Очевидно  - корень уравнения.

         или        

                        т.к  - не является корнем уравнения, то разделим обе части

уравнения на

Введем замену.

Пусть , , , получим

                или                                        или                

                                                        

                                                

корней нет                                                        

Ответ: , ,

III) Уравнения вида, где  решаются как возвратные.

IV) Замена переменных по явным признакам.

V) В следующих уравнениях используется “идея однородности”.

Пример №1

Введем замену.

Пусть , , тогда

1) если , тогда , тогда

 решений нет

2) Разделим обе части уравнения на , получим

Решим последнее уравнение, как квадратное относительно , получим

;

;

Вернемся к замене.

                или                

                                 корней нет

Ответ:

Пример №2.

                        

Пусть , , тогда

Найдем

Составим систему:

Решая систему подстановкой, получим

                        или                        

                                                

                                        

корней нет                                                ;

Ответ: ;

Пример №3.

 - не является корнем уравнения

Разделим обе части уравнения на , получим

Введем замену.

Пусть , тогда

;

                        или                        

                                        

;                                         ;

Ответ: ; ; ;

VI) Уравнения вида, где  эффективно решать перемножением  и , а затем делать замену.

VII) В уравнениях вида  и в уравнениях к ним сводящимся, в знаменателях обоих дробей необходимо вынести х за скобки и сделать замену.

                (1)                        

                (2)

При переходе  область определения уравнения сузилась на . Проверим, является ли  корнем уравнения. Не является.

Введем замену.

Пусть , , тогда

;

                        или                        

                                        

                                                        

Ответ: ;

VIII) В уравнениях вида  обе части уравнения делятся на

 - не является корнем уравнения. Разделим на , получим

Введем замену.

Пусть ; , тогда

;

                        или                        

                                                

Ответ: ;

IX) Выделение полного квадрата.

                        

Введем замену.

Пусть , тогда

;

Вернемся к замене.

                        или                        

                                        

                                        корней нет

Ответ:

X) Решение уравнений с помощью формулы

                        или                        

                                                корней нет

XI) Уравнения вида  и к ним сводящиеся решаются при помощи замены

Введем замену.

Пусть , тогда

                                или                         корней нет

;

Вернемся к замене.

                или                

                                

Ответ: ;

XII) Решение уравнений относительно коэффициентов.

                                

                        или                        

                                                

                                                

                                                

;                                 - посторонний корень

корней нет                                        

                                                                

Ответ: ;

XIII) Метод разложения на простейшие дроби.

                                        

Ответ:


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Способы решения уравнений высших степеней. 8 класс

Данную презентацию использую при решении уравнений высших степеней в 8 классе. Решать квадратные уравнения школьники научились по формулам, а если уравнение выше второй степени? Есть ли  алгоритм...

Конспект урока. Тема: "Решение уравнений высших степеней" 8 класс

Полное описание урока. Как решать уравнения выше второго порядка? Есть ли алгоритм решения? На эти и другие вопросы отвечает данный материал....

Урок-защита проектов "Решение уравнений высших степеней" 9 класс

Конспект урока по алгебре в 9 классе "Решение уравнений высших степеней", на котором учащиеся защищали свои проекты.Презентации учащихся: Решение биквадратных уравнений, Решение возвратных уравнений, ...

Методы решения уравнений высших степеней

Проект урока по алгебре в 11 классе.Составлен по УМК А.Г. Мордковича....

Методы решения уравнений высших степеней.Схема Горнера.

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера....

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера...

Урок математики в 9 классе на тему "Способы решения уравнений высших степеней"

Данная тема является актуальной и важной при изучении математики, так как уравнения высших степеней составляют часть выпускных экзаменов, встречаются на вступительных экзаменах в вузы и являются неотъ...