Конспект урока алгебры дл я10 класса по теме "Иррациональные уравнения" с презентацией к уроку.
методическая разработка по алгебре (10 класс)

Урок 4.4.1 Иррациональные уравнения

План урока

1. Определение иррационального уравнения.
2. Виды иррациональных уравнений.
3. Методы решения иррациональных уравнений.
4. Задачи.
5. Итоги урока.

1. Определение иррационального уравнения

Определение. Иррациональное уравнение – это уравнение, в котором неизвестное находится под знаком корня.

Свойство. При возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.

2. Виды иррациональных уравнений

Рассмотрим виды иррациональных уравнений.

В этом случае мы можем воспользоваться определением квадратного корня. Так как в левой части уравнения находится квадратный корень, принимающий только неотрицательные значения, то и в правой части уравнения должно находиться неотрицательное число

Из этого следует, что a ≥ 0, тогда . Возведем обе части уравнения в квадрат.

Для нашего случая получим:  или

Задача №1. Решить уравнение:

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат. Получим: .

Ответ: .

Мы знаем, что сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю, т.е. .

Задача №2. Решить уравнение: .

Решение:

Система не имеет решений.

Ответ: нет корней.

По определению квадратного корня f(x) ≥ 0. Таким образом, необходимо найти такие значения неизвестной, при которых выполняются следующие условия:

Задача №3. Решить уравнение: .

Решение:

Область определения уравнения ; х .

Возведем в квадрат: 4+x=2x-1, отсюда: x=5.

Ответ: 5.

Задача №4. Выберите группу чисел, являющихся корнями данного уравнения: :

1. 0; 1
2. -1; 0; 1
3. -1; 0

Решение:

Решим данное уравнение.

Получаем три корня из последнего уравнения: -1; 0; 1.

Ответ: 2.

3. Методы решения иррациональных уравнений

Рассмотрим основные методы решения иррациональных уравнений на примерах.

1. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Задача №5. Решить уравнение:  (1)

Решение:

Возведем в квадрат обе части уравнения, получим:  (2), которое не будет равносильно исходному уравнению, потому что у этого уравнения два корня , , а у первоначального уравнения только один корень . Рассмотрим области определения обоих уравнений. У уравнения (1) область определения уравнения у уравнения (2) область определения уравнения R. Однако найденные корни неотрицательны, почему же один из них посторонний?

Обратимся к самому первому виду рассмотренного сегодня уравнения . Рассматривая этот пример, мы говорили о том, что правая часть такого уравнения должна быть неотрицательной по смыслу. Значит, и в данном примере нужно было бы потребовать, чтобы  (однако не нужно включать это условие в область определения уравнения – это грубая ошибка!). Из этого условия следует, что  и поэтому посторонний корень.

Ответ: 4.

Задача №6. Решить уравнение: .

Решение:

Рассмотрим область определения функций:

Но  не входит в область определения функций, следовательно, корней нет.

Ответ: корней нет.

2. Метод уединения корня

Задача №7. Решить уравнение: .

Решение:

Заметим, что если мы будем возводить обе части уравнения в квадрат, то нам не удастся избавиться от корня. Поэтому поступим иначе: перенесём 12 в правую часть, получим: . Область определения уравнения . Дополнительное условие:  Возведем обе части в квадрат.

С учетом дополнительного условия  – посторонний корень.

Ответ: 16.

3. Метод замены переменной

Задача №8. Решить уравнение: .

Решение:

Область определения уравнения  

В данном случае уединить корень не получится, а при возведении в квадрат с первого раза не удастся избавиться от корня. Введем новую переменную: пусть  (, тогда ;  Преобразуем наше уравнение:  Раскроем скобки правой части и уединим корень: . Очевидно, что при  правая часть уравнения отрицательна. Данное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Задача №9. Решить уравнение: .

Решение:

Область определения уравнения  

. Получаем: .

Уединим корень: . Введем дополнительное условие . Возводим в квадрат:

Обратная замена: , откуда .

Ответ:3.

4. Метод двойного возведения в квадрат

Задача №10. Решить уравнение:.

Решение:

Область определения уравнения [-4; 0,5].

Перенесем второй корень в правую часть: . Обе части уравнения неотрицательны, возводим в квадрат. .

Уединим корень: .

Поделим обе части на 2: .

Введем дополнительное условие:

, .

Возведем обе части в квадрат:

 – посторонний корень (по дополнительному условию).

Ответ: - 4.

4. Задачи

Несколько поучительных примеров.

Задача №11. Решить уравнение: .

Решение:

Область определения уравнения  Система несовместна.

Ответ: нет корней.

Задача №12. Решить уравнение: .

Решение:

Сумма двух неотрицательных чисел не может быть отрицательной.

Ответ: нет корней.

Задача №13. Решить уравнение: .

Решение:

Область определения уравнения  Область определения уравнения x=5. Проверим, является ли х=5 корнем уравнения.  + (неверное равенство).

Ответ: нет корней.

Задача №14. Решить уравнение: .

Решение:

Область определения уравнения , . Проверим, является ли х=3 корнем уравнения:  (верное равенство).

Ответ: 3.

5. Итоги урока

Сегодня мы с Вами познакомились с иррациональными уравнениями и основными способами их решения. Последние примеры показывают нам, насколько важным является написание области определения уравнения. При решении иррациональных уравнений необходимо либо следить за равносильностью преобразований, либо в конце решения необходимо обязательно делать проверку.