Урок по теме: «Квадратные уравнения: методы решения »
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Шатковская основная школа»

Урок проект

Тема «Квадратные уравнения: методы решения »

                                                    Класс: 8

                                               Провела: Кадяева Е.М.

Р.п.Шатки

2022год

«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».

                                                                                                            С.Коваль

Проект - это вид учебной деятельности, направленный на решение конкретной учебно - познавательной проблемы с заранее запланированным результатом.

Проблема: есть ли способы решения квадратных уравнений, которые мы не изучаем в школьном курсе математики.

План урока

1. Теоретическая разминка.

2. Энциклопедия квадратных уравнений.

      3. Историческая справка.

4. Копилка ценных мыслей.

5.Рефлексия

6. Домашнее задание.

Цели урока:

-Повторение и обобщение;

-Систематизация;

      -Знакомство с новыми способами решения;

-Работа в группах;

-Результат работы группы - презентация .                                                  Вопросы теоретической разминки.

1. Сформулируйте определение квадратного уравнения.

2. Объясните, в чём заключается смысл ограничения в определении квадратного уравнения а≠0.

3. Перечислите виды квадратных уравнений.

4. Какое квадратное уравнение называется неполным?

5. Какое квадратное уравнение называется приведённым?

6. Способы решения полного квадратного уравнения.

Энциклопедия квадратных уравнений

(Обучающиеся в группах готовят различные методы.                  Проектный продукт-презентация)

ОБЩИЕ МЕТОДЫ: Введение новой переменной

1. в уравнении какая-то его часть заменяется другой переменной (a,y,t,...) 

    (прежнее неизвестное одновременно с новым в уравнении быть не может);

  2. решается новое уравнение;

  3. возвращаются к обозначенному и, используя полученное число (корни), вычисляется требуемое неизвестное.

Пример: Реши уравнение (2x−21) ²−5(2x−21)+4=0.

Обозначаем 2x−21=y. Получается простое квадратное уравнение:

 y²−5y+4=0 по теореме Виета  y=4, y=1

Возвращаемся к обозначенному:

 1) 2x−21=4                                                                                                            2x=25

    x=12,5

2) 2x−21=1

    2x=22

     x=11

Ответ:  х=12,5;x=11

Общий метод: Разложение на множители

При решении квадратных уравнений часто применяется метод разложения на множители (с помощью вынесения за скобки общего множителя, формул сокращенного умножения, способа группировки).

Решим уравнение х2 - 2х - 8 = 0. Разложим левую часть на множители:

х2 - 2х - 8 =0;  х2 - 4х +2х -8 =0;                            х(х -4 ) + 2(х -4) =0; (х + 2)(х -4) =0 

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 2)(х -4)=0. 

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = -2, а также при х = 4. Это означает, что число - 2 и 4 являются корнями уравнения х2 - 2х - 8 = 0.

Пример: 4х2 +5х+1=0

4х2 +4х+х+1=0

(4х2 +4х)+(х+1)=0

4х(х+1)+(х+1)=0

(х+1)(4х+1)=0

х+1=0    или    4х+1=0

х=-1                   4х=-1

                           х= -1/4

                           х=-0,25

Ответ: -0,25; -1.

Специальный метод с использованием теорем

Теорема 1: Если в квадратном уравнении: а+в+с=0,то один из корней 1, а другой по теореме Виета: с/а.

Пример:  137х2 +20х-157=0                                                                а=137,в=20,с=-157                                                                                               Найдём сумму коэффициентов                                                               а+в+с=137+20-157=0,то х1=1,х2=-157/13

Теорема 2: Если в квадратном уравнении а+с=в, один из корней равен -1, а другой –с/а

Пример:

200х2+210х+10=0

а=200, в=210, с=10

а+с=200+10=210=в, то

Х1=-1, х2=-10/200=-50/1000=-0,05

Специальный метод: Метод «переброски» старшего коэффициента

Решение квадратных уравнений
методом выделения полного квадрата двучлена

Метод выделения полного квадрата двучлена – распространенный метод решения квадратных уравнений.

Рассмотрим пример. Решим квадратное уравнение

x2 + 6x - 16 = 0.

Во-первых, проведем некоторые предварительные действия перед тем, как приступать непосредственно к решению, чтобы было потом легче считать.

Второй коэффициент уравнения, стоящий при x, по модулю равен 6. Разделим 6 пополам (на 2), затем результат разделим на квадратный корень из первого коэффициента a, (т.е. на корень из 1, равный 1):

6 : 2 : 1 = 3

Поскольку в результате получилось целое число 3, то уравнение НЕ нуждается в домножении на учетверенный первый коэффициент (если бы получилось дробное число, уравнение лучше домножить, чтобы избежать громоздких вычислений с дробями).

Далее нужно перенести число, не содержащее х, в правую часть уравнения (при переносе оно поменяет знак на противоположный):

x2 + 6x =  16

Теперь нужно прибавить к обеим частям уравнения квадрат числа, которое равно половине второго коэффициента (6), деленного на квадратный корень из первого (1). 6 : 2 : 1 = 3, поэтому прибавить надо 32 = 9. Получим следующее выражение:

x2 + 6x + 9 =  16 + 9

Затем нужно просто свернуть выражение в левой части по формуле квадрата суммы (на этом шаге обязательно должно получиться сворачиваемое выражение):

(x + 3)2 = 25,
т.к. x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 

Извлекаем корень из обеих частей. Получаем  два уравнения: х+3=5 и х+3=-5    Каждое решаем. Получили два корня: х=2 и х = -8.      

Пример: х2 +4х-12=0

(х2+4х+4)=12+4

(х+2)2 =16

х+2=4         х+2=-4

х=4-2          х=-4-2

х=2              х=-6

Ответ: х=2;х=-6.

Результаты заносили в оценочный лист: «Карта проектной деятельности»

Квадратные уравнения: методы решения.
 Историческая справка.

Первый кто ввел квадратные уравнения это был Христиан фон Вольф.

Пристли Джозеф ввел термин ,,дискриминант”

Также квадратными уравнениями занимались Виет, Ньютон.

Копилка ценных мыслей

Каждому уравнению в соответствие поставить способ решения.

Методы решения:

1)в,с=0, ах2=0.

2)с=0, ах2+вх=0.

3)в=0, ах2+с=0.

4)в-нечётное, ах2+вх+с=0.

5)в-чётное, ах2+вх+с=0.

6)Теорема, обратная теореме Виета.                                                           7)Метод выделения полного квадрата двучлена.                                            8)Метод «переброски» старшего коэффициента.                                           9)На основании теорем.                                                                              10)Метод разложения на множители.                                                        11)Метод введения новой переменной.

Рефлексия                

     Синквейн

1строчка - одно существительное                                                                           2 строчка - два прилагательных                                                                                    3 строчка - три глагола                                                                                               4 строчка – фраза, несущая определённый смысл                                                     5 строчка – существительное ( ассоциация с первым словом)

Пример синквейн  

  Уравнение                                                                                                                Полное, неполное                                                                                                    Решить, выучить, запомнить                                                                                    расширяет мои знания                                                                                                     методы

Домашнее задание:       Решить уравнение 3х2+5х+2=0

1)используя формулу дискриминанта, корней – «3»;                                                       2)двумя способами – «4»;                                                                                   3)тремя способами – «5».

Дополнительно.

Решить уравнение (х2-х)2-14(х2-х)+24=0 методом введения новой переменной.