Практическая работа №3 "Пределы. Непрерывность функции"
материал по алгебре (11 класс)

Практическая работа № 3

Тема:. Нахождение области непрерывности и точек разрыва. Нахождение предела функции

Цель: Закрепить навыки вычисления пределов функции и нахождения области непрерывности и точек разрыва функции.

Студент должен

знать: определение непрерывности функции и классификации точек разрыва;

уметь: определять область непрерывности функции и находить точки разрыва, определять к какому роду они относятся

1. Отчет должен содержать: указание темы практической работы; цели; формулировку задания.

2.  Вариант определяется согласно контрольному списку.

При оценивании учитывается правильность и аккуратность выполнения задания

Краткие сведения из теории:

Определение 1. Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Определение включает условия:

‒ функция должна быть определена в точке k, то есть должно существовать значение f(k);

‒ должен существовать общий предел функции , это подразумевает существование и равенство односторонних пределов:;

‒ предел функции в данной точке должен быть равен значению функции в этой точке:

Определение 2. Если в точке k нарушено условие непрерывности и односторонние пределы конечны, но не равны, то она называется точкой разрыва первого рода 

Определение 3. Если хотя бы один из пределов f (k - 0) или f (k + 0) не существует или равен бесконечности, то точка k называется точкой разрыва второго рода.

Определение 4. Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции f (x) в точке k: f (k) ≠ f (k − 0) = f (k + 0) или функция f (k) не определена в точке k, то точка k называется точкой устранимого разрыва.

Задание 1: Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют.

Решение:

Функция непрерывна на промежутках (-∞;1), , (2;+∞). Тогда, разрыв возможен только на концах указанных промежутков, т.е. в точках х=1 и х=2. Найдём односторонние пределы и значение функции в каждой из этих точек

х=1

1≠0. Односторонние пределы существуют, они конечны, но не равны, значит в точке х=1 разрыв первого рода.

х=2

Односторонние пределы и значение функции в точке х=2 равны, значит в этой точке функция является непрерывной.

Определение 5. Число A называется пределом функции f (x) при  x → x0, если для любой последовательности  такой, что xn → x0 , xn≠ x0 выполняется .

Виды неопределенностей: ,  , {∞ − ∞}.

Определение 6. Функция f (x) называется бесконечно малой в точке x0, если

Определение 7. Функция f (x) называется бесконечно большой в точке x0, если

Правила раскрытия неопределенностей.

При раскрытии неопределенности ,  в случае рациональных функций числитель и знаменатель раскладывают на множители, выделяя множитель, стремящийся к нулю.

При раскрытии неопределенности  числитель и знаменатель делят на х в большей степени.

Неопределенность {∞ − ∞} сводится к  .

Если под знаком предела содержатся иррациональности, то числитель и знаменатель умножают на сопряженное

Если функции f(x) и g(x) имеют в точке x0 пределы, то их сумма, разность и произведение тоже имеют пределы в этой точке, и

,

Если, при этом l то частное двух функций имеет предел .

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

Задание 2: Вычислить пределы функций

а)

б)

в)

Формулы: a2-b2=(a-b)(a+b)

                ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

                (a+b)2=a2+2ab+b2

                (a-b)2=a2-2ab+b2

г)

д)

е).

ж)

=.

Задания для практической работы

Задание 1: Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют.

Задание 2: Вычислить пределы функций

Задание 3: Вычислить пределы функций

Задание 4: Вычислить пределы функций

Задание 5: Вычислить пределы функций

Задание 6: Вычислить пределы функций

Контрольные вопросы:

1. Непрерывность функции в точке
2. Условия непрерывности функции в точке
3. Что такое точка разрыва первого рода?
4. Что такое точка разрыва второго рода?
5. Что такое точка устранимого разрыва?
6. Что называется пределом функции в точке?
7. Как раскрываются неопределенности вида , ?
8. Что называется первым замечательным пределом?
9. Что называется вторым замечательным пределом?