Подготовка к ЕГЭ.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс)

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ (базовый уровень)
Вариант №1

1. В розницу один номер еженедельного журнала стоит 23 рубля, а полугодовая подписка на этот журнал стоит 390 рублей. За полгода выходит 25 номеров журнала. Сколько рублей можно сэкономить за полгода, если не покупать каждый номер журнала отдельно, а получать журнал по подписке?

2. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

ВЕЛИЧИНЫ

А)  время одного оборота Земли вокруг Солнца

Б)  длительность полнометражного художественного фильма

В)  длительность звучания одной песни

Г)  продолжительность вспышки фотоаппарата

ЗНАЧЕНИЯ

1)  3,5 минуты

2)  105 минут

3)  365 суток

4)  0,1 секунды

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

3. На графике показана зависимость крутящего момента автомобильного двигателя от числа оборотов в минуту. На горизонтальной оси отмечено число оборотов в минуту, на вертикальной оси - крутящий момент в  Определите по графику, какое наименьшее число оборотов в минуту должен поддерживать водитель, чтобы крутящий момент был не меньше 100 

4. Среднее квадратичное трёх чисел  b и c вычисляется по формуле  Найдите среднее квадратичное чисел  и 

5. Маша включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по девяти каналам из сорока пяти показывают новости. Найдите вероятность того, что Маша попадет на канал, где новости не идут.

6. Для транспортировки 42 тонн груза на 600 км можно воспользоваться услугами одной из трёх фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъёмность автомобилей каждого перевозчика указаны в таблице.

Сколько рублей придётся заплатить за самую дешёвую перевозку?

7. На графике изображена зависимость скорости погружения батискафа от времени. На вертикальной оси отмечена скорость в м/с, на горизонтальной  — время в секундах, прошедшее с начала погружения.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику погружения батискафа на этом интервале.

ИНТЕРВАЛЫ

А)  0–60 c

Б)  60–120 c

В)  120–180 c

Г)  180–240 c

ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВИЖЕНИЯ

1)  В течение 30 секунд батискаф не двигался.

2)  Скорость погружения не больше 0,1 м/с на всём интервале.

3)  Скорость погружения не меньше 0,3 м/с на всём интервале.

4)  Скорость погружения постоянно росла.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

8. В классе учится 25 человек, из них 16 человек посещают кружок по английскому языку, а 13  — кружок по немецкому языку. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1)  Найдётся 4 человека из этого класса, которые посещают оба кружка.

2)  Если ученик из этого класса ходит на кружок по английскому языку, то он обязательно ходит на кружок по немецкому языку.

3)  Найдётся хотя бы три человека из этого класса, которые посещают оба кружка.

4)  Каждый ученик из этого класса посещает и кружок по английскому языку, и кружок по немецкому языку.

9. План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

10. Какой наименьший угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки в четыре часа утра?

11.

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2700 см3 воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 20 см до отметки 33 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см3.

12. На окружности радиуса 5 взята точка С. Отрезок АВ  — диаметр окружности, AC  =  6. Найдите cos∠BAC.

13. Даны два шара с радиусами 3 и 1. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

14. Найдите значение выражения 

15. В школе мальчики составляют 54% числа всех учащихся. Сколько в этой школе мальчиков, если их на 28 человек больше, чем девочек?

16. Найдите  если  и 

17. Найдите корень уравнения 

18. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений из правого столбца. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

А)  

Б)  

В)  

Г)  

РЕШЕНИЯ

1)  

2)  

3)  

4)  

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.

19. Найдите четырёхзначное натуральное число, меньшее 1360, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

20. Клиент А. сделал вклад в банке в размере 6200 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал Б. Ещё ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 682 рубля больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

21. На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: белая, синяя и красная. Слева от красной вазы 15 роз, справа от синей вазы 12 роз. Всего в вазах 22 розы. Сколько роз в белой вазе?

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ (базовый уровень)
Вариант №2

1. Для ремонта квартиры требуется 63 рулона обоев. Сколько пачек обойного клея нужно купить, если одна пачка клея рассчитана на 6 рулонов?

2. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

ВЕЛИЧИНЫ

А)  толщина лезвия бритвы

Б)  рост жирафа

В)  ширина футбольного поля

Г)  радиус Земли

ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

1)  6400 км

2)  500 см

3)  0,08 мм

4)  68 м

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

3. На графике изображена зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На горизонтальной оси отмечена высота над уровнем моря в километрах, на вертикальной  — давление в миллиметрах ртутного столба.

Определите по графику, на какой высоте атмосферное давление равно 420 миллиметрам ртутного столба. Ответ дайте в километрах.

4. Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле  где U  — напряжение (в вольтах), R  — сопротивление (в омах), t  — время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите A (в джоулях), если  с,  и  Ом.

5. Какова вероятность того, что в случайно выбранном телефонном номере последняя цифра чётная, а предпоследняя  — нечётная?

6. На соревнованиях по прыжкам в воду судьи выставили оценки от 0 до 10 трём спортсменам. Результаты приведены в таблице.

К*  — коэффициент сложности

Итоговый балл вычисляется следующим образом: две наибольшие и две наименьшие оценки отбрасываются, а три оставшиеся складываются, и их сумма умножается на коэффициент сложности.

В ответе укажите номера спортсменов, итоговый балл которых больше 160, без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

7. На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту. На горизонтальной оси отмечено число оборотов в минуту, на вертикальной оси  — крутящий момент в Н · м.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику крутящего момента.

ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ

А)  0 − 1000 об./мин

Б)  1500 − 2000 об./мин

В)  3000 − 4000 об./мин

Г)  4000 − 6000 об./мин

ХАРАКТЕРИСТИКИ

1)  Крутящий момент рос быстрее всего.

2)  Крутящий момент падал.

3)  Крутящий момент не менялся.

4)  Крутящий момент не превышал 20 H · м на всем интервале..

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

8. Известно, что спектр ртутной лампы  — линейчатый. Выберите утверждения, которые следуют из этого факта.

1)  У любой ртутной лампы линейчатый спектр.

2)  Любая лампа с линейчатым спектром  — ртутная.

3)  У любой нертутной лампы спектр не является линейчатым.

4)  Если спектр лампы линейчатый то она может быть ртутной.

9. На рисунке изображён план местности (шаг сетки плана соответствует расстоянию 1 км на местности). Оцените, скольким квадратным километрам равна площадь озера Сарженское, изображённого на плане. Ответ округлите до целого числа.

10. Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 30 м и 45 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, предусмотрев проезд шириной 3 м.

11. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

12. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен  угол CAD равен  Найдите угол  Ответ дайте в градусах.

13. В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC со стороной 10, а боковое ребро SA перпендикулярно основанию и равно  Найдите объём пирамиды SABC.

14. Найдите значение выражения 

15. Призёрами городской олимпиады по математике стали 36 учащихся, что составило 6% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?

16. Найдите значение выражения 

17. Найдите корень уравнения 

18. Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.

ЧИСЛА

А)  

Б)  

В)  

Г)  

ОТРЕЗКИ

1)  [0; 1]

2)  [1; 2]

3)  [2; 3]

4)  [4; 5]

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

19. Найдите четырёхзначное число, большее 4000, но меньшее 6500, которое делится на 60 и каждая следующая цифра которого меньше предыдущей. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

20. Заказ на 156 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 1 деталь больше?

21. На поверхности глобуса фломастером проведены 24 параллели и 17 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса?

Меридиан  — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель  — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ (базовый уровень)
Вариант №3

1. В пачке 250 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 700 листов. Какого наименьшего количества пачек бумаги хватит на 8 недель?

2. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

ВЕЛИЧИНЫ

А)  объём бытового холодильника

Б)  объём железнодорожного вагона

В)  объём пакета сока

Г)  объём воды в Ладожском озере

ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

1)  120 м3

2)  1,5 л

3)  908 км3

4)  300 л

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

3. В соревнованиях по метанию молота участники показали следующие результаты.

Места распределяются по результатам лучшей попытки каждого спортсмена: чем дальше он метнул молот, тем лучше. Каков результат лучшей попытки (в метрах) спортсмена, занявшего третье место?

4. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами  и c вычисляется по формуле  Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами  и 

5. В чемпионате по гимнастике участвуют 65 спортсменок: 18 из Аргентины, 21 из Бразилии, остальные  — из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая.

6. Дмитрий Валентинович собирается в туристическую поездку на трое суток в некоторый город. В таблице дана информация о гостиницах в этом городе со свободными номерами на время его поездки.

 Дмитрий Валентинович хочет остановиться в гостинице, которая находится не далее чем в 2,5 км от центральной площади и рейтинг которой не ниже 8,5. Среди гостиниц, удовлетворяющих этим условиям, выберите гостиницу с наименьшей ценой номера за сутки. Сколько рублей стоит проживание в этой гостинице в течение трёх суток?

7. На рисунке точками изображено число родившихся мальчиков и девочек за каждый календарный месяц 2013 года в городском роддоме. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали  — количество родившихся мальчиков и девочек (по отдельности). Для наглядности точки соединены линиями.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов

времени характеристику рождаемости в этот период.

ПЕРИОДЫ ВРЕМЕНИ

А)  1-й квартал года

Б)  2-й квартал года

В)  3-й квартал года

Г)  4-й квартал года

ХАРАКТЕРИСТИКИ РОЖДАЕМОСТИ

1)  рождаемость мальчиков превышала рождаемость девочек

2)  рождаемость девочек росла

3)  рождаемость девочек снижалась

4)  разность между числом родившихся мальчиков и числом родившихся девочек в один из месяцев этого периода достигает наибольшего значения за год

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

8. На столе стоят 20 кружек с чаем. В шести из них чай с сахаром, а в остальных  — без сахара. В четыре из этих 20 кружек официант собирается положить по дольке лимона. Выберите утверждения, которые будут верны при указанных условиях независимо от того, в какие кружки официант положит дольки лимона.

1)  Найдётся 9 кружек с чаем без сахара и лимона.

2)  Найдётся 3 кружки с чаем с лимоном, но без сахара.

3)  Если в кружке чай без сахара, то он с лимоном.

4)  Не найдётся 8 кружек с чаем без сахара, но с лимоном.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

9. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

10. Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил относительно земли равна 2,1 м, а наибольшая h2 равна 3,1 м. Ответ дайте в метрах.

11.

В цилиндрический сосуд налили 1000 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 20 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 4 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.

12. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна  а один из катетов равен 1.

13. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 13 и 4. Найдите объём призмы, если её высота равна 5.

14. Найдите значение выражения 

15. Ежемесячная плата за телефон составляет 300 рублей. В следующем году она увеличится на 6%. Сколько рублей будет составлять ежемесячная плата за телефон в следующем году?

16. Найдите значение выражения 

17. Найдите корень уравнения 

18. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений из правого столбца. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

А)  

Б)  

В)  

Г)  

РЕШЕНИЯ

1)  

2)  или

3)  

4)  или

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

19. Найдите трёхзначное число, кратное 40, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 4, но не делится на 16. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

20. Из двух городов, расстояние между которыми равно 560 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 65 км/ч и 75 км/ч?

21. Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 2 м. Высота дерева 14 м. За сколько дней улитка доползёт от основания до вершины дерева?

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ (базовый уровень)
Вариант №4

1. Стоимость проездного билета на месяц составляет 720 рублей, а стоимость билета на одну поездку  — 30 рублей. Аня купила проездной и сделала за месяц 38 поездок. На сколько рублей больше она бы потратила, если бы каждый раз покупала билет на одну поездку?

2. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

ВЕЛИЧИНЫ

А)  масса человека

Б)  масса железнодорожного состава

В)  масса шариковой ручки

Г)  масса автомобиля

ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

1)  80 кг

2)  460 т

3)  1,3 т

4)  10 г

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

3. На рисунке показано изменение атмосферного давления в течение трёх суток. По горизонтали указаны дни недели, по вертикали  — значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба.

Определите по рисунку наибольшее значение атмосферного давления (в миллиметрах ртутного столба) в среду.

4. Энергия заряженного конденсатора W (в Дж) вычисляется по формуле  где C  — ёмкость конденсатора (в Ф), а q  — заряд на одной обкладке конденсатора (в Кл). Найдите энергию (в Дж) конденсатора ёмкостью 10−4 Ф, если заряд на его обкладке равен 0,0012 Кл.

5. В сборнике билетов по истории всего 25 билетов, в 18 из них встречается вопрос по теме «Великая Отечественная война». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Великая Отечественная война».

6. Для обслуживания международного семинара необходимо собрать группу переводчиков. Сведения о кандидатах представлены в таблице.

Пользуясь таблицей, соберите хотя бы одну группу, в которой переводчики вместе владеют всеми четырьмя языками: английским, немецким, испанским и французским, а суммарная стоимость их услуг не превышает 12 000 рублей в день. В ответе укажите какой-нибудь один набор номеров переводчиков без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Перечисляйте в порядке возрастания номеров.

7. На рисунке точками изображено число родившихся мальчиков и девочек за каждый календарный месяц 2013 года в городском роддоме. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали  — количество родившихся мальчиков и девочек (по отдельности). Для наглядности точки соединены линиями.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику рождаемости в этот период.

ПЕРИОДЫ ВРЕМЕНИ

А)  1-й квартал года

Б)  2-й квартал года

В)  3-й квартал года

Г)  4-й квартал года

ХАРАКТЕРИСТИКИ РОЖДАЕМОСТИ

1)  Рождаемость мальчиков в течение 2-го и 3-го месяцев периода была одинаковой.

2)  Рождаемость девочек снижалась в течение всего периода.

3)  В каждом месяце периода девочек рождалось больше, чем мальчиков.

4)  В каждом месяце периода мальчиков рождалось больше, чем девочек.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

8. Автолюбителям известно, что если в присутствии инспектора ГИБДД проехать на красный свет, то штраф неминуем. Выберите утверждение, которое непосредственно следуют из этого знания.

1)  Если вас оштрафовал инспектор, то вы проехали на красный свет.

2)  Если вас не оштрафовали, вы не проезжали на красный свет

3)  Если вы не проезжали на красный свет, то вы не будете оштрафованы

4)  Если вы проехали на красный свет с непристёгнутым ремнём, то заметивший это инспектор ГИБДД вас оштрафует.

9. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

10. Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил относительно земли равна 1,65 м, а наибольшая h2 равна 2,65 м. Ответ дайте в метрах.

11. Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне h  =  180 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, у которого сторона основания втрое больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

12. Прямые m и n параллельны (см. рис.). Найдите ∠3, если ∠1  =  129°, ∠2  =  1°. Ответ дайте в градусах.

13. Объём конуса равен  а его высота равна  Найдите радиус основания конуса.

14. Найдите значение выражения 

15. Число дорожно-транспортных происшествий (ДТП) в летний период составило 0,76 числа ДТП в зимний период. На сколько процентов уменьшилось число дорожно-транспортных происшествий летом по сравнению с зимой?

16. Найдите значение выражения 

17. Найдите корень уравнения  Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

18. На координатной прямой отмечены точки A, B, C, и D.

Число m равно 

Установите соответствие между указанными точками и числами из правого столбца, которые им соответствуют.

ТОЧКИ

A

B

C

D

ЧИСЛА

1)  

2)  

3)  

4)  

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

19. Найдите четырёхзначное натуральное число, меньшее 1360, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

20. Из одной точки кольцевой дороги, длина которой равна 22 км, одновременно в одном направлении выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 113 км/ч, и через 30 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

21. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4200 рублей, а за каждый следующий метр  — на 1300 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 11 метров?

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ (базовый уровень)
Вариант №5

1. В доме, в котором живет Маша, один подъезд. На каждом этаже по 7 квартир. Маша живет в квартире № 60. На каком этаже живет Маша?

2. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

ВЕЛИЧИНЫ

А)  рост новорождённого ребёнка

Б)  длина реки Енисей

В)  толщина лезвия бритвы

Г)  высота горы Эльбрус

ЗНАЧЕНИЯ

1)  4300 км

2)  50 см

3)  5642 м

4)  0,08 мм

3. На диаграмме показано распределение выплавки меди в 11 странах мира (в тысячах тонн) за 2009 год. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимало Марокко, одиннадцатое место  — Болгария. Какое место занимала КНДР?

4. В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси длительностью меньше 5 минут составляет 150 рублей. Если поездка длится 5 минут или более, то её стоимость (в рублях) рассчитывается по формуле C  =  150 + 11(t − 5), где t  — длительность поездки, выраженная в минутах (t ≥ 5) . Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 15-минутной поездки. Ответ укажите в рублях.

5. На экзамене 60 билетов. Оскар не выучил 24 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

6. Вася загружает на свой компьютер из Интернета файл размером 30 Мб за 26 секунд. Петя загружает файл размером 28 Мб за 27 секунд, а Миша загружает файл размером 32 Мб за 27 секунд. Сколько секунд будет загружаться файл размером 736 Мб на компьютер с наибольшей скоростью загрузки?

7. На рисунке изображён график функции, к которому проведены касательные в четырёх точках.

Ниже указаны значения производной в данных точках. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной в ней.

ТОЧКИ

А)  K

Б)  L

В)  M

Г)  N

ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

1)  −4

2)  3

3)  

4)  −0,5

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

8. При взвешивании животных в зоопарке выяснилось, что буйвол тяжелее льва, медведь легче буйвола, а рысь легче льва. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.

1)  Рысь легче медведя.

2)  Буйвол самый тяжёлый из всех этих животных.

3)  Медведь тяжелее льва.

4)  Рысь легче буйвола.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

9. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

10. Масштаб карты такой, что в одном сантиметре 2,5 км. Чему равно расстояние между городами A и B (в км), если на карте оно составляет 12 см?

11. Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h  =  80 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у первого? Ответ дайте в сантиметрах.

12. Острые углы прямоугольного треугольника равны 62° и 28°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

13. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4, а гипотенуза равна  Найдите объём призмы, если её высота равна 4.

14. Найдите значение выражения 

15. Длины двух рек относятся как 3:5, при этом одна из них длиннее другой на 20 км. Найдите длину большей реки. Ответ дайте в километрах.

16. Найдите значение выражения 

17. Найдите корень уравнения 

18. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

ВЕЛИЧИНЫ

А)  

Б)  

В)  

Г)  

ЗНАЧЕНИЯ

1)  

2)  

3)  

4)  

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий решению номер.

19. Вычеркните в числе 23462141 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

20. Первый сплав содержит 5% меди, второй  — 12% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 9 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

21. Про натуральные числа A, B и С известно, что каждое из них больше 4, но меньше 8. Загадали натуральное число, затем его умножили на A, потом прибавили к полученному произведению B и вычли С. Получилось 165. Какое число было загадано?

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ (базовый уровень)
Вариант №6

1. В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 600 листов. Какого наименьшего количества пачек бумаги хватит на 6 недель?

2. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

ВЕЛИЧИНЫ

А)  площадь монитора компьютера

Б)  площадь города Санкт-Петербурга

В)  площадь ногтя на пальце взрослого человека

Г)  площадь Краснодарского края

ЗНАЧЕНИЯ

1)  75 500 кв. км

2)  1439 кв. км

3)  100 кв. мм

4)  960 кв. см

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

3. На рисунке жирными точками показана цена золота, установленная Центробанком РФ во все рабочие дни в октябре 2009 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали  — цена золота в рублях за грамм. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наибольшую цену золота за указанный период. Ответ дайте в рублях за грамм.

4. Найдите x из равенства  если  и 

5. В чемпионате по гимнастике участвуют 30 спортсменок: 13 из Японии, 5 из Китая, остальные  — из Кореи. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи.

6. Михаил решил посетить Парк аттракционов. Сведения о билетах на аттракционы представлены в таблице. Некоторые билеты позволяют посетить сразу два аттракциона.

Пользуясь таблицей, подберите билеты так, чтобы Михаил посетил все четыре аттракциона: колесо обозрения, комнату страха, комнату смеха, автодром, а суммарная стоимость билетов не превышала 900 рублей.

В ответе укажите какой-нибудь один набор номеров билетов без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

7. На рисунке точками изображено атмосферное давление в городе N на протяжении трёх суток с 4 по 6 апреля 2013 года. в течение суток давление измеряется 4 раза: ночью (00:00), утром (06:00), днём (12:00) и вечером (18:00). По горизонтали указывается время суток и дата, по вертикали  — давление в миллиметрах ртутного столба. Для наглядности точки соединены линиями.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику давления в городе N в течение этого периода.

ПЕРИОДЫ ВРЕМЕНИ

А)  ночь 4 апреля (с 0 до 6 часов)

Б)  день 5 апреля (с 12 до 18 часов)

В)  ночь 6 апреля (с 0 до 6 часов)

Г)  утро 6 апреля (с 6 до 12 часов)

ХАРАКТЕРИСТИКИ ДАВЛЕНИЯ

1)  наибольший рост давления

2)  давление достигло 758 мм рт. ст.

3)  давление не менялось

4)  наименьший рост давления

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

8. На соревнованиях сборная России завоевала медалей больше, чем сборная Канады, сборная Канады  — больше, чем сборная Германии, а сборная Норвегии  — меньше, чем сборная Канады. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1)  Из названных сборных команда Канады заняла второе место по числу медалей.

2)  Среди названных сборных есть три, завоевавшие равное количество медалей.

3)  Сборная Германии завоевала больше медалей, чем сборная России.

4)  Сборная России завоевала больше медалей, чем каждая из остальных трёх сборных.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

9. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

10. На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 9 м, высота фонаря 5 м?

11.

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

12. В окружности с центром O проведён диаметр AB и на окружности взята точка C так, что угол COB равен 120°, AC = 19. Найдите диаметр окружности.

13. В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC со стороной 10, а боковое ребро SA перпендикулярно основанию и равно  Найдите объём пирамиды SABC.

14. Найдите значение выражения 

15. В магазине вся мебель продаётся в разобранном виде. Покупатель может заказать сборку мебели на дому, стоимость которой составляет 15% от стоимости купленной мебели. Шкаф стоит 3000 рублей. Во сколько рублей обойдётся покупка этого шкафа вместе со сборкой?

16. Найдите значение выражения 

17. Найдите корень уравнения 

18. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

А)  

Б)  

В)  

Г)  

РЕШЕНИЯ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

19. Найдите четырёхзначное число, которое в 7 раз меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

20. Из городов A и B навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 3 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 48 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?

21. Клетки таблицы 3 на 7 раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 17 пар соседних клеток разного цвета и 11 пар соседних клеток чёрного цвета. (Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона.) Сколько пар соседних клеток белого цвета?

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ (базовый уровень)
Вариант №7

1. Каждый день во время конференции расходуется 60 пакетиков чая. Конференция длится 9 дней. В пачке чая 100 пакетиков. Какого наименьшего количества пачек чая хватит на все дни конференции?

2. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

ВЕЛИЧИНЫ

А)  объём бассейна

Б)  объём воды в озере Байкал

В)  объём ящика для фруктов

Г)  объём пакета кефира

ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

1)  600 м3

2)  1 л

3)  72 л

4)  23 615,39 км3

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

3. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали  — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа впервые выпало  миллиметров осадков.

4. Энергия заряженного конденсатора W (в Дж) вычисляется по формуле где C  — ёмкость конденсатора (в Ф), а U  — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в В). Найдите W (в Дж), если  Ф и U = 8 В.

5. Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 60 докладов: первые два дня  — по 12 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвёртым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

6. В городском парке работает 5 аттракционов: карусель, колесо обозрения, автодром, «Ромашка» и «Весёлый тир». В кассах продаётся 6 видов билетов, каждый из которых на один или два аттракциона. Сведения о стоимости билетов представлены в таблице.

Какие билеты должен купить Андрей, чтобы посетить все пять аттракционов и затратить не более 900 рублей? В ответе укажите какой-нибудь один набор номеров билетов без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

7. На рисунке изображён график функции y = f( x) и отмечены точки K, L, M и N на оси x. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристику функции и её производной.

Ниже указаны значения производной в данных точках. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной в ней.

ТОЧКИ

А)  K

Б)  L

В)  M

Г)  N

ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИИ ИЛИ ПРОИЗВОДНОЙ

1)  функция положительна, производная положительна

2)  функция отрицательна, производная отрицательна

3)  функция положительна, производная равна 0

4)  функция отрицательна, производная положительна

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

8. В фирме работает 60 сотрудников, из них 50 человек знают английский язык, а 15  — французский. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1)  Если сотрудник этой фирмы знает английский язык, то он знает и французский.

2)  Хотя бы три сотрудника этой фирмы знают и английский, и французский языки.

3)  Не более 15 сотрудников этой фирмы знают и английский, и французский языки.

4)  В этой фирме нет ни одного человека, знающего и английский, и французский языки.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

9. План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

10. Человек стоит на расстоянии 12,4 м от столба, на котором висит фонарь, расположенный на высоте 8,5 м. Длина тени человека равна 3,1 м. Какого роста человек (в метрах)?

11. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

12. На стороне BC прямоугольника ABCD, у которого  и  отмечена точка E так, что треугольник ABE равнобедренный. Найдите 

13. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 11 и 5. Найдите объём призмы, если её высота равна 4.

14. Найдите значение выражения 

15. Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

16. Найдите значение выражения 

17. Найдите корень уравнения  Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

18. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

А)  

Б)  

В)  

Г)  

РЕШЕНИЯ

1)  

2)  

3)  

4)  

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

19. Четырёхзначное число A состоит из цифр 2, 4, 7, 9, а четырёхзначное число B  — из цифр 4, 5, 8, 9. Известно, что  Найдите число A. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число, большее 2500.

20. Смешали 4 литра 15−процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25−процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

21. На ленте по разные стороны от её середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 30 см длиннее другой. Если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет на 70 см длиннее другой. Найдите расстояние (в сантиметрах) между красной и синей полосками.

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ (базовый уровень)
Вариант №8

1. Стоимость полугодовой подписки на журнал составляет 510 рублей, а стоимость одного номера журнала в киоске  — 23 рубля. За полгода Аня купила 25 номеров журнала. На сколько рублей меньше она бы потратила, если бы подписалась на журнал?

2. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

ВЕЛИЧИНЫ

А)  объём бассейна

Б)  объём воды в озере Байкал

В)  объём ящика для фруктов

Г)  объём пакета кефира

ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

1)  600 м3

2)  1 л

3)  72 л

4)  23 615,39 км3

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

3. В соревнованиях по метанию молота участники показали следующие результаты:

Места распределяются по результатам лучшей попытки каждого спортсмена: чем дальше он метнул молот, тем лучше. Какое место занял спортсмен Никонов?

4. Площадь треугольника можно вычислить по формуле  где a, b и c  — стороны треугольника, а R  — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите площадь S, если a  =  4, b  =  13, c  =  15 и 

5. На семинар приехали 6 учёных из Норвегии, 5 из России и 9 из Испании. Каждый учёный подготовил один доклад. Порядок докладов определяется случайным образом. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад учёного из России.

6. В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трех городах России (по данным на начало 2010 года).

Определите, в каком из этих городов окажется самым дешевым следующий набор продуктов: 2 батона пшеничного хлеба, 2 кг говядины, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях).

7. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении суток. По горизонтали указывается время суток, по вертикали  — значение температуры в градусах Цельсия.

Пользуясь диаграммой, установите связь между промежутками времени и характером изменения температуры.

ПРОМЕЖУТКИ ВРЕМЕНИ

А)  00:00−06:00

Б)  06:00−12:00

В)  15:00−18:00

Г)  18:00−00:00

ХАРАКТЕР ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ

1)  Температура снижалась быстрее всего

2)  Температура сначала уменьшалась, а затем возрастала

3)  Температура росла быстрее всего

4)  Температура росла медленнее всего

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

8. В классе учится 25 человек, из них 16 человек посещают кружок по английскому языку, а 13  — кружок по немецкому языку. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1)  Каждый ученик из этого класса посещает и кружок по английскому языку, и кружок по немецкому языку.

2)  Найдётся хотя бы три человека из этого класса, которые посещают оба кружка.

3)  Если ученик из этого класса ходит на кружок по английскому языку, то он обязательно ходит на кружок по немецкому языку.

4)  Не более 13 человек из этого класса посещают оба кружка.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

9. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

10. Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. план). Первая комната имеет размеры 3,5 м × 5м, вторая  — 3,5 м × 4,5 м, санузел имеет размеры 2 м × 1,5 м, длина коридора  — 11 м. Найдите площадь кухни (в квадратных метрах).

11. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

12. В прямоугольной трапеции основания равны 5 и 9, а один из углов равен 135°. Найдите меньшую боковую сторону.

13. Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 1 и 2, а объём параллелепипеда равен 6. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

14. Найдите значение выражения 

15. Половина всех отдыхающих в пансионате  — дети. Какой процент от всех отдыхающих составляют дети?

16. Найдите значение выражения 

17. Найдите корень уравнения 

18. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений из правого столбца. Установите соответствие между неравенствами и множествами их решениями.

НЕРАВЕНСТВА

А)  

Б)  

В)  

Г)  

РЕШЕНИЯ

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

19. Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 24. В ответе укажите ровно одно такое число.

20. Два человека отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 5,5 км от дома. Один идёт со скоростью 2,5 км/ч, а другой  — со скоростью 3 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от дома произойдёт их встреча? Ответ дайте в километрах.

21. Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 13 партий, а Коля  — 27. Сколько партий сыграл Лёша?

Ключ 1

Ключ 2

Ключ 3

Ключ 4

Ключ 5

Ключ 6

Ключ 7

Ключ 8

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ (профильный уровень)
Вариант №1

1. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 16 и 12, а угол между ними равен 30°.

2. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 14 и высота равна 24.

3. В сборнике билетов по биологии всего 50 билетов, в 5 из них встречается вопрос по теме "Зоология". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Зоология".

4. В торговом центре два одинаковых автомата продают жвачку. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится жвачка, равна 0,25. Вероятность того, что жвачка закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня жвачка останется в обоих автоматах.

5. Найдите корень уравнения 

6. Найдите  если 

7. На рисунке изображён график функции  и касательная к нему в точке с абсциссой  Найдите значение производной функции  в точке 

8. Двигаясь со скоростью  м/с, трактор тащит сани с силой  кН, направлен-ной под острым углом  к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле  Найдите, при каком угле (в градусах) эта мощность будет равна 225 кВт (кВт  — это ).

9. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.

10. На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b и c  — целые. Найдите 

11. Найдите точку минимума функции 

12. а)  Решите уравнение 

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

13. В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник ABC с катетами AC  =  15 и BC  =  9. Точка M  — середина ребра AD. На ребре BC выбрана точка E так, что CE  =  3, а на ребре AC выбрана точка F так, что CF  =  5. Плоскость MEF пересекает ребро BD в точке N. Расстояние от точки M до прямой EF равно 

а)  Докажите, что N  — середина ребра BD.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MNF.

14. Решите неравенство: 

15. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 10% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 10 млн рублей в первый и второй годы, а также по 5 млн в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором общая сумма средств вкладчика к началу третьего года станет больше 80 млн, а к концу проекта  — больше 100 млн рублей.

16. Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.

а)  Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.

б)  Найдите BC, если  и ∠BAC  =  60°.

17. Найдите все целые отрицательные значения параметра а, при каждом из которых существует такое действительное число  что неравенство  не выполнено.

18. Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.

а)  Приведите пример, когда S < 15.

б)  Могло ли значение S быть равным 5?

в)  Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 10 студентов?

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ (профильный уровень)
Вариант №2

1. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите периметр трапеции.

2. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 10.

3. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 80 выступлений  — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день 36 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

4. В торговом центре два одинаковых автомата продают жвачку. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится жвачка, равна 0,25. Вероятность того, что жвачка закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня жвачка останется в обоих автоматах.

5. Решите уравнение  Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

6. Найдите значение выражения: 

7. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 8). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−9;6].

8. На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле:  где   — постоянная, r  — радиус аппарата в метрах,   — плотность воды, а g  — ускорение свободного падения (считайте  Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 511 014 Н? Ответ выразите в метрах.

9. В помощь садовому насосу, перекачивающему 9 литров воды за 1 минуту, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 2 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 54 литра воды?

10. На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b и c  — целые. Найдите 

11. Найдите точку минимума функции 

12. а)  Решите уравнение 

б)  Определите, какие из его корней принадлежат отрезку 

13. Основание прямой треугольной призмы ABCA1B1C1  — треугольник ABC, в котором AB  =  AC  =  8, а один из углов равен 60°. На ребре AA1 отмечена точка P так, что AP : PA1  =  1 : 2. Расстояние между прямыми AB и B1C1 равно 

а)  Докажите, что основания высот треугольников ABC и PBC, проведенных к стороне BC, совпадают.

б)  Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и CBP.

14. Решите неравенство 

15. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1 000 000 рублей на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1231 тысячи рублей?

16. Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке A, а вторую  — в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую  — в точке C.

а)  Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

б)  Найдите отношение CP : PB, если радиус первой окружности втрое больше радиуса второй.

17. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение  имеет ровно один корень.

18. На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 2, но не превосходит 42. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 6. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньше первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 2, с доски стерли.

а)  Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 10?

б)  Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске оказаться больше 8, но меньше 9?

в)  Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ (профильный уровень)
Вариант №3

1. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен 

2. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

3. В блюде 35 пирожков: 9 с мясом, 12 с яйцом и 14 с рыбой. Катя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с рыбой.

5. На рисунке показано дерево некоторого случайного эксперимента. Событию A благоприятствуют элементарные события a, b и c, а событию B благоприятствуют элементарные события b, c и d. Найдите  — условную вероятность события A при условии B.

6. Найдите корень уравнения 

7. Найдите значение выражения: 

8. Прямая y  =  −4x − 8 является касательной к графику функции y  =  x3 − 3x2 − x − 9. Найдите абсциссу точки касания.

8. Два тела, массой m  =  9 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью υ = 6 м/c под углом  друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле  где m  — масса (в кг), υ — скорость (в м/с). Найдите, под каким углом  должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 81 Дж. Ответ дайте в градусах.

9. Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 15 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 25 часов после отплытия из него. Сколько километров проходит теплоход за весь рейс?

10. На рисунке изображён график функции  Найдите b.

11. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

12. а)  Решите уравнение 

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

13. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра 

а)  Докажите, что 

б)  Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и 

14. Решите неравенство 

15. В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;

− с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по 58 564 рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

16. Окружность ω1 касается стороны AC и продолжений сторон AB и BC треугольника ABC за точки A и C соответственно, M  — точка ее касания с прямой BC. Окружность ω2 касается стороны AB и продолжений сторон AC и BC за точки A и B соответственно, N  — точка ее касания с прямой BC.

а)  Докажите, что СМ  =  BN.

б)   Найдите расстояние между центрами окружностей ω1 и ω2, если   BC  =  5.

17. Найдите все положительные значения параметра a, при каждом из которых модуль разности корней уравнения  не больше расстояния между точками экстремума функции 

18. Юра записывает на доске n-значное натуральное число, не используя цифру 0. Затем он записывает рядом ещё одно число, полученное из исходного перемещением первой цифры на последнее место. (Например, если n  =  3 и исходное число равно 123, то второе число равно 231.) После этого Юра находит сумму этих двух чисел.

а)  Может ли сумма чисел на доске равняться 2728, если n  =  4?

б)  Может ли сумма чисел на доске равняться 83 347, если n  =  5?

в)  При n  =  6 оказалось, что сумма чисел делится на 99. Сколько натуральных чисел от 925 111 до 925 999, которые Юра мог использовать в качестве исходного числа?

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ (профильный уровень)
Вариант №4

1. Один острый угол прямоугольного треугольника на 32° больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

3. На конференцию приехали 3 ученых из Финляндии, 2 из Бельгии и 5 из Голландии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что первым окажется доклад ученого из Финляндии.

4. На диаграмме Эйлера показаны события A и B в некотором случайном эксперименте, в котором 10 равновозможных элементарных событий. Элементарные события показаны точками. Найдите  — условную вероятность события B при условии A.

5. Найдите корень уравнения:  В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

6. Найдите значение выражения 

7. На рисунке изображён график   — производной функции  Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику  параллельна прямой y  =  −3x − 2 или совпадает с ней.

8. Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой  Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле  Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка  составит не менее 360 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

9. Катер в 10:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость катера равна 11 км/ч.

10. На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b и c  — целые. Найдите значение x, при котором 

11. Найдите точку максимума функции 

12. а)  Решите уравнение 

б)  Найдите его корни, принадлежащие отрезку 

13. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды SABCD образует с основанием угол 45°, сторона основания равна 4. Через среднюю линию треугольника АВD, не пересекающую BD, и середину высоты пирамиды проведена плоскость α.

а)  Докажите, что плоскость α перпендикулярна ребру SC.

б)  Найдите объем пирамиды SKLM, где K, L и M  — точки пересечения α соответственно с ребрами SB, SD и SC.

14. Решите неравенство 

15. В июле 2025 года планируется взять кредит на 300 тыс. руб. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2031 года долг должен быть полностью погашен.

Чему равно r, если общая сумма выплат составит 435 тысяч рублей?

16. В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD= R.

а)  Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б)  Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что R= 5 и CD =15.

17. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет хотя бы одно решение.

18. Последовательность натуральных чисел (an) состоит из 400 членов. Каждый член последовательности, начиная со второго, либо вдвое больше предыдущего, либо на 98 меньше предыдущего.

а)  Может ли последовательность (an) содержать ровно 5 различных чисел?

б)  Чему может равняться  если 

в)  Какое наименьшее значение может принимать наибольший член последовательности (an)?

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ (профильный уровень)
Вариант №5

1. Площадь параллелограмма ABCD равна 20. Точка E  — середина стороны CD. Найдите площадь трапеции ABED.

2. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 4 и 16. Найдите ребро равновеликого ему куба.

3. Фабрика выпускает сумки. В среднем 10 сумок из 140 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

Ответ округлите до сотых.

4. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,03 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

5.

Найдите корень уравнения 

6. Найдите значение выражения 

7. На рисунке изображён график   — производной функции  Найдите наименьшую абсциссу точки, в которой касательная к графику  параллельна прямой y  =  2x - 8 или совпадает с ней.

8. Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону  где t  — время с момента начала колебаний, T  =  2 с  — период колебаний,  м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле  где m  — масса груза в килограммах, υ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 1 секунду после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

9. Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

10. На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b, c и d  — целые. Найдите корень уравнения 

12. Найдите точку максимума функции 

12. а)  Решите уравнение 

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

13. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём  Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой BC.

а)  Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.

б)  Найдите угол между плоскостями α и SBC.

14. Решите неравенство: 

15. В июле 2018 года планируется взять кредит в банке на шесть лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 1% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите S, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составила 836 тысяч рублей.

16. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны стороны AC = 15, BC = 8. Окружность радиуса 2,5 с центром O на стороне BC проходит через вершину C. Вторая окружность касается катета AC, гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности.

а)  Докажите, что радиус второй окружности меньше, чем  длины катета 

б)  Найдите радиус второй окружности.

17. Найдите все положительные значения a, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы одно решение.

18. На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4.

а)  Может ли сумма составлять 282?

б)  Может ли их сумма составлять 390?

в)  Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 2226?

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ (профильный уровень)
Вариант №6

1. Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 3, равен 30°. Найдите сторону AB этого треугольника.

2. Диагональ куба равна  Найдите объём куба.

3. В кармане у Коли было четыре конфеты  — «Грильяж», «Ласточка», «Взлётная» и «Василёк», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Коля случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Ласточка».

4. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 14 октября погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 17 октября в Волшебной стране будет отличная погода.

5. Найдите корень уравнения 

6. Найдите  если  и 

7. На рисунке изображён график   — производной функции  определенной на интервале (−8; 3). В какой точке отрезка [−3; 2] функция  принимает наибольшее значение?

8. Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле  где  rпок  — средняя оценка магазина покупателями, rэкс  — оценка магазина, данная экспертами, K  — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно 7, их средняя оценка равна 0,32, а оценка экспертов равна 0,22.

9. Первая труба наполняет резервуар на 48 минут дольше, чем вторая. Обе трубы, работая одновременно, наполняют этот же резервуар за 45 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

10. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

11. Найдите точку максимума функции 

12. а)  Решите уравнение 

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

13. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра BC  =  5 и AB  =  AA1  =  8, M и N  — середины ребер CD и АА1 соответственно. Плоскость α проходит через точки M и B и параллельна прямой CD1.

а)  Докажите, что прямая DN параллельна плоскости α.

б)  Найдите расстояние между прямыми C1D и BD1.

14. Решите неравенство: 

15. В январе 2020 года был взят кредит в банке на 6 лет. Условия его возврата таковы:

— в феврале сумма долга увеличивается на 20% по сравнению с январем;

— с марта по октябрь необходимо выплатить часть долга;

— в ноябре каждого года, с первого по четвертый, долг должен быть на одну и ту же сумму меньше, чем в январе того же года;

— в декабре четвертого года долг клиента должен равняться половине суммы, взятой в кредит;

— в ноябре пятого и шестого годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на ноябрь предыдущего года.

На какую сумму был взят кредит, если первая выплата больше последней на 8000 рублей?

16. Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC  =  3MB.

а)  Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б)  Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC  =  10.

17. Найдите все значения a, при которых уравнение

имеет единственное решение.

18. Трехзначное число, меньшее 910, поделили на сумму его цифр и получили натуральное число n.

а)  Может ли n равняться 68?

б)  Может ли n равняться 86?

в)  Какое наибольшее значение может принимать n, если все цифры ненулевые?

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ (профильный уровень)
Вариант №7

1. В треугольнике ABC AC  =  BC  =  5,  Найдите АВ.

2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке

 (все двугранные углы прямые).

3. На конференцию приехали 5 ученых из Швеции, 7 из Италии и 4 из Чехии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двенадцатым окажется доклад ученого из Чехии.

4. При изготовлении подшипников диаметром 68 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,968. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 67,99 мм, или больше, чем 68,01 мм.

5. Найдите корень уравнения 

6.  Найдите  если 

7. На рисунке изображён график   — производной функции  Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику  параллельна прямой y  =  6 − 2x или совпадает с ней.

8. Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a км/ч2. Скорость вычисляется по формуле  где l  — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 250 метров, приобрести скорость 60 км/ч. Ответ выразите в км/ч2.

9. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди, второй  — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

10. На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b и c  — целые. Найдите 

11. Найдите точку максимума функции         

12. а)  Решите уравнение 

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

13. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 8, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM  =  2, SK  =  1. Плоскость  перпендикулярна плоскости ABC и содержит точки M и K.

а)  Докажите, что плоскость  содержит точку C.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью 

14. Решите неравенство: 

15. 31 декабря 2014 года Олег взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая  — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Олег переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 328 050 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 587 250 рублей, то за 2 года. Найдите а.

16. Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.

а)  Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.

б)  Найдите BC, если AH  =  4 и ∠BAC  =  60°.

17. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два решения.

18. На доске написали 27 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 22. Среднее арифметическое написанных чисел равно 21. С этими числами произвели следующие действия: четные числа разделили на 2, a нечетные умножили на 2. Пусть А  — среднее арифметическое оставшихся после этого чисел.

а)  Могло ли оказаться так, что A  =  10?

б)  Могло ли оказаться так, что A  =  12?

в)  Найдите наименьшее возможное значение А.

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ (профильный уровень)
Вариант №8

1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC  =  4,  Найдите АВ.