Презентация и план-конспект урока "Показательная функция, ее свойства и график"
методическая разработка по алгебре (10 класс)

Отметим точки (0; 1), (1; 2), (-1,  ), (2, 4), (-2,  ), (3, 8), (-3,  ) на координатной плоскости. Они намечают некоторую линию – это график функции y = .

Свойства функции y =:

1. D(f) = (-∞, +∞) ;
2. Не является ни четной, ни нечетной;
3. Возрастает;
4. Не ограничена сверху, ограничена снизу;
5. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6. Непрерывна;
7. E(f) = (0; +∞);
8. Выпукла вниз;

Точно такими же свойствами обладает любая функция вида y = , где a > 1.

Рассмотрим теперь функцию y = , составим для нее таблицу значений:

Отметим точки (0; 1), (-1; 2), (1,  ), (-2, 4), (2,  ), (-3, 8), (3,  ) на координатной плоскости. Они намечают некоторую линию – это график функции y =  .

Свойства функции y =

1. D(f) = (-∞, +∞) ;
2. Не является ни четной, ни нечетной;
3. Убывает;
4. Не ограничена сверху, ограничена снизу;
5. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6. Непрерывна;
7. E(f) = (0; +∞);
8. Выпукла вниз;

Точно такими же свойствами обладает любая функция вида y = , 0 < a < 1.

Обратите внимание: графики функции y = и y = , т.е. y =, симметричны относительно оси у .

 Аналогично будут симметричны относительно оси у графики функций y = и y =  , y = и y = , y = и y =  и т.д.

Подводя итог сказанному, выделим наиболее  важные  свойства показательной функции.

Основные свойства показательной функции y = :

Кривую, которую представляет собой график показательной функции, называют экспонентой. Впрочем, экспонентой называю и саму показательную функцию y = . Так что термин «экспонента» используется в двух смыслах: и для наименования показательной функции, и для названия графика показательной функции.

Обратите внимание на геометрическую особенность графика показательной функции y = : ось х является горизонтальной асимптотой графика. Правда, обычно это утверждение уточняют следующим образом: ось х является горизонтальной асимптотой графика функции y =  при если а > 1 , и при х → +∞, если 0 < a < 1 .

 Сообщения студентов о связи показательных функций с экономическими, биологическими, физическими законами.

 Решение простейших показательных уравнений.

Решение простейших показательных уравнений основано на справедливости следующих утверждений:

1. Если а>1, то равенство at = as справедливо тогда и только тогда, когда t = s.

2. Если 0 <а<1, то равенство at = as справедливо тогда и только тогда, когда t = s.

Примеры:

а)  5x = 54 (ответ: 4);       б)  (ответ: -2);  

V. Обобщение и систематизация изучаемого материала.

Задания (устно):

Ответы:

1.

1) возрастающая;   2) возрастающая;    3) убывающая;    4) убывающая;

2.

1) -1;      2) 2;        3) – 0,5;

Задание.

1.Стр. 130, учебник Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Ч.2. – 10-е изд. – М.: Мнемозина, 2009.

№39.8, №39.9, №39.10

2.Стр. 132,учебник Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Ч.2. – 10-е изд. – М.: Мнемозина, 2009.

№39.24 (а, в), №39.25 (а, в)

3.Стр.133, Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Ч.2. – 10-е изд. – М.: Мнемозина, 2009.

№39.36

Ответы: № 39.8

а)  2;   б) -1;   в) 3;   г) -4;

№ 39.9

а)  0,5;   б) -4;    в)  ;    г) 2;

№39.10

а) ;   б) 1;    в) -1,5;    г)  ;

№39.24

а) y наим.= 2; y наиб. = 16;    в) y наим.= ; y наиб.=1;

№ 39.25

а) y наим. не существует, y наиб. = 4;     в) y наим.=1, y наиб. не существует;

№ 39.36

а) f(-3) = -8;  f(-2,5) = -6,5; f(0) = 1; f(2) = 4; f(3,5) = ;

VI. Сообщение домашнего задания

Учебник "Алгебра и начала математического анализа 10-11" (авт. Ш.А. Алимов и др.) §11, 12, № 197(2,3), 201(1,2), 208(2,3), 209(2,3).

VII. Подведение итогов работы на уроке, оценка деятельности студентов.