методическая разработка. Открытый урок по теме " Геометрический смысл производной"
план-конспект урока по алгебре (11 класс)

Время

Этап

Деятельность учителя

Деятельность ученика

 3 минут

Организационный момент

Учитель приветствует учащихся. Отмечает отсутствующих.

Приветствуют учителя. Садятся на места.

1 минута

Сообщение темы урока

«Геометрический смысл производной»

Записывают в тетрадь

Слайд 1

5 минут

Повторение изученного материала.

Используя формулы и правила дифференцирования, найдите производные следующих функций:

Решают в тетради, меняются с соседом,  проверяют и говорят ответы.

Слайд 2

5 минут

Актуализация знаний

Давайте обсудим, что такое касательная к графику функции?

Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»?

Давайте рассмотрим конкретные примеры:

1) Прямая x = 1 имеет с параболой y = x2 одну общую точку M(1; 1), однако не является касательной к параболе.

Прямая же y = 2x – 1, проходящая через ту же точку, является касательной к данной параболе.

Прямая x = π не является касательной к графику y = cos x, хотя имеет с ним единственную общую точку K(π; 1). С другой стороны, прямая y = - 1, проходящая через ту же точку, является касательной к графику, хотя имеет с ним бесконечно много общих точек вида  (π+2 πk; 1), где k – целое число, в каждой из которых она касается графика.

Делают свои предположения.

Соглашаются.

Слайд 3

Обсуждают примеры.

Слайд 4

10 минут

Объяснение нового материала

Посмотрите, чем отличается положение прямой х=1 от положения у=2х-1? Сделайте вывод, что же такое касательная?

Делает итог сказанного учениками. Примем за определение: касательная это предельное положение секущей.

Раз касательная это прямая линия, а нам нужно составить уравнение касательной, то что, как вы думаете, нам нужно вспомнить?

 Вспомнить общий вид уравнения прямой.

Как еще называют число к?  

 к =  tg α

В чем заключается геометрический смысл производной?

Т. Е. я могу записать tg α = yˈ(а).

Давайте проиллюстрируем это на чертеже.

Пусть дана функция y = f (x) и точка М принадлежащая графику этой функции. Давайте определим её координаты следующим образом: х=а, у= f (а), т.е. М (а, f (а) ) и пусть существует производная f '(а), т.е. в данной точке производная определена. Проведем через точку М касательную.  Уравнение касательной – это уравнение прямой, поэтому оно имеет вид: y = kx + b. Следовательно, задача состоит в том, чтобы отыскать k и b. Обратите внимание на доску, из того что там записано, можно ли найти к?

Как теперь найти b?  Искомая прямая походит через точку М(а; f(a)), подставим эти координаты в уравнение прямой: f(a) = ka +b , отсюда b = f(a) – ka,  т. к. к =  tg α= yˈ(x), то b = f(a) – f '(а)а

Подставим значение b и к в уравнение y = kx + b.

y = f '(а)x + f(a) – f '(а)a, вынося за скобку общий множитель, получаем:

y = f(a) + f '(а) · (x-a).

Нами получено уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х = а.

Чтобы уверенно решать задачи на касательную, нужно четко понимать смысл каждого  элемента  в данном уравнении. Давайте ещё раз остановимся на этом:

1. (а, f (а) ) – координаты точки касания
2. f '(а) = tg α = к тангенс угла наклона или угловой коэффициент
3. (х,у) – координаты любой точки  касательной

Предлагают возможные определения касательной.

Записывают определение в тетрадь.

Касательная – предельное положение секущей

Слайд 5

Общий вид уравнения прямой.

у= кх+b

угловой коэффициент или тангенс угла между этой прямой и положительным направлением оси Ох

Тангенс угла наклона между  касательной  и положительным направлением оси оХ

Слайд 6

Слайд 7

Внимательно слушают рассуждения учителя.

 да, k = f '(а).

Слайд 8

Записывают вывод формулы в тетрадь.

5 минут

Составление алгоритма

Предлагаю составить алгоритм самим учащимся:

1. Обозначим абсциссу точки касания буквой а.
2. Вычислим f(a).
3. Найдем f '( х) и вычислим f '( а).
4. Подставим найденные значения числа а, f( а), f '( а) в уравнение касательной.
5. y = f(a) + f '(а) · (x-a).

Раздаю учащимся напечатанный заранее алгоритм как памятку для последующей работы.

Выдвигают варианты, делают общий вывод и записывают в тетрадь алгоритм.

Слайд 9

6 минут

Историческая справка  

Внимание на экран. Расшифруйте слово

Понятие производная возникло в связи с необходимостью решения ряда задач физики, механики и математики. Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому ученому Ньютону и немецкому математику Лейбницу. Лейбниц рассматривал задачу о проведении касательной к произвольной кривой.

Знаменитый физик Исаак Ньютон, родившейся в английской деревушке Вульстроп, внес немалый вклад и в математику. Решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, он создал общий метод решения таких задач – метод флюксий (производных), а саму производную называл флюентой.

Он вычислил производную и интеграл степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях он пишет в своей работе «Метод флюксий» (1665 – 1666гг.), послужившей одним из начал математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления, которое ученый разработал независимо от Лейбница.

Многие ученые в разные годы интересовались касательной. Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика Н.Тартальи (ок. 1500 – 1557гг.) – здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая данность полета снаряда. И. Кепплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения встречаются у Р.Декарта.

Ответ: ФЛЮКСИЯ

слайд 10-11

Внимательно слушают учителя

Слайд 12-13

3 минуты

Закрепление

Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = х² - 3х + 5 в точке с абсциссой а = -1.

По алгоритму решают задачу.

Решение:

Составим уравнение касательной (по алгоритму). Вызвать сильного ученика.

1. а = -1;
2. f(a) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;
3. f '(x) = 2х – 3,
   f '(a) = f '(-1) = -2 – 3 = -5;
4. y = 9 – 5 · (x + 1),

y = 4 – 5x.

Ответ: y = 4 – 5x.

Слайд 13-14

1 минуты

Домашнее задание

Задает домашнее задание

Алгебра (Алимов) п.48 №859, 860

Записывают в дневник

Слайд 15

5 минут

Подведение итогов

Задает вопросы

Что называется касательной к графику функции в точке?

В чём заключается геометрический смысл производной?

Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?

Отвечают на вопросы

Слайд 16

Касательная – предельное положение секущей

tg α = yˈ(а).

1.Обозначим абсциссу точки касания буквой а.

2. Вычислим f(a).

3. Найдем f '( х) и вычислим f '( а).

4.Подставим найденные значения числа а, f( а), f '( а) в уравнение касательной.

5) y = f(a) + f '(а) · (x-a).

1 минута

Рефлексия деятельности на уроке

Подводит итоги, оценивает учащихся.