Теория на тему "Степени"
учебно-методическое пособие по алгебре (7 класс)

Слайд 1

Тема: «Степени» Выполнила студент группы ПОМ-ИНФ-21-21 Набиева Азалия

Слайд 2

История возникновения степени числа Сложение, вычитание, умножение и деление идут первыми в списке арифметических действий. У математиков не сразу сложилось представление о возведении в степень как о самостоятельной операции, хотя в самых древних математических текстах Древнего Египта и Междуречья встречаются задачи на вычисление степеней . В своей знаменитой «Арифметике» греческий учёный Диофант описывает первые натуральные степени чисел так: «Все числа… состоят из некоторого количества единиц; ясно, что они продолжаются, увеличиваясь до бесконечности. …среди них находятся: квадраты, получающиеся от умножения некоторого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата, затем кубы, получающиеся от умножения квадратов на их сторону, далее квадрато -квадраты — от умножения квадратов самих на себя, далее квадрато -кубы, получающиеся от умножения квадрата на куб его стороны, далее кубо -кубы — от умножения кубов самих на себя».

Слайд 3

Немецкие математики Средневековья стремились ввести единое обозначение и сократить число символов. Книга Михеля Штифеля «Полная арифметика» сыграла в этом значительную роль. Но математики продолжали искать более простую систему обозначений степени, так как её обозначения были не удобны. Француз, бакалавр медицины Никола Шюке смело ввёл в свою символику не только нулевой, но и отрицательный показатель степени. Он писал его мелким шрифтом сверху и справа от коэффициента. Современные определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателями берут начало от работ английских математиков Джона Валлиса и Исаака Ньютона.

Слайд 4

Определение степени Степенью числа a с показателем n , большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а .

Слайд 5

Свойства степени Степенью числа а с показателем 1 называется само число а . Любое число в нулевой степени равно единице . При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя . При умножении степеней с одинаковыми основаниями основания оставляют прежним, а показатели степеней складывают .

Слайд 6

При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результат перемножают . При возведении в степень дроби возводят в эту степень числитель и знаменатель и результат делят . Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.

Слайд 7

Степень с отрицательным показателем Число в минусовой степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем : Действия с отрицательными степенями Умножение отрицательных степеней

Слайд 8

Деление отрицательных степеней Возведение дроби в отрицательную степень Возведение произведения в отрицательную степень

Слайд 9

Степень с рациональным показателем Рациональный показатель – это выражение вида p/q , где p-некоторое целое число, а q – натуральное число, причем q ≥2. Определение Положительное число a в степени p/q является арифметическим корнем степени q из числа a в степени p: Неважно в каком порядке – сначала извлечь корень и потом возвести в степень, или возвести в степень, а потом уже извлечь корень, от этого смысл выражения не теряется. Как удобнее, так и считайте. Рассмотрим несколько примеров:

Слайд 10

Свойства степени с рациональным показателем Пусть a и b – некоторые положительные числа, а числа m/n и c/d – рациональные числа. Тогда выполняются соотношения : При умножении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели складываются . При делении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели вычитаются .

Слайд 11

При возведении степени с рациональным показателем в степень с рациональным показателем их показатели перемножаются . Степень с рациональным показателем от произведения двух положительных чисел равна произведению степеней этих множителей. Степень с рациональным показателем от частного двух положительных чисел равна частному степеней этих чисел.

Слайд 12

Степень с иррациональным показателем Степень с иррациональным показателем – это степень, показатель которой бесконечная десятичная дробь или корень. – это степень, показатель которой бесконечная десятичная дробь или корень.

Слайд 13

Пример решения задачи : В числителе применим правило произведения степеней с одинаковыми основаниями . При произведении степеней с одинаковыми основаниями, основание переписываем, а показатели складываем: При делении степеней с одинаковыми основаниями, основание переписываем, а показатели вычитаем:

Слайд 14

Задачи для самостоятельной работы

Слайд 15

Таблица степеней чисел от 1 до 10

Слайд 16

Подведем итоги:

Слайд 17

Список литературы: Алгебра . 7 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. В 2 частях / А.Г. Мордкович и др.; по ред. А.Г.Мордковича — М.: Мнемозина (2019 — 2021 ). ( https://7 класс.рф / algebra-7-mordkovich-uchebnik-2019 / ) Алгебра. 8 класс. учебник для общеобразовательных организаций Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк , К. И. Нешков , С. Б. Суворова - Просвещение, 2013-2022г.( https://file.11klasov.net/1376-algebra-8-klass-uchebnik-makarychev-yun-i-dr.html ) ОГЭ. Математика. Новый полный справочник - Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С .( https:// file.11klasov.net/3715-oge-matematika-novyy-polnyy-spravochnik-merzlyak-ag-polonskiy-vb-yakir-ms.html ) .