Учебно-тренировочные материалы по теме: «Метод замены множителей при решении неравенств».
учебно-методический материал по алгебре (7, 8, 9, 10, 11 класс)

Слайд 2

Идея рационализации неравенств встречается в математической литературе под разными названиями: метод замены множителей – Голубев В.И., Игнатович И.К., Колесникова С.И. метод декомпозиции – Моденов В.П. обобщенный метод интервалов – Дорофеев Г.В. и др.

Слайд 3

Метод замены множителей при решении неравенств. неравенства, содержащие модуль; иррациональные неравенства; показательные неравенства; логарифмические неравенства.

Слайд 4

Теорема 1: неравенство f(x)>g(x) при f(x)>0 и g(x)≥0 равносильно неравенству f ² (x)>g²(x) , т.е. неравенство f(x) - g(x) >0 равносильно неравенству f ² (x) - g²(x) > 0. Доказательство: 1. Необходимость: f(x) - g(x) >0 f ² (x) - g²(x) > 0. f ² (x) - g²(x) = ( f(x) - g(x) )( f(x) + g(x) ). Так как f(x)>0 и g(x)≥0 , то f(x) + g(x)> 0; f(x) - g(x)>0 по условию, поэтому их произведение >0 ,т.е. f ² (x) - g²(x) > 0. 2. Достаточность : f ² (x) - g²(x) > 0 f(x) - g(x) >0 . ( f(x) - g(x) )( f(x) + g(x) ) >0 , разделим обе части на f(x) + g(x)>0 , получим равносильное f(x) - g(x)>0 . чтд

Слайд 5

Так как │ φ (x) │ ≥ 0 для любого х ,то неравенство │ f(x) │ - │ g(x) │ >0 равносильно неравенству f ² (x) - g²(x) > 0. Пример 1. │х -1 │ < 2 . По определению: Замена множителей: Неравенства, содержащие модуль. 1 2 2 -1 3 Ответ: -1 < x < 3. │ х -1│ - 2 < 0 , (х -1)² - 2² < 0 , (х – 1– 2)(х – 1+2) < 0 , (х -3)(х +1) < 0 , Ответ: -1 < x < 3.

Слайд 6

Пример 2. │ │ х -1│- 5 │ ≤ 2 . По определению: Замена множителей: 5 2 2 3 7 3 ≤ │х -1│ ≤ 7, 1 3 3 4 -2 7 7 -6 8 ││ х -1│ - 5│ - 2 ≤ 0, Ответ: ( │х -1│ -5) 2 -2 2 ≤0 , ( │х -1│ -7)( │х -1│ -3) ≤0 , (x-8)(x+6)(x-4)(x+2)≤0 , 4 8 - 6 -2 + + + - -

Слайд 7

Пример 3. (│х -1│- 3)(│х+2│- 5) < 0 . (х -1-3)(х -1+3)(х+2 - 5)(х+2+5) < 0 , ((х – 1)² – 3²)(х+2)² – 5²)<0 (х - 4)(х + 2)(х - 3)(х+7) < 0 , 3 4 -7 -2 + + + - - Ответ:

Слайд 9

№ 6 Ответ:

Слайд 10

№ 4 Так как то , , Ответ:

Слайд 11

№ 10 Умножим на , получим Ответ:

Слайд 12

Иррациональные неравенства. Рассмотрим неравенство

Слайд 14

№ 5 Ответ:

Слайд 15

В решение входят целые числа: 1и 2, сумма которых равна 3. Ответ: 3. № 11 Найдите сумму всех целых чисел, являющихся решением неравенства:

Слайд 16

№ 13 . ОДЗ: 1). 2). Ответ:

Слайд 17

Показательные неравенства.

Слайд 19

ОДЗ: № 6 , учитывая ОДЗ, получаем Ответ:

Слайд 20

Логарифмические неравенства.

Слайд 22

№ 1 7 . Ответ: 1/6 1 - 2 - 0,5 + + + - - 0

Слайд 23

№ 8 . Ответ: ОДЗ:

Слайд 24

№ 18 Ответ:

Слайд 25

№ 19 Так как Тогда ОДЗ: 1). 2). Таким образом, ОДЗ: . С учетом ОДЗ получаем Ответ:

Слайд 26

№ 20 Решение будем искать при условиях: , откуда -1 1 -2 log 3 2 -2 + + - - Ответ:

Слайд 27

Используемая литература: Игнатович И.К. Алгебра и начала анализа: пособие для поступающих в вузы. – Минск: ТетраСистемс, 2008. Колесникова С.И. Математика. Решение сложных задач Единого государственного экзамена. – М.:Айрис-пресс, 2005. Колесникова С.И. Математика. Интенсивный курс полготовки к Единому государственному экзамену. – М.:Айрис-пресс, 2008. Локоть В.В., Мартынов О. М. Решение задач ЕГЭ (2010 год): Учебное пособие. – М.:АРКТИ. 2011. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной. Учебное пособие. – М.:2010. Журналы: Математика в школе. Математика для школьников.