Проектная деятельность: об исследовательских задачах для школьников
статья по алгебре (8, 9, 10, 11 класс)

ОБ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ ЗАДАЧАХ ШКОЛЬНИКОВ

Математика – это человеческая деятельность; сравнительная ценность задач и правильный их выбор в математике гораздо более важны, чем способность совершать сложные действия в уме.

А.К. Звонкин. Малыши и математика.

Что означает владение математикой? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности.
Д. Пойа. Математическое открытие. 

Главной целью современного образования становится не получение фундаментальных знаний отдельным учащимся, а его творческое самораскрытие, раскрытие его способностей, формирование креативного, свободного от стереотипов мышления. Школа должна воспитывать личность самостоятельную, творческую, способную делать ответственный выбор и принимать решения.

Перед современной школой стоят следующие задачи:

• развитие у учащихся самостоятельности и способности к самоорганизации;
• развитие способности к созидательной деятельности, сотрудничеству.

Ориентируясь на глобальные цели системы образования, необходимо:

• помочь ученикам освоить такие приёмы, которые позволят расширять полученные знания самостоятельно, т.е. научить оперативно осуществлять поиск информации, производить её структурирование, находить оптимальный алгоритм ее обработки;

• способствовать развитию творческого потенциала учащихся;
• создать условия для формирования у учащихся адекватной самооценки;
• способствовать формированию коммуникабельности, умению работать в команде.

Реализация этих задач возможна при использовании проектной технологии обучения, которая непосредственно применяется в исследовательских работах и развивает следующие компетенции:

• информационную - способность грамотно выполнять действия с информацией;
• коммуникативную - способность вступать в общение с целью быть понятым;
• социальную - способность действовать в социуме с учетом позиций других людей;
• предметную - способность применять полученные знания на практике.

Содержанием математического исследования школьника может стать самостоятельное решение трудной (для него) большой задачи или связанной серии задач. В идеальном случае такие задачи возникают на уроке или кружке как естественное продолжение изученного углублённого материала. Такой областью часто бывает элементарная геометрия или комбинаторика. Такой областью могут быть и элементарные отделы алгебры, анализа, теории чисел. Тема может быть как близка к школьной программе, так и возникнуть в совсем новой для ученика области (но интересной и посильной для него!). Найти тему, далёкую от школьной программы, может скорее математик-исследователь, чем школьный учитель. Исследовательской работой также можно считать решение серии “околошкольных” коротких задач, объединённых общим методом. Наконец, возможно построение математической модели изучаемого объекта (например, вероятностной).

Очень важно, чтобы школьник понимал контекст своей задачи, её “окрестности”, мотивировки и связи с известной ему математикой. Очень важно, чтобы текст доказательства был написан и проверен вместе с руководителем и соучениками, а также путем выступлений на кружках и семинарах.

Обратим внимание на некоторые опасности, связанные с исследовательскими задачами.

Новизна и известность задачи должны соответствовать уровню притязаний. На кружке уместно (и полезно) “переоткрыть” теорему Эйлера о многогранниках. На всероссийскую

конференцию не стоит выносить задачу, решение которой изложено в доступной популярной литературе (“Квант”, библиотека “Математическое просвещение” и т.д.). Понятно, что именно так можно понимать обычно формулируемые рекомендации представить “цели и задачи, гипотезы и методы исследования”. Есть много промежуточных случаев, и дать чёткие критерии на все сразу невозможно.

Простое применение стандартного математического аппарата к изучаемому объекту (например, биологическому, литературному) ещё не делает работу работой по математике. Поэтому нужно аккуратно выбирать секцию для подачи работы в соответствии с основным достижением.

Если говорить об исследовательских умениях, то умения и навыки, которым мы учим детей, можно условно разбить на две группы: базовые навыки и исследовательские умения. К первой относятся способность узнавать знакомые ситуации, применять в них известные методы решения. Ко второй – успешность действий в незнакомых ситуациях, в которых нет известных методов решения (или есть, но они глубоко спрятаны).

С первой группой всё более-менее ясно. Мы понимаем, как обучать базовым навыкам: их содержание описано в подробных программах, им посвящены многочисленные дидактические материалы. Мы знаем, как оценивать их наличие: процент успешно решённых на контрольной работе задач – вот тебе и оценка. Их не так много, и средний школьник при известной старательности ими овладевает.

Со второй группой, напротив, ничего не ясно. Во-первых, как обучать исследовательским умениям? Рассказывать ученикам готовые решения – значит опять работать на воспроизведение. Давать самим – «авось решат» – так и не решат, только время потеряешь. Во-вторых, чему собственно учить, на каком материале развивать эти умения? Базовые темы входят в требования базовых навыков, тут рисковать нельзя. Остаётся сложный факультативный материал (а времени не остаётся). Ставится знак равенства между сложными задачами и исследовательскими, чем отсекаются средние и слабые ученики. В-третьих, как оценивать исследовательские умения? Если ты несколько раз успешно находил требуемое на уроках, это совсем не значит, что в новой ситуации – на контроле – тоже найдёшь. Вероятность успеха выше, но гарантии никакой нет. Итак, проблема исследовательских умений: как и на каком материале учить, как оценивать?

Прежде всего, обозначим внутреннюю сторону проблемы. Исследование означает свободный поиск: идёшь куда хочешь, но рискуешь ничего не найти. Исследование – это творчество в науке. Творчество появляется лишь там, где есть свобода, и необходимо связано с риском, с отсутствием гарантий. Заставить творить нельзя. Поэтому исследование, как и всякое творчество, слабо поддаётся формализации – и в научении и в проверке.

Давайте уточним, о какой свободе в математике идёт речь. В.И. Арнольд, цитируя Пуанкаре, говорит, что задачи бывают двух видов: бинарные и интересные. Бинарные предполагают только два ответа: «да» и «нет», интересные допускают продвижения, вспомогательные задачи, уточнения, обобщения. Иначе говоря, интересны те задачи, в которых решающий имеет пространство выбора.

Задачи интересные = исследовательские = есть выбор.

Как учить исследовать? Надо

1) изменить способ вопрошания,

2) показывать, из каких соображений выдвигают гипотезы и ставят задачи.

На каком материале учить? На том же самом.

Как оценивать исследовательские умения? Лучше всего избегать формальных оценок, потому что этим умениям нельзя гарантированно научить, а значит, нельзя их и уравнительно оценивать.

На уроках далеко не всегда можно приблизиться к изображённому идеалу. Обычно не хватает времени, недостаточно мотивации. А вот жанр проектной работы даёт ученику возможность, которой не даёт никакая другая учебная деятельность: решать исследовательские задачи в свободном режиме. Цель проектной работы – научить ребёнка исследовать. Главный и уникальный результат проектной работы – это исследовательские умения ученика. Всё остальное (овладение новой темой, получение нового научного результата) – это побочные продукты, если есть – хорошо, если нет – ничего страшного.

Свобода мышления, соответствующая исследованиям, должна сказываться и в их организации. Проектами занимаются только по желанию. Тему ученик выбирает сам (а учитель вправе отказаться, если не чувствует к ней сил или интереса – свобода обоюдная!). Учитель сотрудничает с учеником: делится своими соображениями и выслушивает ученика на равных, точнее, как более опытный коллега. Учитель должен уметь отказываться от своего замысла в пользу идей ученика. Это приходится иногда делать, даже если учитель уверен в бесплодности этих идей, но не может убедить в этом ученика иначе как «попробуй – увидишь». Никаких наказаний за медлительность или отказ ставить нельзя. Настоящей наградой будет радость от хорошо сделанной совместной работы.

Все мы хотим, чтобы ученики в результате учёбы «доросли» до нас. Большинство согласно, что лучшее средство для этого – доверять ученикам и сотрудничать с ними. Но тогда, обучая математике, надо учить ставить задачи и выдвигать гипотезы.

Подчеркнем, что между математическим и естественнонаучным исследованием есть два существенных отличия. Во-первых, мы совершенно точно знаем исходные факты («законы мира», «правила игры»). Во-вторых, результатом исследования является не только формулировка того или иного утверждения и проверка, что это утверждение не противоречит проведенным экспериментам, но и (в идеале) — доказательство утверждения, его логический вывод из основных законов мира (определений и аксиом).

При исследовании научной проблемы важен не только результат, «ответ» к данной задаче, но и изобретенный по ходу решения метод, которым иногда удаётся решить много других задач. Если повезёт, накопленные результаты и методы складываются в единое целое – новую математическую теорию.

Получаем цепочку развития реального исследования: задача – решение – метод – теория.

При обучении в школе последовательность, как правило, обратная: ученику излагают в готовом виде теорию, из неё выводят методы решения, а потом предлагают решить ряд задач для овладения методом и усвоения теории. Редко перед школьником сразу ставят новую задачу, метод решения которой ему неизвестен, еще реже просят ученика самому поставить новую задачу.

Итак, изучать материал можно в двух противоположных направлениях: «от задач» и «от теории».

По большому счёту, если ученик не освоил ни одной темы способом «от задач», нельзя сказать, что он понимает, как устроена математика. Если видел лес только с шоссе, то, войдя в него, тут же заблудишься.

Конечно, обучение «от задач» гораздо более индивидуально, чем обучение «от теории». Поэтому на урочных занятиях могут быть введены только некоторые элементы такого обучения. (Подробнее об обучении «от задач» собственно на уроках см. Сгибнев А.И. «Как задавать вопросы?», «Математика. Первое сентября» № 12, 2007.)