Формулы сокращенного умножения
учебно-методический материал по алгебре (7 класс)

Еще Евклид знал прием возведения в квадрат суммы двух слагаемых. Но почему только двух? И почему только в квадрат? Может быть, можно найти прием возведения в 3, 4 и более высокие степени суммы трех, четырех и более чисел? Мы можем увеличить число слагаемых при возведении в квадрат выражения (a + b + c)2. Каким будет результат? Предположим, что он выглядит так:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Геометрически доказательство может выглядеть так:

Упражнение. Найдите квадрат суммы следующих чисел:

1. (a – x + y)2;
2. (a – b – c)2.

Обобщая наше утверждение, можно записать:

(a + b + c + … + k + 1)2 = a2 + b2 + c2 + … + 12 + 2ab + 2ac + … + 2kl

А как это доказать? Вероятно, на помощь придет опять такая же геометрическая картинка.

Треугольник Паскаля. Щедро одаренный от природы французский философ, писатель, физик, математик Блез Паскаль (1623–1662 гг.), современник Декарта и Ферма, изобрел первую счетную машину и сделал многое в области математики, которая называется комбинаторикой.

Рассмотрим двучлены:

(a + b)0 = 1

(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

и т. д.

Составим таблицу из этих коэффициентов:

Замечаем закон образования коэффициентов, которые образуются путем сложения двух находящихся выше в треугольнике коэффициентов.

Вариации числа 100. Теперь сыграем в игру, которую можно назвать вариациями числа. Придумаем комбинацию числа 100:

100 = 50 + 50,

100 = 38 + 62.

А теперь поизящнее:

100 = 99 + ,

100 = 101 – .

Но ведь число 100 – это еще и такие замечательные представления:

100 = (1 + 2 + 3 +4)2

100 = 13 + 23 +33 +43

Упражнение. Изменив положение одной цифры, добейтесь, чтобы равенство 102 = 100 было верным.

Ответ: 102 = 100

Приведем варианты некоторых формул:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

a2 – b2 = (a – b)(a + b)

a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab

a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab

a2 = (a – b)(a + b) + b2

Приближенные и устные вычисления. Такие формулы применяются:

1. При приближенных вычислениях: (1 + а)2 ≈ 1 + 2а;
2. Устном счете: a2 = a2 – b2 + b2 = (a – b)(a + b) + b2

Рассмотрим несколько примеров.

1. 9862. Круглое число 1000.

а = 986, b = 14, a + b = 1000, a – b = 972

9862 = 972 000 + 142 = 972 196

2. 4882.

a = 488, b = 12, a + b = 500, a – b = 476

4882 = 500 * 476 + 122 = 1000 * 238 + 144 = 238 144

3. (10x + 5)2 = 100x * (x + 1) + 25

1952 = 1900 * 20 + 25 = 38 025

Вы обратили внимание, как внимательно надо применять формулы?

Заключение. На этом уроке мы прошли путь небольшого научного исследования, которое состояло из следующих этапов:

1. Встреча с упражнениями, при выполнении которых возникала необходимость использования формул.
2. Формулировка гипотезы и проверка ее для различных частных случаев.
3. Обоснование для общего случая.
4. Оформление результатов.

Когда греков завоевали римляне, развитие математики надолго остановилось. На целую тысячу лет! Возродили математику арабы. Когда-то очень давно жил выдающийся арабский поэт-математик Омар Хайям:

…Мне мудрость не чужда была земная,

Разгадки тайн ища, не ведал сна я.

За семьдесят перевалило мне,

Что ж я узнал? –

Что ничего не знаю.