Подготовка учащихся 7-9 классов к олимпиаде по математике.
олимпиадные задания по алгебре (7, 8, 9, 10 класс)

Задачи с кратким решением и ответом для   подготовки к региональной олимпиаде по математике.

7 класс

1.  Решите ребус, при этом помните, одинаковые буквы означают одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры; первая цифра каждого числа должна быть отличной от нуля.

СТО · СТО = СЕКРЕТ.

Ответ: 897 · 897 = 804609.

Решение.  

Так как 100000 – самое маленькое шестизначное число, то СЕКРЕТ >    Значит, С ≥ 3. Следовательно, СЕКРЕТ > 300000, откуда СТО >  . Продолжая рассуждения по аналогии, получаем, что СЕКРЕТ > 700000, откуда СТО >  . Значит, С ≥ 8.

Теперь обратим внимание на последние цифры.  Чисел СТО и СЕКРЕТ. Произведение О·О кончается на Т. Поэтому возможны варианты:   (О; Т)  это  (2; 4),  (3; 9),  (4; 6),  (7; 9)  (8; 4) (9; 1). Осталось к каждому из чисел ТО = 42, 93,  64,  97,  48,  19  слева приписать цифру 8 или 9 , возвести в квадрат и проверить данное равенство.

2.  Дано некоторое число из 1959 цифр, делящееся на 9. Пусть  a  -и сумма цифр этого числа,  b  – сумма цифр числа  a  ,  с  – сумма цифр числа  b  . Чему равно число  с ?

Ответ: 9.

Решение.

Число a не превышает 1959 9 = 17631, число b не превышает 5 9 = 45. Следовательно, с = 9 (каждое из чисел  a, b и с  должно делиться на 9).

3.  Аня, Ваня и Саня рисовали чёртиков на чистых тетрадных листочках. Экономная Аня нарисовала больше чёртиков, чем Ваня и Саня вместе, и израсходовала на это меньше всех листочков, а расточительный Ваня нарисовал меньше всех чёртиков, но извёл больше листочков, чем Аня вместе с Саней. Больше 5 чёртиков на листочек не влезает. Докажите, что Аня изрисовала не меньше 6 листочков.

Доказательство:

 Пусть у Ани было n листочков. Тогда у Сани их было не менее n + 1, а у Вани  - не менее 2n + 2. Значит, Ваня нарисовал не менее   2n + 2 чертиков, а Саня – не менее 2n + 3 чертиков. Следовательно, Аня нарисовала не менее 4n + 6 чертиков. Но поскольку у Ани было лишь n листочков, то она не могла нарисовать больше 5n чертиков. Значит,  4n + 6 ≤ 5n, откуда n≥ 6.

4. Найти сумму:

Ответ: .

Решение.

 Так как   , то

5. Решите задачу: 

Часовая и минутные стрелки часов совпадают в полночь. В какое время новых суток часовая и минутная стрелки впервые совпадут снова, если стрелки часов движутся без скачков?

Ответ: в 1 ч

Решение.

 Очевидно, совпадение стрелок произойдет вскоре после часа ночи. Пусть  часовая стрелка сдвинется к этому моменту на (1+а) делений часов, где а <1.  Так как минутная стрелка движется в 12 раз быстрее часовой, то она за то же время сдвинется на (12+12а) делений.  До момента совпадения минутная стрелка в сравнении с часовой пройдет лишний круг, т.е. ее путь больше пути часовой стрелки на 12 делений. Получаем уравнение: (12+12а) - (1+а) = 12. Отсюда находим, что   а =  Следовательно, совпадение стрелок произойдет в 1в 1 ч

6.  Имеется неограниченный запас монет в 1,2,5, 10, 20, 50 копеек и в 1 рубль. Докажите, что если можно заплатить m копеек  n монетами, то n рублей можно уплатить m монетами.

Доказательство.

Пусть m= x+2y+5z+10t+20u+50v+100w и n= x+y+z+t+u+v+w. Умножив второе равенство на 100, получим, 100n= 100x+50·2y+20·5z+10·10t+5·20u+2·50v+1·100w, что вместе с первым равенством и дает требуемый результат.

8 класс

1. Вычислите произведение

Ответ: .

Решение:  Упростим это выражение:  Полученное произведение можно сократить на 2 После этого имеем: .

2. Что больше:           или ?

Ответ:  .

Решение:

Обозначим число 111111 через  a . Тогда первая дробь , вторая – . Составим разность этих дробей и определим  её знак

3.  Полукруг касается катета BC прямоугольника треугольника ABC  в точке M (смотри рисунок). Докажите, что AM биссектриса угла BAC 

Доказательство:

Поскольку OA=OM,то . По теореме о внешнем угле,       Поскольку

4. Под куполом цирка летают, красные, синие и зелёные воздушные шары – по 150 каждого цвета. Внутри каждого синего шара находится ровно 13 зелёных, внутри каждого красного – ровно 5 синих и ровно 19 зелёных. Докажите, что какой- то зелёный шарик не содержится ни в одном из 449 остальных шаров.

5. Из пункта A в B, удалённой от A, на расстоянии 40 км, одновременно отправились два туриста: первый – пешком со скоростью 6 км/ч, второй на велосипеде. Когда второй турист обогнал первого на 5 км, первый сел на попутную машину, ехавшую со скоростью 24км/ч. Через два часа после отправления из  A первый турист догнал второго и прибыл в B раньше его. Найдите скорость туриста, ехавшего на велосипеде.

Ответ: 9 км/ч

Указание:

Для решения необходимо сделать рисунок на котором отметить пункты начала и конца движения, а также пункты, в которых оказались соответственно первый и второй туристы к тому моменту, когда второй турист обогнал первого на 5 км, а также точку, в которой первый турист догнал второго. После чего составляется система уравнений

6. Имеется неограниченный запас монет в 1,2,5, 10, 20, 50 копеек и в 1 рубль. Докажите, что если можно заплатить m копеек  n монетами, то n рублей можно уплатить m монетами.

Доказательство.

Пусть m= x+2y+5z+10t+20u+50v+100w и n= x+y+z+t+u+v+w. Умножив второе равенство на 100, получим, 100n= 100x+50·2y+20·5z+10·10t+5·20u+2·50v+1·100w, что вместе с первым равенством и дает требуемый результат.

9 класс

1. Статистика знает всё. В городе Урюпинске 47,7% всех детей считают, что их нашли в капусте, 15,1%  что их принёс аист, а оставшиеся  37,2% детей вообще не знают откуда взялись. Аналогичная статистика среди мальчиков такова: соответственно 33%, 20% и 47% . Сколько процентов Урюпинских девочек считают, что их принёс аист, если 63% из них полагают, что были найдены в капусте.

Ответ: 10%

Указание: для удобства данные можно занести в таблицу

Используя данные составить линейное уравнение.

2. На сколько нулей может оканчиваться число

Ответ: 0;1;2

Указание: Заметить, что при n=4 данное число оканчивается не нулём, при n=1 – одним нулём, при n=3 – двумя нулями. Проанализировать оставшиеся случаи и сделать выводы.

3. Внутри треугольника ABC взята точка K таким образом, что AK =1, KC=,  Найдите длину отрезка BK.

Ответ: .

Указание:

Воспользоваться теоремой синусов для треугольников .

4.   Доказать, что

Решение:  Данное выражение представим в виде  в виде . Известно, что сумма нечётных степеней делится на сумму оснований, а разность любых целых степеней делится на разность оснований. Тогда выражение, стоящее в первой скобке делится на 333+7=340, т.е. на 10. Выражение во второй скобке делится на 777-7=770, т.е. на 10.

Наконец, выражение в третьей скобке  , кратно 10, так как 2401-1=2400. Итак, данное выражение делится на 10

5.     На очень большом столе лежат две кучи спичек . В первой куче  а во второй – . Два игрока по очереди берут спички из куч. Одним ходом разрешается брать  k  спичек, из другой – m так. Чтобы  выигрывает взявший последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре?

Ответ: выигрывает первый