урок алгебры на тему "Геометрический смысл производной"
методическая разработка по алгебре (10, 11 класс)

Урок в 11 классе «Геометрический смысл производной»

Цель урока: систематизировать и обобщить понятие производной и геометрического смысла производной

Задачи урока:

1. воспитательные: формировать адекватную самооценку у обучающихся, толерантное отношение к окружающим;

2. обучающие: повторить понятие производной, геометрический и физический смысл производной;

показать обучающимся, каким образом, связана производная с касательной функции;

3. развивающие: умение обобщать, делать выводы, давать аргументированный ответ;

Основные понятия: производная, касательная, физический и геометрический смысл.

Планируемые результаты:

Предметные: систематизировать знакомый материал, делать логические выводы, отстаивать свою точку зрения; формировать адекватную самооценку у обучающихся, толерантное отношение к окружающим;

Личностные:  проявлять заинтересованность не только в личном успехе, но и в решении проблемных заданий всей группой; выражать положительное отношение, вырабатывать свою жизненную позицию в отношении мира, людей, самого себя, своего будущего.
Метапредметные: умение организовать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками, работать индивидуально, в паре и коллективно, способствовать развитию познавательных интересов.

УУД:

Познавательные: раскрыть геометрический смысл производной, характер; поиск и отбор необходимой информации, ее структурирование, умение ориентироваться в разнообразии способов решения познавательных  задач; умение находить в источнике главное, анализировать и делать выводы

Коммуникативные УУД: правильно выражать свои мысли в речи, уважать в общении сотрудничества партнера и самого себя, умение слышать и слушать партнера, контролировать действия партнера, оказывать в сотрудничестве необходимую помощь, умение точно выражать свои мысли; 

Регулятивные УУД:  умение работать в паре, выдвигать версии, выбирать средства достижения цели при работе, умение обобщать, делать выводы, давать аргументированный ответ;

Личностные: осознавать мотивацию учения, вырабатывать собственные мировоззренческие позиции, оценивать свои и чужие поступки в однозначных и неоднозначных ситуациях (в т.ч. учебных), опираясь на общечеловеческие нравственные ценности, получение учащимися опыта индивидуальной  работы, навыков самоанализа своей деятельности

Этапы урока:

I. Организационный этап.

II. Мотивация  деятельности, постановка учебной задачи.

III. Актуализация опорных знаний.

IV. Закрепление и обобщение знаний по теме.

V. Подведение итогов урока.

VI Домашнее задание

VII. Рефлексия.

I. Организационный этап.

-Выдающийся французский философ, физик, математик Блез Паскаль утверждал «Величие человека в его способностях мыслить»

Сегодня мы попытаемся почувствовать себя великими людьми. Я верю, что сегодня мы хорошо поработаем, интересно и с пользой проведем наш урок.

Через несколько месяцев нам сдавать экзамен по математике, и сегодня на уроке мы с вами повторим, закрепим и обобщим.

И для вас, мои дорогие выпускники, этот урок станет еще одной подготовкой к сдаче экзамена.

II. Мотивация  деятельности, постановка учебной задачи

Эмоционально-психологический настрой:

Для начала давайте мы вместе настроимся на нашу совместную работу. Улыбнемся друг другу и скажем себе: Я знаю! Я умею! Я решу!

И вот с таким настроем начинаем урок.

Мотивация урока:

В начале 10 класса мы рассматривали функцию по ее графику, затем рассмотрели исследование функции по ее формуле. С помощью чего мы находили монотонность функции, наибольшее и наименьшее значения функции, точки экстремума?(ответы учащихся)

Давайте вспомним, что изучили по производной (определение, правила и т.д)

Сегодня вспомним и отработаем навыки и умения по теме «Геометрический смысл производной», которая встречается в заданиях КИМ  профильной и базовой математики.

Например, вот такие задания (сл.4)

Закрепим тему решением ключевых или опорных задач, проверим усвоение техники нахождения производной, рассмотрим связь уравнения касательной с производной функции.

Работаем в темпе, оцениваем себя и в конце подведем итог своей работы.

Записали число, классная работа и тему урока(сл5)

III. Актуализация опорных знаний.

Фронтальный опрос

-Для успешного решения задач, вспомним и повторим основные понятия, формулы и правила:

1. Определение производной
2. Используя формулы и правила дифференцирования, найдите производные следующих функций (сл6)
3. Что такое тангенс острого угла? В каком треугольнике?
4. Найти tga; tgb, найти градусную меру углов А и В  (сл7)
5. В чем состоит геометрический смысл производной
6. Физический смысл производной?
7. (сл8) касательная наклонена под тупым углом к положительному направлению оси Ох. Что можно сказать о знаке производной в точке кас ания и характере монотонности касательной?
8. Касательная наклонена под острым углом….
9. Касательная образует прямой угол….
10. А если касательная параллельна оси Ох?
11. А вообще, что такое касательная?
12. Вид уравнения касательной

(сл9 – опорная схема) Итак, для дифференцируемых функций: 1. Что можно сказать о касательной в точке х0

2. О касательной в точке х1

3. О касательной в точке х2

4. О касательной в точке х3

Подвели итог своей работы

-Нам в скором времени сдавать ЕГЭ, и я вам хочу предложить задания на соответствия, взятые из КИМ математики базового уровня (карточка 1)

-Проверяем (сл10)

Не забываем записывать свой результат

IV. Закрепление и обобщение знаний по теме

Задания по рисункам

В КИМ профильной математики также есть задания с производной, причем нужно дать только ответ. Но ответ без рассуждений и вычислений получить невозможно, поэтом у все объяснения нужно проводить!

-Вот мы с вами и решим несколько таких задач, взятых из банка заданий ЕГЭ (сл11 и карточка 2, с последующей проверкой)

Работа в парах

Для отработки навыков применения геометрического смысла производной, предлагаю решить следующие задачи: найти по заданному рисунку значение производной в точке касания (сл16, карточка 3)

Работаем в парах, с последующей проверкой и объяснением ( 5 заданий, сл17 – 21)

Работа по рядам

Для понимания и запоминания данного учебного материала, предлагаю задание 4 (карточка 4)

Представителей от каждого ряда прошу к доске, а остальные решаем в тетрадях.

1 ряд найти производную функции в заданной точке

2 ряд найти тангенс угла наклона

3 ряд найти угловой коэффициент касательной (сл 22)

Задания выполняли разные а получили один и тот же результат.

Итак, еще раз сделаем вывод….(сл23)

Самостоятельная работа

-Ну а теперь переходим к заключительной части работы. Для оценки усвоения вами знаний, проведем самостоятельную работу.

Предлагаю выбрать задачу по уровню сложности и решить ее: 1 ряд -1 уровень, 2 ряд-2 уровень, 3 ряд -3 уровень ( дети рассаживаются по уровням сами). Время выполнения 7 минут.

V. Подведение итогов урока

Итак, наш урок подходит к завершению. Все задания, которые мы выполняли, взяты из открытого банка заданий ЕГЭ базового и профильного уровней.

Давайте подсчитаем результат своей работы и оценим себя.

Кто оценил на «5»?

Кто работал на «4»?

А есть ли оценки «3»?

Если были затруднения, то отработаем на консультации.

VI Домашнее задание

Домашняя работа на сайте «Решу ЕГЭ» вариант 27425166 (сл 24)

VII. Рефлексия

А сейчас, внимание на доску.(сл 25) На доске прикреплена «Лестница личностного роста»,  я предлагаю вам прикрепить смайлик –магнит на ту ступень, которая соответствует вашему настроению, работе на протяжении всего урок

1 ступенька – ну кто придумал эту математику

2 ступенька – надо решить еще пару примеров

3 ступенька – у меня все получилось!

-Я рада, что сегодня наш урок прошел плодотворно

Я надеюсь, что урок принес радость не только мне, но и вам дорогие мои ученики. А те знания, что вы приобрели сегодня, пусть останутся с вами навсегда. На этом урок закончен. Всем спасибо, до свидания!

приложения

«5» - 22-25 баллов;   «4» - 15-22 балла;  «3» - 12-14 баллов.

Карточка №1

1. Задание 14 № 513108

На рисунках изображены графики функций вида  Установите соответствие между графиками функций и угловыми коэффициентами прямых.

ГРАФИКИ

 УГЛОВЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ

1) 0,6

2) −1

3) 1,25

4) −0,75

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

2. Задание 14 № 511424

На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами A, B, C и D.

В правом столбце указаны значения производной функции в точках A, B, C и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

3.  Задание 14 № 514513

На рисунках изображены графики функций и касательные, проведённые к ним в точках с абсциссой x0. Установите соответствие между графиками функций и значениями производной этих функций в точке x0.

ГРАФИКИ

ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

1. 

2. 0,75;

3. 1;

4. −0,5.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Карточка №2

1.  Задание 7 № 119975

Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с.

2.  Задание 7 № 119978

Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

3.  Задание 7 № 27501

На рисунке изображен график производной функции f(x),

 определенной на интервале (−10; 2). Найдите

 количество точек, в которых касательная к графику

 функции f(x) параллельна прямой y = −2x – 11

 или совпадает с ней.

4.  Задание 7 № 510918 

              На рисунке изображен график функции y = f(x),

                   определенной на интервале (−3; 9).        

Найдите количество точек, в которых касательная

к графику функции параллельна прямой y = 12

или совпадает с ней.

5.  Задание 7 № 510938

На рисунке изображен график функции y = f(x),

определенной на интервале (−6; 5).

Найдите количество точек, в которых

касательная к графику функции

 параллельна прямой y = −6.

 Задание 7 № 40130

  На рисунке изображен график производной функции Найдите      абсциссу точки, в которой касательная к графику  параллельна прямой  или совпадает с ней.

        Работа в парах

Карточка №3

На рисунках изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

1.  Задание 7 № 510384                                                        2.  Задание 7 № 27503

3. Задание 7 № 27504                                                     4. Задание 7 № 27505

5. Задание 7 № 27506

Карточка №4 (1 ряд)

На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x​0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0, если

f(x) =

Карточка №4 (2 ряд)

На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x​0. Найдите тангенс угла наклона касательной .

( tg α= отношению противолежащего катета к прилежащему)

указание: построить прямоугольный треугольник

Карточка №4 (3 ряд)

На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x​0. Найдите  угловой коэффициент  касательной к функции в точке х0.

( уравнение касательной –     у=кх+m)

указание: взять точки с координатами(-2; 3) и (-7; -2) и подставить в уравнение касательной, получится два уравнения , решить их как систему, найти к.

Самостоятельная работа

1 уровень

1. Задание 7 № 27501

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.

2. Задание 7 № 515183

На рисунке изображен график производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y = f(x) параллельна прямой y = 6x или совпадает с ней.

Самостоятельная работа

2 уровень

1. Задание 7 № 27501

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.

2. Задание 7 № 515183

На рисунке изображен график производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y = f(x) параллельна прямой y = 6x или совпадает с ней.

3. Задание 7 № 510403

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

4. задание 7

На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x​0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x​0.

Самостоятельная работа

3 уровень

1. Задание 7 № 525698

На рисунке изображены график функции  и касательная к этому графику, проведённая в точке x0. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции  в точке x0.

2. Задание 7 № 525700

На рисунке изображены график функции  и касательная к этому графику, проведённая в точке . Найдите значение производной функции  в точке x0.

3. Задание 7 № 525701

На рисунке изображены график функции  и касательная к этому графику, проведённая в точке x0. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции  в точке x0.