Решение дивергентных задач на уроках математики
статья по алгебре (6, 7 класс)

Решение дивергентных задач на уроках математики.

Макарова Татьяна Владимировна,

учитель математики, ГБОУ СОШ №297,

г. Санкт-Петербург, РФ

В последнее время в психолого-педагогической литературе поднимается вопрос о необходимости более внимательного отношения к проблеме дивергентного мышления (А.И. Савенков, М.А. Холодная, Д.Б. Богоявленская и др.), так как оно, в отличие от конвергентного,  предполагает  в человеке способность к пониманию того, что имеется ряд задач (ситуаций), в которых требуется осознанный поиск нескольких способов решений (нахождения результатов), либо возможна вариативность полученных результатов решений.

Конвергентность  – сближение, свертывание, синтез свойств и психических процессов в ходе развития.

Дивергентность – повышение разнообразия в процессе психического развития [45].

Под задачами дивергентного типа понимаются задания по любой предметной направленности, которые допускают существование нескольких правильных ответов [].

     При традиционном обучении математике задачи дивергентного типа встречаются крайне редко, тогда как их эффективность  весьма высока. В процессе решения дивергентных задач происходит варьирование путей решения проблемы, что позволяет порождать оригинальные идеи в нерегламентированных условиях и это приводит к неожиданным выводам и результатам. Кроме того, дивергентность активизирует способность оценивать, сравнивать, строить гипотезы, анализировать и классифицировать полученный материал и выступает основой толерантности, поскольку способность давать большое количество ответов на один и тот же вопрос, дает способность терпимо относиться к многообразию точек зрения других людей. 

Рассмотрим методику формирования умения общаться в процессе решения сюжетных задач, согласно модели, представленной в п 1.3 и дополненной в п 2.1 основными умениями и навыками, формирующихся у учащихся 7-9 классов в процессе обучения математике.

Задача 1 . Сюжетная задача дивергентного типа [].

Три черепахи A, B и С ползут по дороге:

« Я ползу первой»,– с гордостью заявляет А.

«Слава Богу, я не последняя»,– утверждает В.

«Главное, что я обогнала А»,– размышляет С.

Как вы можете такое объяснить?

Предполагаемая схема коммуникации:

                                       Учитель– группа учащихся

Распишем методику формирования умения общаться у учащихся 7-9 классов на 1 этапе реализации модели:

СЮЖЕТ            УСЛОВИЕ          МОДЕЛЬ

1. Обмен информацией   с учителем в процессе анализа сюжета.
2. Перевод условия задачи на другой язык (схема, чертеж).
3. Аргументированное представление своего чертежа и обоснованная критика решений участников группы.
4. Проверка учителем понимания условия задачи.
5. Учет разных мнений и понимание возможности разных интерпретаций  одного и того же условия задачи.

Распишем методику формирования умения общаться в процессе решения задачи №1 на этом же этапе   с точки зрения использования другой схемы коммуникации :

Учитель– ученик–группа учащихся

1. Обмен информацией по уточнению сюжета между участниками группы
2. Перевод условия задачи на другой язык (схема, чертеж).
3. Аргументированное представление руководителю группы своего чертежа и обоснованная критика решений участников группы.
4. Взаимная проверка  участниками группы понимания условия задачи
5. Учет разных мнений и понимание возможности разных интерпретаций  одного и того же условия задачи.

Решение задачи № 1:

С одной стороны, эту задачу можно отнести к типу задач с неполным условием, так как не указано направление движения черепах. С другой стороны, в этом и состоит смысл этой задачи, так как в ходе обсуждения учащиеся приходят к различным решениям. Рассмотрим некоторые из них (рис. 10,11):

1.                          С            В                    А                      

                                                                                                                  Рис. 10

Согласно представленной схеме (рис. 10) черепаха А идет первой, черепаха В идет не последней, а черепаха С, достигнув определенного места, повернула обратно, обогнав и черепаху А, и черепаху В.

2. Возможен другой вариант решения: так как в условии не указано, каким именно должен путь перемещения, то возможно, что черепахи  движутся по окружности (рис. 11):

                                           Рис. 11

Задача 2. Сюжетная задача конвергентного типа [].

Если  пассажир в городе А сядет в поезд, то он приедет в город В через 20 часов. Если же он полетит на самолете ( а ждать придется более 5 часов), то он доберется до города В через 10 часов (включая время ожидания). Во сколько раз скорость самолета превышает скорость поезда, если известно, что самолет догоняет поезд через 8/9 часа после вылета (самолет летит над линией железной дороги)?

Распишем методику формирования умения общаться на 3 и4 этапах модели:

 ВНУТРИМОДЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ               ОТВЕ

ОТВЕТ              СЮЖЕТ            УСЛОВИЕ

Предполагаемая схема коммуникации: учитель– группа учащихся

В результате решения этой задачи в ответе получаются два значения х1=10; х2=9/4, один из которых, согласно условию задачи, не подходит. Задача учителя состоит в том, чтобы учащиеся выбрали верный ответ.

3.1  Интерпретация полученных результатов

3.2  Учет разных мнений и понимание возможности разных интерпретаций  одного и того же ответа

3.2  Проверка понимания  у учащихся  учителем  полученных результатов

3.3 Анализ учащимися собственных ошибок (если они имеются)

4.1 Оценивание  учителем правильности выбранного ответа, согласно условию задачи

4.2  Приведение учащимися примеров задач, по моделируемой ситуации похожих на данную (например, на работу).

Задача 4  Сюжетная задачи дивергентного типа .

Два туриста хотят добраться до селения, находящегося от них на расстоянии 30 км. Как им можно организовать движение, чтобы им обоим одновременно как можно быстрее добраться до места назначения? У них есть только 1 одноместный велосипед. Скорость пешехода 5 км/ч, а скорость велосипеда 15 км/ч.

Возможная схема коммуникации: учитель– группа учащихся

Распишем действия учащихся, направленных на формирование умения общаться на 1 и 3 этапах реализации модели:

1. Обмен информацией по уточнению сюжета задачи.
2. Обмен знаниями по характеру процессов движения (равномерное, неравномерное)
3. Обмен формулами, описывающими процессы, представленные в сюжете задачи.
4. Перевод условия задачи на другой язык (схема, чертеж).
5. Аргументированное представление своего чертежа и обоснованная критика решений участников группы;
6. Обсуждение идей и возможных способов решения задачи.

3.1Интерпретация полученных результатов.

2. Приведение примеров аналогичных ситуаций из жизни, описанных в сюжете задачи.

Решение:

В результате первичного анализа содержания текста первоначальной задачи ученики должны прийти к следующим выводам:

1. Чтобы добраться одновременно и как можно быстрее до пункта назначения оба туриста должны двигаться пешком и на велосипеде одинаковые промежутки времени, так как в противном случае один доберется быстрее, чем другой;
2. одну половину пути велосипедом должен пользоваться один турист. А вторую половину– другой.

Итогом этого обсуждения, как правило, становится схематический чертеж (рис. 11)

Пунктиром отмечен путь туриста на велосипеде, сплошной линией – путь туриста пешком.

                                                                                                                                Рис. 11

Первое  возможное решение: Первый турист едет на велосипеде и оставляет его на полпути, а затем продолжает движение пешком, а второй через три часа доходит до велосипеда, берет его и продолжает движение. В результате оба туриста прибывают одновременно в пункт назначения через 4 часа.

Дальнейшее обсуждение приводит к нахождению детьми и других решений с использованием графических моделей.

Второе решение: Туристы чередуются на каждом участке пути и в пункт назначения прибывают одновременно через 4 часа после начала движения (рис. 12, 13).

                                                                                                                     Рис. 12

                                                                                                                     Рис. 13

Список литературы

1 Утёмов В. В. К вопросу формирования инновационного мышления учащихся   общеобразовательной школы посредством решения задач открытого типа // Вестник ВятГГУ №2(3) 2010 г. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2010. С. 31-34.

2. Дрязгунов, К. В. Формирование дивергентного мышления учителей в системе повышения квалификации / К. В. Дрязгунов. Дис. уч. ст. канд. педаг. н. Калуга. 2002. 142 с.