Уравнения высших степеней и их решения
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10 класс)
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Методы решения уравнений: Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x) Разложение на множители. Введение новой переменной. Функционально – графический метод. Подбор корней. Применение формул Виета.
Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x) . Метод можно применять только в том случае, когда y = h(x) – монотонная функция, которая каждое свое значение принимает по одному разу. Если функция немонотонная, то возможна потеря корней.
Решить уравнение ( 3 x + 2 ) ²³ = (5x – 9) ²³ y = x ²³ возрастающая функция, поэтому от уравнения ( 3 x + 2 ) ²³ = (5x – 9) ²³ можно перейти к уравнению 3 x + 2 = 5x – 9 , откуда находим x = 5,5. Ответ: 5,5.
Разложение на множители. Уравнение f(x)g(x)h(x) = 0 можно заменить совокупностью уравнений f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) = 0. Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.
Решить уравнение x ³ – 7x + 6 = 0 Представив слагаемое 7x в виде x + 6x , получим последовательно: x ³ – x –6x + 6 = 0 x(x² – 1) – 6(x – 1) = 0 x(x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = 0 (x – 1)(x² + x – 6) = 0 Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений x –1 = 0 ; x² + x – 6 = 0 . Ответ: 1, 2, – 3.
Введение новой переменной. Если уравнение y(x) = 0 удалось преобразовать к виду p(g(x)) = 0 , то нужно ввести новую переменную u = g(x) , решить уравнение p ( u ) = 0 , а затем решить совокупность уравнений g(x) = u 1 ; g(x) = u 2 ; … ; g(x) = u n , где u 1 , u 2 , … , u n – корни уравнения p(u) = 0 .
Решить уравнение Особенностью этого уравнения является равенство коэффициентов его левой части, равноудаленных от ее концов. Такие уравнения называют возвратными. Поскольку 0 не является корнем данного уравнения, делением на x ² получаем
Введем новую переменную Тогда Получаем квадратное уравнение Так как корень y 1 = – 1 можно не рассматривать. Получим Ответ: 2, 0,5.
Решите уравнение 6 (x ² – 4)² + 5(x² – 4)(x² – 7x +12) + ( x² – 7x + 12)² = 0 Данное уравнение может быть решено как однородное. Поделим обе части уравнения на (x² – 7x +12)² (ясно, что значения x такие, что x² – 7x +1 2=0 решениями не являются). Теперь обозначим Имеем Отсюда Ответ:
Функционально – графический метод. Если одна из функций у = f(x) , y = g(x) возрастает, а другая – убывает, то уравнение f(x) = g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень.
Решить уравнение Достаточно очевидно, что x = 2 – корень уравнения. Докажем, что это единственный корень. Преобразуем уравнение к виду Замечаем, что функция возрастает, а функция убывает. Значит, уравнение имеет только один корень. Ответ: 2.
Подбор корней Теорема1: Если целое число m является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то свободный член многочлена делится на m . Теорема 2: Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не имеет дробных корней. Теорема 3: Пусть – уравнение с целыми коэффициентами. где p и q – целые числа несократима, является корнем уравнения, то p есть делитель свободного члена a n , а q – делитель коэффициента при старшем члене a 0 . Если число и дробь
Теорема Безу. Остаток при делении любого многочлена на двучлен ( x – a ) равен значению делимого многочлена при x = a . Следствия теоремы Безу Разность одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на разность этих же чисел; Разность одинаковых четных степеней двух чисел делится без остатка как на разность этих чисел, так и на их сумму; Разность одинаковых нечетных степеней двух чисел не делится на сумму этих чисел; Сумма одинаковых степеней двух не чисел делится на разность этих чисел; Сумма одинаковых нечетных степеней двух чисел делится без остатка на сумму этих чисел; Сумма одинаковых четных степеней двух чисел не делится как на разность этих чисел, так и на их сумму; Многочлен делится нацело на двучлен ( x – a ) тогда и только тогда, когда число a является корнем данного многочлена; Число различных корней многочлена, отличного от нуля, не более чем его степень.
Решить уравнение x ³ – 5x² – x + 21 = 0 Многочлен x ³ – 5x² – x + 21 имеет целые коэффициенты. По теореме 1 его целые корни, если они есть, находятся среди делителей свободного члена: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21. Проверкой убеждаемся в том, что число 3 является корнем. По следствию из теоремы Безу многочлен делится на ( x – 3). Таким образом, x³– 5x² – x + 21 = (x – 3)(x²– 2x – 7) . Ответ:
Решить уравнение 2 x ³ – 5x² – x + 1 = 0 По теореме 1 целыми корнями уравнения могут быть только числа ± 1. Проверка показывает, что данные числа не являются корнями. Так как уравнение не является приведенным, то оно может иметь дробные рациональные корни. Найдем их. Для этого умножим обе части уравнения на 4: 8 x³ – 20x² – 4x + 4 = 0 Сделав подстановку 2 x = t , получим t³ – 5t² – 2t + 4 = 0 . По тереме 2 все рациональные корни данного приведенного уравнения должны быть целыми. Их можно найти среди делителей свободного члена: ± 1, ± 2, ± 4. В данном случае подходит t = – 1. Следовательно По следствию из теоремы Безу многочлен 2 x ³ – 5x² – x + 1 делится на ( x + 0,5): 2 x ³ – 5x² – x + 1 = ( x + 0,5)(2x² – 6x + 2) Решив квадратное уравнение 2 x² – 6x + 2 = 0 , находим остальные корни: Ответ:
Решить уравнение 6x ³ + x² – 11x – 6 = 0 По теореме 3 рациональные корни этого уравнения следует искать среди чисел Подставляя их поочередно в уравнение, найдем, что уравнению. Ими и исчерпываются все корни уравнения. Ответ: удовлетворяют
Формулы Виета. Для корней имеют место формулы : уравнения
Найти сумму квадратов корней уравнения x ³ + 3 x² – 7x +1 = 0 По теореме Виета Заметим, что откуда
Укажите, каким методом можно решить каждое из данных уравнений. Решите уравнения № 1, 4, 14, 15, 17.
Ответы и указания: 1. Введение новой переменной. 2. Функционально – графический метод. 3. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x) . 4. Разложение на множители. 5. Подбор корней. 6 Функционально – графический метод. 7. Применение формул Виета. 8. Подбор корней. 9. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x) . 10. Введение новой переменной. 11. Разложение на множители. 12. Введение новой переменной. 13. Подбор корней. 14. Применение формул Виета. 15. Функционально – графический метод. 16. Разложение на множители. 17. Введение новой переменной. 18. Разложение на множители.
1. Указание. Запишите уравнение в виде 4( x ²+17x+60)(x+16x+60)=3x² , Разделите обе его части на x² . Введите переменную Ответ: x 1 = – 8; x 2 = – 7,5. 4. Указание. Прибавьте к левой части уравнения 6 y и – 6 y и запишите его в виде ( y³ – 2y²) + (– 3y² + 6y) + (– 8y + 16) = (y – 2)(y² – 3y – 8) . Ответ:
14. Указание. По теореме Виета Так как – целые числа, то корнями уравнения могут быть только числа –1, – 2, – 3. Ответ: 15. Ответ: –1. 17. Указание. Разделите обе части уравнения на x ² и з апишите его в виде Введите переменную Ответ: 1; 1,5; 2; 3.
Самостоятельная работа. Решите уравнения: Вариант 1. Вариант 2.
Ответы. Вариант 1. Вариант 2.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2012/05/09/picture-83932.jpg)
Способы решения уравнений высших степеней. 8 класс
Данную презентацию использую при решении уравнений высших степеней в 8 классе. Решать квадратные уравнения школьники научились по формулам, а если уравнение выше второй степени? Есть ли алгоритм...
![](/sites/default/files/pictures/2012/05/09/picture-83932.jpg)
Конспект урока. Тема: "Решение уравнений высших степеней" 8 класс
Полное описание урока. Как решать уравнения выше второго порядка? Есть ли алгоритм решения? На эти и другие вопросы отвечает данный материал....
![](/sites/default/files/pictures/2012/12/02/picture-155262-1354435359.jpg)
Урок-защита проектов "Решение уравнений высших степеней" 9 класс
Конспект урока по алгебре в 9 классе "Решение уравнений высших степеней", на котором учащиеся защищали свои проекты.Презентации учащихся: Решение биквадратных уравнений, Решение возвратных уравнений, ...
![](/sites/default/files/pictures/2021/02/23/picture-198183-1614093260.jpg)
Методы решения уравнений высших степеней
Проект урока по алгебре в 11 классе.Составлен по УМК А.Г. Мордковича....
Методы решения уравнений высших степеней.Схема Горнера.
Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера....
Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера
Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера...
Урок математики в 9 классе на тему "Способы решения уравнений высших степеней"
Данная тема является актуальной и важной при изучении математики, так как уравнения высших степеней составляют часть выпускных экзаменов, встречаются на вступительных экзаменах в вузы и являются неотъ...