Технологическая карта к уроку "Геометрическая прогрессия"
методическая разработка по алгебре (9 класс)

Тип урока

Урок открытия  новых знаний

Цель урока

 восприятие, осмысление и первичное запоминание учащимися понятий «геометрическая прогрессия», «знаменатель геометрической прогрессии», «формулы n-го члена».

развитие умения видеть и применять изученные формулы  в решении задач; формирование интереса к изучению математики, развитие навыков самостоятельной учебной деятельности, умения общаться, умения оценивать свои достижения.

Формы работы на уроке

Фронтальная, парная- групповая, индивидуальная самостоятельная работа.

Задачи урока:

Предметные

Метапредметные

повторить определение арифметической прогрессии, формулу n-члена арифметической прогрессии, формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии, характеристическое свойство  арифметической прогрессии; сформулировать определение геометрической прогрессии, вывести формулу n-члена арифметической прогрессии; совершенствовать навыки работы учащихся с формулами.

Умение применять изученные понятия и методы для решения задач

Познавательные: 

- формирование умения выявлять и формулировать изучаемую тему;

- формирование основ исследовательской деятельности (планирование действий, формулировка конкретных задач; оформление и представление результатов, подведение итогов, обобщение и формулировка выводов);

- формирование умений устанавливать причинно – следственные связи, строить логические рассуждения;

- формирование  умений работы с текстом

Коммуникативные:

- формирование умений участвовать в беседе и поддерживать диалог;

- формирование умений задавать вопросы для организации работы в группе,   планирование учебного сотрудничества, осуществлять контроль и коррекцию действий партнера;

- формирование умений аргументировать и отстаивать свою точку зрения.

Регулятивные: 

- формирование умений анализировать условия и планировать пути достижения целей на основе выделенных учителем ориентиров действия;

- формирование умений контроля и коррекции собственных действий, самостоятельного оценивания правильности своих действий.

Этапы урока задачи этапа

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

Комментарии к ходу урока

Познавательная

Коммуникативная

Регулятивная

1 Организационный

Приветствие учащихся;

проверка подготовленности учащихся к занятию

 организация внимания

проверка учителем готовности класса к уроку;

 планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.

- контролируют свои действия

Здравствуйте, ребята! Сегодняшний урок я начну словами Л.Н.Толстого:

«Знание  только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью» Л.Н. Толстой

Как вы понимаете эти слова?

Сегодня на уроке мы продолжим изучать числовые последовательности, и вы сможете самостоятельно сделать по-настоящему чудные открытия в данной области.  

Будем работать в парах  и фронтально. Перед вами находятся опорные конспекты, в которых  вы будете делать записи по ходу урока,  критерии самооценки. В конце урока вам необходимо заполнить лист самооценки, используя данные критерии. Прочитайте их. Принимаем?

Вместе  с вами сегодня мы движемся только вперед, так как  слово    «Прогрессио» в переводе  с греческого языка обозначает движение  вперёд.

Итак, начнем.

Запишите число, классная работа.

2.Актуализация знаний и фиксирование индивидуального затруднения в пробном учебном действии.

Выявляет уровень опорных знаний и способов действий знаний.  Выявляет пробелы в знаниях. Активизирует знания учащихся.

-организует учебное взаимодействие группы и класса;

- организует обсуждения

-осмысление и первичное запоминание материала;

- аргументируют свою точку зрения

Определяют вид последовательности, обосновывают свой ответ.

Выполняют задание, отвечают на вопросы учителя, высказывают свои предположения.

- восприятие устной речи;

- построение понятных для собеседника высказываний;

- участие в диалоге;

- сравнивают ответы учащихся;

- предлагают свои ответы на вопросы;

-согласование и координация деятельности с другими ее участниками, предоставление права на высказывание другого мнения

Включаемость в коллективное обсуждение вопросов.

Развитие познавательных интересов.

Умение осознанно строить речевое высказывание в устной форме.

Как я уже сказала, мы продолжаем изучать числовые последовательности, и вот вам задание 1.

Даны последовательности, найдите закономерности, по которым они составлены, и задайте их формулой. (Работа в парах, проверка на доске)

Какие из этих последовательностей можно объединить по общему свойству?

(арифметическая прогрессия)

Мы с вами изучили эту последовательность подробно. Давайте вспомним все, что мы про нее знаем.  (Фронтальная работа)

Задание 2.    

1. Какая последовательность называется арифметической прогрессией?
2. Назовите  рекуррентную формулу, задающую арифметическую прогрессию. Что такое d?
3. Как найти разность арифметической прогрессии?
4. Сформулируйте   характеристическое   свойство    арифметической
   прогрессии и запишите формулу.
5. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии.

Как найти  сумму n- первых членов арифметической прогрессии?

3. Определение темы и целеполагание.

4.Открытие новых знаний

- организует активное работу учеников в группах ;

- отвечает на возникшие вопросы

Обеспечение мотивации учения детьми, принятие ими целей урока.

- Осуществляют логические действия

- самостоятельно предполагают, какая информация нужна для решения предметной учебной задачи.

Выполняют задание, отвечают на вопросы учителя, высказывают свои предположения.

Делают выводы. Оценивают свою работу.

определяют цель учебной деятельности.

Молодцы, хорошо знаете теоретический материал на арифметическую прогрессию.

Задание 3

Даны последовательности,  найдите закономерности, по которым они составлены,  и задайте  формулой вид зависимости.

Найдите 21-й член последовательности.

Вы смогли выполнить задание?

Ученик: не все, только в первом случае.

А почему?

В чем затруднение?

Чем числовые последовательности во 2, 3, и 4 примерах отличаются от числовой последовательности из 1 примера?

Построение проекта выхода из затруднения

Что объединяет оставшиеся числовые последовательности?

Дети формулируют правило: каждый член последовательности, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Ребята, такие числовые последовательности называют геометрическими прогрессиями.

Итак, какой будет тема нашего урока?

Ученики: «Геометрическая прогрессия»  

Запишите тему урока в тетради.

Сформулируйте цель урока.

Как вы думаете, какие открытия нам предстоит сегодня сделать?

А по какому плану мы будем изучать новую прогрессию?

Вот такие последовательности называются геометрической прогрессией.

Ребята, давайте договоримся, что члены геометрической прогрессии мы будем обозначать bn, чтобы их не путать с арифметической, хотя это все условности.

Работа с учебником

b1,b2,b3,…bn,…- геометрическая прогрессия.

Так какая числовая последовательность называется геометрической прогрессией?

(Ученики формулируют определение).

Постоянное число, на которое умножают, обозначим буквой q, это знаменатель геометрической прогрессии. Внимание: q не равно 0.

После этой работы даётся точное определение.

А теперь рассмотрим задачи практического характера. В каких областях можно встретиться с геометрической прогрессией?

Даются 2 задачи : «Выпишите последовательность, соответствующую условию задачи». Время 3 минуты.

I. (Физика) Имеется радиоактивное вещество массой 256г, масса которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи? На пятые? (256; 128;64; 32; 16;…)

2.(Биология) Бактерия за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд? (1; 3; 9; 27; 81;…)

Выпишите  ваши полученные последовательности. Как получается второй член последовательности? Третий?...

(1. Делением предыдущего члена на 2 или умножением на .

2. Умножением предыдущего на 3.)

Эти числа называются знаменателем геометрической прогрессии.

Ребята, в книге  Перельмана Я. И. «Живая математика», есть легенда о шахматах: «…Шахматная игра была придумана в Индии, и, когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен её остроумием и разнообразием возможных в ней положений.

Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.

Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

- Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, - сказал царь…

- Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

- Простое пшеничное зерно? – изумился царь.

- Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвертую – 8, за пятую – 16, за шестую – 32…

- Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моею милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения доброты своего государя. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

Сета улыбнулся. Покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.

За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унёс ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.

- Повелитель, - был ответ, - приказание твоё исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен…

Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение.

Царь приказал ввести его.

- Прежде чем скажешь о твоем деле, - объявил Шерам, - я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.

- Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час, - ответил старик. – Мы добросовестно исчислили всё количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико…

- Как бы велико оно ни было, - надменно перебил царь, житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана…

- Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания… »

Учитель: «Как мы узнали из этой легенды, о геометрической прогрессии знали ещё в древние времена. А почему царь не смог наградить изобретателя, как вы думаете? ».

Продолжим изучение нового материала.

Для того, чтобы узнать сколько Шераму пришлось бы отдать зерна, выведем с вашей помощью, аналогично арифметической прогрессии, формулу п – го члена геометрической прогрессии.

Итого получили формулу n-го члена геометрической прогрессии

Какую награду получил изобретатель  в легенде о  шахматах сможем ли мы найти? (нет) Что еще необходимо знать? (Формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии) . Её изучим на следующем уроке.

5.Этап закрепления знаний и совершенствования  способов действий.

Содействовать усвоению учащимися изученных знаний, применение их в практических заданиях, учащихся. Провести коррекцию выявленных пробелов в.

в знаниях учащихся

самостоятельно предполагают, какая информация нужна для решения предметной учебной задачи.Поиск и выделение необходимой информации, выбор способа действия. Умение осознанно применять полученные знания на практике.

- Работают  в группах. Обсуждают алгоритмы выполнения заданий и выполняют их.

Обсуждают алгоритмы выполнения заданий и выполняют их.

Выполняют задание.

Соотносят цель и результат учебной деятельности

Фиксируют степень соответствия.

Намечают  цели дальнейшей деятельности.

Подводят итоги своей работы. Делают выводы. Оценивают свою работу.

- сравнивают ответы учащихся;

- предлагают свои ответы на вопросы;умеют сотрудничают в совместном решении задачи, умеют слушать других, договариваться.

Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.

Умение осознанно строить речевое высказывание в устной форме

Организует учебное взаимодействие в группах. Предлагает работать по алгоритму. Контролирует работу учащихся, оказывает индивидуальную помощь.

- Объединимся в группы для решения задач. (Решение задач в группах с последующей проверкой)  

Давайте вернемся к задаче:

Найдите 21-й член последовательности.

2)  1, 2, 4, 8 …

3)  8, 4, 2, 1…

4) -1/3, 1, -3, 9…

-Оцените свою работу и работу соседа и поставьте оценку за вклад его в решение.

- В чем были ошибки?

- Для чего вы выполняли данное задание?

(Для того, чтобы уметь самостоятельно  выбирать формулы и для решения, правильно вычислять по формулам, хорошо решить задачи по теме в ОГЭ)

-Работая в группе, мы справились с поставленной задачей?

6. Этап контроля и самоконтроля знаний и способов действий.

Выявление качества и уровня усвоения уч-ся знаний и способов действий.

- строят рассуждения

- применяют  знания

логические- анализ объектов с целью выделения признаков.

Выполняют самостоятельную работу на выбор, оценивают, анализируют свою работу,  делают выводы.

Выполняют проверку, обсуждают возможные ошибочные решения, исправляют свои решения.

умеют оформлять свои мысли в устной речи с учётом своих учебных и жизненных речевых ситуаций.

дают адекватную оценку и самооценку учебной деятельности.

определяют цель учебной деятельности, осуществляют поиск средств её достижения

Формулирует задание. Организует деятельность по их выполнению.  Предлагает учащимся оценить свою работу.

-Для того, чтобы проверить свои умения использовать знания при решении задач, я предлагаю вам выполнить самостоятельную работу

 (с последующей самопроверкой):

Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

№1 Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них – геометрическая прогрессия. Укажите ее.

5. 2, 5, 8, 11,…
6. -4, -8, -16, -32,…
7. 100, 90, 80, 70,…
8. 2, 5, 10, 17,…

№2 Найдите знаменатель

 геометрической прогрессии  1;5;25; …

№3 Найдите четвертый член

 геометрической прогрессии 2; 4; 8;…

№4 Найдите b5, если b1=3,  q=2.

Предлагает ответить на вопросы:

Какая из изученных прогрессий, на Ваш взгляд, более сложная?

Почему?

7. Этап информации о домашнем задании.

обеспечить понимание учащимися цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.

Записывают Д/з. Отвечают на вопросы учителя.

- формулируют конечный результат своей работы на уроке

 Д/з: п. 14, 211-213 (ч) 

 Придумайте или найдите в Интернете задачи, позволяющие использовать геометрическую прогрессию; оформите их решение в тетради.

8.Рефлексия.

Инициировать рефлексию учащихся по поводу своего эмоционального состояния, мотивация своей деятельности и взаимодействия с учителем и одноклассниками

Осуществляют самооценку собственной учебной деятельности, соотносят цель и результаты, степень их соответствия.

 - формулируют конечный результат своей работы на уроке

дают адекватную оценку и самооценку своей учебной деятельности

Проанализируйте предложения и ответьте на вопросы.
1.Сегодня на уроке я узнал(а) (что?)

2.Сегодня на уроке я научился(лась) (чему?)

3.Сегодня на уроке научился(лась) делать лучше (что?)

4.Самым неожиданным для меня стало (Что?)

5.Сегодня на уроке я мог(ла) бы сделать лучше (что сделать?)

6.Осталось непонятным (что?)

-Спасибо за активную работу на уроке. Я довольна вашей работой. Урок окончен.

Числовая последовательность

Напишите формулу

Оцени свои знания:

верно  +

неверно   -

-3, -6, -9, -12, -15…

7, 14, 21, 28, 35…

15,  10,  5, 0, -5…

1, 3, 9, 27, 81, …

Арифметическая прогрессия

Напишите формулу

Оцени свои знания:

Я знаю  +

 Я не знаю  -

Формула n-го члена:

Рекуррентная формула, задающая арифметическую прогрессию

Формула для нахождения разности:

Характеристическое   свойство    арифметической
прогрессии

Формула суммы n первых членов:

Числовая последователь-ность

Вид зависимости

21-й член

Оцени свои знания:

верно  +

неверно   -

12, 14, 16, 18…

 1, 2, 4, 8 …

8, 4, 2, 1…

-1/3, 1, -3, 9…

Задача

Последовательность чисел

Оцени свои знания:

верно  +

неверно   -

(Физика) Имеется радиоактивное вещество массой 256 г, масса которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи? На пятые?

(Биология) Бактерия за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд?

№ задания

Ответ на №1

Ответ на №2

Ответ на №3

Ответ на №4

1 вариант

Оцени свои знания:

верно  +

неверно   -