Степень суммы
статья по алгебре (7 класс)

Посмотрим на сумму слагаемых, в степени больше двух: (x + y)n

Геометрический смысл выражения, это один параллелепипед с квадратным сечением, где сторона сечения равна x + y, и третьей стороной фигуры, длиной –

 (x + y) n-2, (представьте или нарисуйте такой брусок);

то есть, арифметическое выражение, принимает вид:

(x + y)² × (x + y) n-2.

Или:

это одинаковые кубы, со стороной (x + y), в количестве (x + y) n-3.

Полное выражение:

(x + y) 3 × (x + y) n-3.

На примере:

(3 + 4)⁵ =  (3 + 4)³ × (3 + 4)²;

(3 + 4)³ ×  (3 + 4)² = 7³ × 7²;

7³ × 7² = 7³ × 49  =>  сорок девять кубиков, со стороной семь у каждого.

Или это прямоугольный параллелепипед, брусок, со сторонами 7 на 7 на 343:

(3 + 4)² ×  (3 + 4)³ = 7² × 7³        =>           7² × 7³ = 7² × 343.

Есть и третий, упрощённый  вариант от параллелепипеда:

это квадратные пластины, размером 7 на 7, и толщиной в единицу.

Количество пластин – 7³, то есть 343 штуки.

Арифметически так же:

(3 + 4)⁵ =  (3 + 4)² × (3 + 4)³ =  7² × 7³ = 7² × 343.

Здесь следует обязательно акцентировать:

эти три варианта любой степени суммы, являются исчерпывающими, для объективной, реальной геометрической интерпретации выражения (x + y)n.

(Рассматривать объект просто как кучу единичных кубиков смысла нет, это и так понятно))

Иных, реальных, геометрических представлений – арифметической степени суммы, не существует в принципе.

Вернёмся к арифметическому разложению квадрата суммы:

(x + y)² = x² + 2xy + y²,

И её геометрической интерпретации:

это как правило – два разных квадрата (>> необязательно!), величины которых, иногда могут быть выражены подходящими друг другу Пифагоровыми числами, что впрочем никак не изменяет форму квадрата суммы, её разложение, и правильность результата вычислений.

И поэтому, чтобы получить результатом квадрат, со стороной (x + y), нам необходимо дополнительное количество единичных квадратов, общим числом 2xy, что хорошо и видно – из формулы разложения.

Для закрепления и тренировки, воспользуемся, пожалуй – одной из самых удобных для этого арифметических конструкций – выражением из большой теоремы Ферма.

Напомним теорему:

В примере х n + y n   [= или ≠ ?]    z n, где все переменные, включая показатель – натуральные, и все – больше двух, равенства не существует.

Теорема о невозможности такого равенства, давно доказана для любых сочетаний переменных.

[А для квадратов, как нам уже известно – равенств бесконечно, и это - Пифагоровы тройки].

Нам же, предстоит сделать обычный, арифметический анализ этой формулы, исходя из алгоритмов суммы квадратов и квадрата суммы, на «школьном» уровне.

Примем в выражении, за меньшее слагаемое – первое из них, для единообразия наших рассуждений.

Итак:

с чего нужно начать – так это сделать разложение каждого слагаемого на сумму квадратов, как уже было показано выше.

То есть: x n = x 2 × x n-2, что означает – вот столько (x n-2) – квадратов x², сумма.

Пример:

3⁶ = 3² × 3⁴ = 3² × 81 = 3² + 3² + …. + 3² (81 шт), восемьдесят один квадрат, со стороной три, каждый.

Таким образом, когда разложим выражение из теоремы Ферма, то перед нами окажутся:

-- первое слагаемое в виде суммы одних квадратов,

-- и второе слагаемое, в виде суммы больших квадратов,

и самих квадратов – будет тоже больше, поскольку больше основание.

Пример:

3³ = 3²×3 = 3² + 3² + 3²              => три квадрата со стороной три каждый;

4³ = 4² × 4 = 4² + 4² + 4² + 4²   => четыре квадрата со стороной четыре.

То есть, формулируем правило:

Количество квадратов, для переменных с одинаковым показателем, но разными основаниями – тем больше, чем больше основание степени.

Исходя из этого соотношения, ясно, что у результата в правой части выражения Ферма, если бы вдруг равенство было истинным – могло быть только самое большое количество квадратов, поскольку основание там наибольшее.

Запомним это правило, оно является определяющим окончательный результат, в дальнейших рассуждениях.

Получив сумму двух сумм разных квадратов, у нас есть варианты подсчёта:

первый – мы можем сложить вместе по два одинаковых квадрата отдельно в каждом слагаемом, и только затем – сложить получившиеся квадраты – из разных слагаемых;

и второй – сразу начать попарно складывать квадраты из разных слагаемых.

В первом варианте, для каждой суммируемой пары х² + х², согласно формулам квадрата суммы, (ведь нам нужно получить квадрат!) – необходимы дополнительные элементы, в количестве:

х × х × 2 = 2х² тогда получим:

х² +2х²+ х². 

То есть: на каждую пару суммируемых двух квадратов из первого слагаемого, надо добавить ещё два таких же, иначе – никакого квадрата не получится.

[нарисуйте квадрат со стороной, к примеру – три клеточки, и сразу будет видно: для получения из таких* – большого квадрата, нужно ровно четыре штуки].

В итоге, общее количество новеньких, больших квадратов в первом слагаемом, полученных в ходе суммирования – станет ровно в четыре раза меньше, чем было.

И во втором слагаемом – такая же история.

Всё, дальнейшее сложение квадратов между собой в любом порядке – утратило всякий смысл. Почему?

По причине того, что в результате – после знака равно, ожидалось самое большое количество, самых больших квадратов, согласно уже известному нам правилу:

Количество квадратов, для переменных с одинаковым показателем, но разными основаниями – тем больше, чем больше основание степени.

А здесь уже видно, что количество квадратов в сумме, в левой части, при дальнейшем суммировании – не достигнет даже их числа, какое было изначально в наибольшем, втором слагаемом.

Ибо стало их, гораздо меньше.

Вывод: данный вариант суммы нам не подходит, пробуем второй:

-- каждый квадрат первого слагаемого, суммируется с одним из квадратов второго слагаемого, попарно: x² + y² = z², x² + y² = z², x² + y= z²,  … x² + y² = z²,

<и это – только для Пифагоровых троек, иначе – всё ещё печальнее, по слишком малому количеству квадратов, см. ниже>.

-- поскольку в первом слагаемом – количество квадратов [допустим, N штук] – заведомо меньше чем во втором слагаемом (скажем, M штук), то новых, больших квадратов, получится ровно столько, как и было в первом, [в первом слагаемом было N штук квадратов, значит – попарно сложиться они смогут только с N штуками квадратов из второго слагаемого ]:

N×x² + N×y² = N×z²  

<и это в самом идеальном варианте, когда квадраты – Пифагоровы, для троек>

-- ну и незадействованных в сложении квадратов от второго слагаемого, останется сколько-то, {M –  N = К штук}:  К×y².

Здесь важно то, что общее количество всех квадратов в левой части после первого же суммирования, резко уменьшится, и станет ровно такое же, какое было во втором слагаемом, до всех операций сложения:

В левой части выражения, количество квадратов, стало: =>  

N×z² + K×y² = М  [всех квадратов. Ровно столько и было, в наибольшем, втором слагаемом].

Разве что часть из них, стали большего размера z², вследствие слияния квадратов из второго слагаемого – y², с уже исчезнувшими без следа квадратамгти первого – х² .

И уже на этом этапе, дальнейшее суммирование, теряет всякий смысл, поскольку результат, после знака равно, недвусмысленно обязывает наличие самых больших квадратов – в количестве заведомо большем, чем было в самом большом слагаемом, М.

Все основные варианты суммы квадратов в левой части исчерпаны, а любая перегруппировка квадратов, изменение их величин и количеств слева, за счёт друг друга – результат увеличить не в состоянии, этого не даст сделать переместительный закон.

Пример:

как бы не пытаться комбинировать единицы в слагаемых 2² + 3²,

иной суммы, нежели 13, получить никак не выйдет.

Итак, посредством правил суммы квадратов, квадрата суммы, и Пифагоровых троек, нам теперь можно сделать обоснованный вывод:

С позиции именно вышеуказанных арифметических правил, большая теорема Ферма истинна, приведённое в ней выражение, действительно равенством быть не может.