Учебно- методическая разработка "Пределы"
учебно-методическое пособие по алгебре

РАЗДАТОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Задача 1. Доказать, что используя

1) первое определение предела функции;

2) второе определение предела функции.

Задача 2. Вычислить пределы функции:

1);   2);   3) .

Задача 3. Вычислить пределы функции:

   при  ;      при   .

Задача 4. Вычислить пределы функции:

1) ;   2) ;   3).

Задача 5. Вычислить  предел функции:

   при   .

Приложение 2

УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Задача 1. Доказать, что используя

1) первое определение предела функции;

2) второе определение предела функции.

Решение.

1. Пусть – произвольная последовательность, сходящаяся к . Тогда в соответствии со свойствами пределов последовательностей:

.

Так как  для любой последовательности , сходящейся к точке , то по первому определению предела функции это как раз и означает, что .

2. Зафиксируем произвольное . Требуется по этому найти такое,

чтобы из условия , , т.е. из  вытекало бы неравенство, т.е. .

Последнее неравенство приводится к виду , т.е. .

Отсюда следует, что если взять , то неравенство будет автоматически влечь за собой неравенство (это значит, что для всех , для которых верно первое неравенство, будет верно и второе).

В соответствии со вторым определением предела функции это означает, что

.

Задача 2. Вычислить пределы функции:

1);   2);   3) .

Решение.

Задача 3. Вычислить пределы функции:

   при  ;      при   .

Решение.

  при  ;

;   .

   при   ;

;   .

Задача 4. Вычислить пределы функции:

1) ;   2) ;   3).

Решение.

Задача 5. Вычислить  предел функции:

   при   .

Решение.

   при   ;

;   .

Приложение 1

РАЗДАТОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Задача 1. Вычислить предел функции, используя замечательный предел:

1) ;   2) ;   3) .

Задача 2. Вычислить предел функции, используя замечательный предел:

1) ;   2) ;   3) .

Задача 3. Заменяя бесконечно малые эквивалентными, найти пределы:

;   ;   ;   ;

;   ;   .

Приложение 2

УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Задача 1. Вычислить предел функции, используя замечательный предел:

1) ;   2) ;   3) .

Решение.

;

Задача 2. Вычислить предел функции, используя замечательный предел:

1) ; 2) ; 3) .

Решение.

Задача 3. Заменяя бесконечно малые, эквивалентными, найти пределы:

;   ;   ;   ;   ; ;   .

Решение.

;

.

Дополнительные задачи

1. Вычислить предел функции, используя замечательный предел:

2. Заменяя бесконечно малые, эквивалентными, найти пределы:

3. Вычислить предел функции:

Вариант 1

Вычислите пределы функций:

1) ;                4) ;

2) ;                        5) .

3) ;                                        

Вариант 2

Вычислите пределы функций:

1) ;                        4)         ;                

2) ;                                        5) .

3) ;                                                

Задания для практической работы

Вариант 1

Вычислите пределы функций:

1) ;                                4) ;

2) ;                                5) ;

3) ;                                6) .

Вариант 2

Вычислите пределы функций:

1) ;                                4) ;                

2) ;                                5)  ;                                

3) ;                                6) .

Тема: Вычисление пределов функций, используя теоремы о пределах.

Задания для практической работы

Вариант 1

Вычислите пределы, используя теоремы о пределах

                                4.

                                5.

3.

Вариант 2

Вычислите пределы, используя теоремы о пределах

1.                         4.

2.                                 5.

3.  

Тема:Вычисление пределов функций, используя способы раскрытия неопределённостей.

Задания для практической работы

Вариант 1

Вычислите пределы, раскрывая неопределенности

1.                 3.
2.                 4.

Вариант 2

Вычислите пределы, раскрывая неопределенности

1.                 3.
2.                 4.  

Тема: Вычисление пределов с помощью замечательных пределов, использование свойств пределов.

Задание для практической работы

Вариант 1

Вычислите пределы функций

Вариант 2

Вычислите пределы функций

Тема: Раскрытие неопределенностей и нахождение пределов.

Задания для практической работы

Вариант 1

Вычислите пределы функций

4. -)

Вариант 2

Вычислите пределы функций

5. - х)

Тема: Вычисление односторонних пределов, классификация точек разрыва.

Задания для практической работы

Вариант 1

1. Вычислите левый и правый пределы функции y = f(x)  при х →а, если: a)f(x) = соsx, a = ;б) f(x) = , а = 2.
2. Найдите точки разрыва и их вид для функции у =.

3. Найдите точки разрыва и их вид для функции

Вариант 2

1. Вычислите левый и правый пределы функции y = f(x)  при х →а, если: a) f(x) = sinx, a = π;б) f(x) =  , а = 0.

2. Найдите точки разрыва и их вид для функции у = .

3. Найдите точки разрыва и их вид для функции  у =