Конспект урока по теме "О типичных ошибках при решении логарифмических уравнений и неравенств"
план-конспект урока по алгебре (11 класс)

План-конспект урока на тему «О типичных ошибках при решении логарифмических уравнений и неравенств».

Автор: Семёнов Илья Владимирович,
учитель ГАОУ РМЭ «Лицей Бауманский».

Цель урока: показать стандартные ошибки при решении логарифмических уравнений и неравенств с целью их предотвращения.

Задачи урок:

- образовательная: научить учащихся решать сложные логарифмические уравнения и неравенства рациональным способом, при этом правильно применять свойства логарифма;  

- развивающая: развитие умения составлять алгоритмические предписания и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом, развить навык рационального способа решения задач, развивать творческое мышление;

- воспитательная: воспитать культуру оформления сложных логарифмических уравнений и неравенств, культуру графической иллюстрации, самостоятельность, внимательность, умение работать в коллективе, умение вести диспут.

Тип урока: комбинированный урок.

Метод преподавания: словесный, объяснительно-иллюстративный.

Требования к учащимся:

1. учащиеся должны знать: определение логарифма, его свойства; формулу перехода к новому основанию; особенности решения логарифмических неравенств по разному основанию; метод рационализации;
2. учащиеся должны уметь: решать дробно-рациональные неравенства, использовать метод интервалов.

Оборудование: мел, доска.

Формы работы: фронтальная, индивидуальна, групповая.

Структура урока:

1. Организационная часть урока.

Проверка учащихся и класса к уроку: наличие учебников и тетрадей, тишина в классе, чистота доски и влажность губки. Приветствие учащихся.

2. Основная часть. Первичное закрепление.

Данный урок проводится после проведения входного контрольной работы. На основе проанализированных результатов (ошибок учащихся), а так же научных статей мы постарались выявить основные ошибки при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Опишем основные из них:

А) Игнорирование модуля при вынесении четной степени из подлогарифмического выражения;

Б) Вынесение степени из подлогарифмического выражения, когда логарифм в какой-либо степени (;

В) Переменное основание (учащиеся решают логарифмические уравнения и неравенства по алгоритму, шаблонно, при этом имея скудный багаж решенных задач. По этой причине допускаются ошибки при решении логарифмического неравенства по основанию );

Г) Забывают сделать отбор корней через О.Д.З.;

Д) Хоть и не относится к логарифмическим уравнениям и неравенствам, но является частым следствием их решения  решение дробно-рациональных неравенств, т.е. полное игнорирование знаменателя дроби при их решении;

Е) Нет четкой картины при использование метода интервалов;

Ж) Нет знаний элементарных функций, а в следствии и не могут верно накладывать ограничения при решении логарифмических уравнений и неравенств;

З) Неверное разложение логарифмических выражений:

-

-

И) Решая логарифмические неравенства методом замены не могут верно вернуться к введенной замене;

Й) Не видят разницы между системой и совокупностью, а в следствии не могут верно использовать равносильный переход и переход к введенной замене.

Постараемся учесть все замечания, изложенные выше и акцентировать на них внимание при решении данных проблем.

Учащимся предлагается решить логарифмические неравенства:

Начнем с первого неравенства:

О.Д.З.:

Разложив первое неравенство системы на линейные множители получаем: . Данные неравенство равносильны друг другу. Решением данной системы является промежуток

Переходим к решению логарифмического неравенства6

Разложив подлогарифмическое выражение на линейные множители получаем: .

С данного шага надо дать возможность учащимся самим выбрать путь решения:

1 способ.  

С данного шага стоит уточнить порядок действий

А) можно использовать определение логарифма и перейти к выражению . В итоге мы получили сложное выражение, с которым сложно справиться.

Б) можно вынести четную степени из подлогарифмического выражения и получится выражение: . Главное в данном шаге это то, что при вынесении четной степени из подлогарифмичесокго выражения влечет то, что появляется модуль. На этом надо сделать акцент при объяснении материала.

Продолжаем решение: .

Используя определение логарифма получаем: .

По определению модуля получаем двойное неравенство:

Осталось найти пересечение множеств решения логарифмического неравенства с О.Д.З.: Решением данной системы является промежуток:

Ответ:

2 способ. Через разложение логарифма.

Приведем лишь рекомендации к решению. Используя формулы:
-

-

получаем следующее выражение:

.

Далее, решение логарифмического неравенства аналогично первому способу.

3 способ. Метод рационализации.

Объяснение по усмотрению учителя и в зависимости от профиля обучения. Так же в зависимости от доступного времени.

Переходим к решению второго неравенства.

Учащимся предлагается решать данное неравенство самостоятельно, а учитель указывает только ответ. Ответ: . На решение выделяется около 5-7 минут.

Вероятнее всего учащиеся не придут к верному ответу. Учащиеся зададутся, верен ли ответ, данный учителем. И вывод заключается в следующем – учащиеся, что то не учли. Может быть, кто-то дойдет до проблемы, если нет, то учитель объяснит сам.

Решение.

О.Д.З.:  Решение системы:

Решим неравенство:

Проблема заключается в следующем – не учитывается то, что логарифм находится в квадрате (и не забываем что выносим четную степень), т.е.

Так как неравенство определено на множестве положительных чисел (по О.Д.З.), то модуль можно раскрывать с положительным значением.

Данное логарифмическое неравенство не сложно решить методом замены. Введем замену: .

Стоит спросить учащихся, а стоит ли накладывать ограничения на

Часто учащиеся не могут верно ответить на данный вопрос, потому что не имеют четкого представления о элементарных функция.

Как стоит поступить в данном случае? Стоит спросить учащихся, чем является ? А  это то, в какую степень возводят основание логарифма и получают подлогарифмическое выражение, а степень определена на множестве действительных чисел.

Продолжаем решать:

Разложив данное квадратное выражение на линейные множители получаем:

Главная проблема заключается в следующем: учащиеся находят корни квадратного выражения и бездумно возвращаются к подстановке не дорешав неравенство с введенной заменой. Стоит акцентировать внимание, что надо дорешать наше неравенство относительно .

Следующая проблема - учащиеся не могут перейти к введенной замене.

Стоит сделать следующее – спросить учащихся как представить промежуток  через двойное неравенство. Ответ:

Далее задать вопрос – как данное двойное неравенство представить через систему или совокупность:  И только с данного шага можно вернуться к подстановке:

Стоит спросить учащихся, какие условия есть для решения логарифмического неравенства по определению. Речь идет о том, что если , то знак неравенства сохраняется без изменений, если же  то необходимо поменять знак на противоположный.

Продолжаем решение:

Решением данной системы является промежуток: .

Осталось объединить решение логарифмического неравенства с О.Д.З.:. Решением данной системы является промежуток: .

Ответ: .

Так же данное неравенство можно решить методом рационализации.

3. Информация о домашнем задании.

На усмотрение учителя.

4. Подведение итогов урока.

На данном уроке мы постарались уделить внимание основным ошибкам при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Учитель спрашивает, полезна ли была данная информация для учащихся, весь ли материл был доступен и понятен. Есть ли у учащихся вопросы?

Учитель прощается. Урок окончен.