Геометрический смысл производной функции
материал по алгебре (11 класс)

Дифференциал функции.

1. Понятие о дифференциале функции.

Дифференциал функции (dу) - это произведение производной функции на приращение (или дифференциал) аргумента:

dу = у′ Δх = у dx. 

Аналитический смысл дифференциала заключается в том, что дифференциал dу представляет собой главную часть приращения функции. При малых приращениях можно считать dу ≈ Δу. Из смысла дифференциала следует его важное практическое значение: нахождение дифференциала функции позволяет определить, насколько изменилась функция, если произошли небольшие изменения переменной, от которой она зависит.

2. Геометрический смысл дифференциала.

                                        y

                                                                        f(x)

                                                                 K

                                                                                     dy

                                                        M               Δy

                                                                L

                                                  α

                                                          x         x + Δx                  x         

        Из треугольника ΔMKL: KL = dy = tgα⋅Δx = y′⋅Δx

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

3. Свойства дифференциала.

        Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

1. d(u ± v) = (u ± v)′dx = u′dx ± v′dx = du ± dv

2. d(uv) = (uv)′dx = (u′v + v′u)dx = vdu + udv

3. d(Cu) = Cdu

4. Дифференциал сложной функции.

        Пусть y = f(x), x = g(t), т.е у- сложная функция.  Тогда                                              

dy = f′(x)g′(t)dt = f′(x)dx.

Пример 1: Найти дифференциал функции y=5x4+7x-2

dy=(5x4+7x-2)/dx=(20x3+7)dx.

Пример 2: Найти дифференциал функции y=3x2-sin(1+2x)

dy=(3x2-sin(1+2x))/dx=(6x-2cos(1+2x))dx

5. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям.        

Для дифференцируемой в точке х0 функции f(x), у которой f/(x0)≠0, при достаточно малых Δх справедливо приближенное равенство

Δf(х0)=df(х0)= f/(x0) ·Δх.

Т.к. Δх=х-х0, Δf(х0)= f(х0+ Δх)- f(х0)= f(х)- f(х0), то

f(х)= f(х0)+ f/(x0)(х-х0).

        Приложение:

1. Формула для приближенного вычисления степеней

2. Формула для приближенного вычисления корней
   

Пример 3: Вычислите (4,012)2

Применяя формулу , положим, что х=4, Δх=0,012, тогда

Ответ: 16,1

Пример 4: Вычислите .

Рассмотрим функцию f(x)= , xє(0;+∞) .

Для этой функции  .

Подставляем х=3,998 и х0=4:

Ответ:  х=1,9995

Пример 5: Найти приближенное значение приращения функции
y=x3-2x+1 при х=2 и Δх=0,001.

Применяем формулу Δf(х0)= f/(x0) ·Δх

Δf(2)= ( x3-2x+1)/· Δх=(3x2-2) ·Δх=(3·22-2)·0,001=0,01.

Задания для самостоятельного решения

1. Найти дифференциал функции: y=3x5-2x2-1
2. Найти дифференциал функции y=(x3-2)4
3. Вычислите (1,015)2
4. Вычислите (9,95)3
5. Вычислите
6. Вычислите
7. Найти приближенное значение приращения функции
   y=3x2+5x+1 при х=3 и Δх=0,001.
8. Найти приближенное значение приращения функции
   y=x3+x-1 при х=2 и Δх=0,01.

Замечание: Все вычисления производить по приведенным примерам с использованием данного теоретического материала