Уравнения высших степеней и их решения
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10 класс)

Слайд 1

Уравнения высших степеней. Попова Н.Ф. МАОУ «Лицей №3 им. А. С. Пушкина»

Слайд 2

Методы решения уравнений: Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x) Разложение на множители. Введение новой переменной. Функционально – графический метод. Подбор корней. Применение формул Виета.

Слайд 3

Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x) . Метод можно применять только в том случае, когда y = h(x) – монотонная функция, которая каждое свое значение принимает по одному разу. Если функция немонотонная, то возможна потеря корней.

Слайд 4

Решить уравнение ( 3 x + 2 ) ²³ = (5x – 9) ²³ y = x ²³ возрастающая функция, поэтому от уравнения ( 3 x + 2 ) ²³ = (5x – 9) ²³ можно перейти к уравнению 3 x + 2 = 5x – 9 , откуда находим x = 5,5. Ответ: 5,5.

Слайд 5

Разложение на множители. Уравнение f(x)g(x)h(x) = 0 можно заменить совокупностью уравнений f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) = 0. Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.

Слайд 6

Решить уравнение x ³ – 7x + 6 = 0 Представив слагаемое 7x в виде x + 6x , получим последовательно: x ³ – x –6x + 6 = 0 x(x² – 1) – 6(x – 1) = 0 x(x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = 0 (x – 1)(x² + x – 6) = 0 Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений x –1 = 0 ; x² + x – 6 = 0 . Ответ: 1, 2, – 3.

Слайд 7

Введение новой переменной. Если уравнение y(x) = 0 удалось преобразовать к виду p(g(x)) = 0 , то нужно ввести новую переменную u = g(x) , решить уравнение p ( u ) = 0 , а затем решить совокупность уравнений g(x) = u 1 ; g(x) = u 2 ; … ; g(x) = u n , где u 1 , u 2 , … , u n – корни уравнения p(u) = 0 .

Слайд 8

Решить уравнение Особенностью этого уравнения является равенство коэффициентов его левой части, равноудаленных от ее концов. Такие уравнения называют возвратными. Поскольку 0 не является корнем данного уравнения, делением на x ² получаем

Слайд 9

Введем новую переменную Тогда Получаем квадратное уравнение Так как корень y 1 = – 1 можно не рассматривать. Получим Ответ: 2, 0,5.

Слайд 10

Решите уравнение 6 (x ² – 4)² + 5(x² – 4)(x² – 7x +12) + ( x² – 7x + 12)² = 0 Данное уравнение может быть решено как однородное. Поделим обе части уравнения на (x² – 7x +12)² (ясно, что значения x такие, что x² – 7x +1 2=0 решениями не являются). Теперь обозначим Имеем Отсюда Ответ:

Слайд 11

Функционально – графический метод. Если одна из функций у = f(x) , y = g(x) возрастает, а другая – убывает, то уравнение f(x) = g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень.

Слайд 12

Решить уравнение Достаточно очевидно, что x = 2 – корень уравнения. Докажем, что это единственный корень. Преобразуем уравнение к виду Замечаем, что функция возрастает, а функция убывает. Значит, уравнение имеет только один корень. Ответ: 2.

Слайд 13

Подбор корней Теорема1: Если целое число m является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то свободный член многочлена делится на m . Теорема 2: Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не имеет дробных корней. Теорема 3: Пусть – уравнение с целыми коэффициентами. где p и q – целые числа несократима, является корнем уравнения, то p есть делитель свободного члена a n , а q – делитель коэффициента при старшем члене a 0 . Если число и дробь

Слайд 14

Теорема Безу. Остаток при делении любого многочлена на двучлен ( x – a ) равен значению делимого многочлена при x = a . Следствия теоремы Безу Разность одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на разность этих же чисел; Разность одинаковых четных степеней двух чисел делится без остатка как на разность этих чисел, так и на их сумму; Разность одинаковых нечетных степеней двух чисел не делится на сумму этих чисел; Сумма одинаковых степеней двух не чисел делится на разность этих чисел; Сумма одинаковых нечетных степеней двух чисел делится без остатка на сумму этих чисел; Сумма одинаковых четных степеней двух чисел не делится как на разность этих чисел, так и на их сумму; Многочлен делится нацело на двучлен ( x – a ) тогда и только тогда, когда число a является корнем данного многочлена; Число различных корней многочлена, отличного от нуля, не более чем его степень.

Слайд 15

Решить уравнение x ³ – 5x² – x + 21 = 0 Многочлен x ³ – 5x² – x + 21 имеет целые коэффициенты. По теореме 1 его целые корни, если они есть, находятся среди делителей свободного члена: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21. Проверкой убеждаемся в том, что число 3 является корнем. По следствию из теоремы Безу многочлен делится на ( x – 3). Таким образом, x³– 5x² – x + 21 = (x – 3)(x²– 2x – 7) . Ответ:

Слайд 16

Решить уравнение 2 x ³ – 5x² – x + 1 = 0 По теореме 1 целыми корнями уравнения могут быть только числа ± 1. Проверка показывает, что данные числа не являются корнями. Так как уравнение не является приведенным, то оно может иметь дробные рациональные корни. Найдем их. Для этого умножим обе части уравнения на 4: 8 x³ – 20x² – 4x + 4 = 0 Сделав подстановку 2 x = t , получим t³ – 5t² – 2t + 4 = 0 . По тереме 2 все рациональные корни данного приведенного уравнения должны быть целыми. Их можно найти среди делителей свободного члена: ± 1, ± 2, ± 4. В данном случае подходит t = – 1. Следовательно По следствию из теоремы Безу многочлен 2 x ³ – 5x² – x + 1 делится на ( x + 0,5): 2 x ³ – 5x² – x + 1 = ( x + 0,5)(2x² – 6x + 2) Решив квадратное уравнение 2 x² – 6x + 2 = 0 , находим остальные корни: Ответ:

Слайд 17

Решить уравнение 6x ³ + x² – 11x – 6 = 0 По теореме 3 рациональные корни этого уравнения следует искать среди чисел Подставляя их поочередно в уравнение, найдем, что уравнению. Ими и исчерпываются все корни уравнения. Ответ: удовлетворяют

Слайд 18

Формулы Виета. Для корней имеют место формулы : уравнения

Слайд 19

Найти сумму квадратов корней уравнения x ³ + 3 x² – 7x +1 = 0 По теореме Виета Заметим, что откуда

Слайд 20

Укажите, каким методом можно решить каждое из данных уравнений. Решите уравнения № 1, 4, 14, 15, 17.

Слайд 21

Ответы и указания: 1. Введение новой переменной. 2. Функционально – графический метод. 3. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x) . 4. Разложение на множители. 5. Подбор корней. 6 Функционально – графический метод. 7. Применение формул Виета. 8. Подбор корней. 9. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x) . 10. Введение новой переменной. 11. Разложение на множители. 12. Введение новой переменной. 13. Подбор корней. 14. Применение формул Виета. 15. Функционально – графический метод. 16. Разложение на множители. 17. Введение новой переменной. 18. Разложение на множители.

Слайд 22

1. Указание. Запишите уравнение в виде 4( x ²+17x+60)(x+16x+60)=3x² , Разделите обе его части на x² . Введите переменную Ответ: x 1 = – 8; x 2 = – 7,5. 4. Указание. Прибавьте к левой части уравнения 6 y и – 6 y и запишите его в виде ( y³ – 2y²) + (– 3y² + 6y) + (– 8y + 16) = (y – 2)(y² – 3y – 8) . Ответ:

Слайд 23

14. Указание. По теореме Виета Так как – целые числа, то корнями уравнения могут быть только числа –1, – 2, – 3. Ответ: 15. Ответ: –1. 17. Указание. Разделите обе части уравнения на x ² и з апишите его в виде Введите переменную Ответ: 1; 1,5; 2; 3.

Слайд 24

Самостоятельная работа. Решите уравнения: Вариант 1. Вариант 2.

Слайд 25

Ответы. Вариант 1. Вариант 2.