10 способ решения квадратных уравнений
презентация урока для интерактивной доски по алгебре (8 класс)

Слайд 1

10 способов решения квадратного уравнения Автор проекта : Ефимов Егор Иванович ученик 9Б класс МАОУ СОШ №10 г. Альметьевска Руководитель проекта : Демидова Алёна Николаевна

Слайд 2

Цель работы: Изучение 10 способов решения квадратных уравнений . Задачи: - изучить историю развития квадратных уравнений; - рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения квадратных уравнений; - выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений; - научиться решать квадратные уравнения различными способами. Цель работы:

Слайд 3

Гипотеза: любое квадратное уравнение можно решить всеми существующими способами. Объект исследования: квадратные уравнения. Предмет исследования: способы решения уравнений второй степени.

Слайд 4

1 СПОСОБ : Разложение левой части уравнения на множители. Решим уравнение х 2 + 10х - 24 = 0 . Разложим левую часть на множители: х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2). Следовательно, уравнение можно переписать так: ( х + 12)(х - 2) = 0 Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2 , а также при х = - 12 . Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х - 24 = 0 .

Слайд 5

2 СПОСОБ : Метод выделения полного квадрата. Решим уравнение х 2 + 6х - 7 = 0 . Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде: х 2 + 6х = х 2 + 2 х 3. В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как х 2 + 2 х 3 + 3 2 = (х + 3) 2 . Преобразуем теперь левую часть уравнения х 2 + 6х - 7 = 0 , прибавляя к ней и вычитая 3 2 . Имеем: х 2 + 6х - 7 = х 2 + 2 х 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (х + 3) 2 - 9 - 7 = (х + 3) 2 - 16. Таким образом, данное уравнение можно записать так: ( х + 3) 2 - 16 =0, (х + 3) 2 = 16. Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х 1 = 1, или х + 3 = -4, х 2 = -7.

Слайд 6

3 СПОСОБ : . РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧЕРЕЗ ДИСКРИМИНАНТ

Слайд 7

4 СПОСОБ : Решение квадратных уравнений по формуле. Умножим обе части уравнения ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0 на 4а и последовательно имеем: 4 а 2 х 2 + 4а b х + 4ас = 0, ((2 ах) 2 + 2ах b + b 2 ) - b 2 + 4ac = 0, (2ax + b) 2 = b 2 - 4ac, 2ax + b = ± √ b 2 - 4ac, 2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Слайд 8

5 СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета. Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид х 2 + px + c = 0. (1) Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид x 1 x 2 = q, x 1 + x 2 = - p Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней). а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен ( q > 0 ), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p . Если р < 0 , то оба корня отрицательны, если р < 0 , то оба корня положительны. б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен ( q < 0 ), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .

Слайд 9

6 СПОСОБ: Решение уравнений способом « переброски ». Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + а b х + ас = 0. Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0, равносильно данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х 1 = у 1 /а и х 1 = у 2 /а . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы « перебрасывается » к нему, поэтому его называют способом « переброски » . Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Слайд 10

7 СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения. А. Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0. 1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х 1 = 1, х 2 = с/а. Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение + b/a x + c/a = 0. Согласно теореме Виета x 1 + x 2 = - b/a, x 1 x 2 = 1 c/a. По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом, x 1 + x 2 = - а + b/a= -1 – c/a, x 1 x 2 = - 1 ( - c/a), Т.е. х 1 = -1 и х 2 = c/a , что м требовалось доказать.

Слайд 11

7 СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения. Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

Слайд 12

7 СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения. В. Приведенное уравнение х 2 + рх + q= 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1 , b = р и с = q . Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней принимает вид: Формулу (3) особенно удобно использовать, когда р — четное число.

Слайд 13

8 СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения. Если в уравнении х 2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х 2 = - px - q. Построим графики зависимости у = х 2 и у = - px - q. График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости - прямая (рис.1). Возможны следующие случаи: - прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квад - ратного уравнения; - прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение; - прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Слайд 14

8 СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения. ( риснки )

Слайд 15

9 СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки . Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика. Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5). Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х 1 ; 0 ) и D (х 2 ; 0), где х 1 и х 2 - корни уравнения ах 2 + bх + с = 0 , и проходит через точки А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB OD = OA OC , откуда OC = OB OD / OA= х 1 х 2 / 1 = c/a.

Слайд 16

9 СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK , восстановленных в серединах хорд AC и BD , поэтому 1) построим точки (центр окружности) и A(0; 1) ; 2) проведем окружность с радиусом SA ; 3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения .

Слайд 17

9 СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. При этом возможны три случая. Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a) , окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6,а) В(х 1 ; 0) и D(х 2 ; 0) , где х 1 и х 2 - корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 . 2 ) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a) , окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х 1 ; 0) , где х 1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

Слайд 18

9 СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. Рисунки :

Слайд 19

10 . СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы . Это старый и незаслуженно забыты способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990). Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 . Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициен - там определить корни уравнения. Криволинейная шкала номограммы пост- роена по формулам ( рис.12):

Слайд 20

Литература Глейзер, Г.И. История математики в школе/ Г.И. Глейзер.-М.: Просвещение, 1982. Гусев, В.А. Математика. Справочные материалы/ В.А. Гусев, А.Г. Мордкович - М.: Просвещение, 1988. Брадис , В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы/ В.М, Брадис -М.: Просвещение, 1990