Методическое пособие для учащихся 8-9 кл "Способы решения квадратных уравнений"
методическая разработка по алгебре (8, 9 класс)

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа с.Ракитное»

Дальнереченского муниципального района

Приморского края

Методическое пособие для учащихся 8-9 классов

«Способы решения квадратных уравнений»

Составитель: И.В.Кузнецова,

учитель математики

Ракитное

2022г

Содежание

Введение………………………………………………………………………3

1.Теорретическая часть………………………………………………………4

2.Практическая часть…………………………………………………………8

Вывод………………………………………………………………………….11

Список используемой литературы и интернет источники……………..…..11

ВВЕДЕНИЕ

Квадратные уравнения – это основа при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Многие физические  задачи решаются с их помощью : рассчитать тормозной путь автомобиля, мощность ракеты для вывода на орбиту космического корабля, траектории движения различных физических объектов – от элементарных частиц до звёзд.

Применение разнообразных способов решения поможет сэкономить время и значительно повысить эффективность и качество решения квадратных уравнений.

Анализ учебников алгебры за 8 класс разных авторов позволяет сделать вывод, что самыми распространенными способами решения квадратных уравнений являются способы решения по формуле, то есть через дискриминант и по теореме Виета. Такие способы, как выделение квадрата двучлена, решение уравнений с четным коэффициентом при х, рассматриваются в каждом учебнике алгебры. Разложение левой части уравнения на множители и графический способ решения квадратных уравнений изучается в учебнике А.Г. Мордковича. В учебнике, автором которого является Г.В. Дорофеев, учащихся знакомят с интересным способом решения уравнений с целыми коэффициентами, этот способ автор поместил в раздел «Для тех, кому интересно».

В дополнительной литературе можно найти нестандартные способы решения кв. уравнений. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на контрольных работах и экзаменах.

   1.ТЕОРРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Стандартные методы (изучаются в учебниках):

• решение квадратных уравнений по формулам,
• решение с использованием формул для четного коэффициента,
• теорема Виета,
• разложение левой части на множители,
• выделение полного квадрата,
• графический метод.

         Нестандартные методы:

• решение способом «переброски» коэффициентов,
• свойства коэффициентов квадратного уравнения,
• Султанов способ,
• решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки,
• геометрический способ.

1. Свойства коэффициентов квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0

1. Если a + b + c = 0, то х1 = 1, х2 =  

2. Если а + с = b, то х1 = –1, х2 = –  

3. Если b = a2 + 1 и c = a, то x1 = – a, x2= –

4. Если b = – ( a2 + 1 ) и  c = a, то x1 = a, x2=

5. Если b = a2–1, c = – a, то x1 = – a, x2 =

6. Если b = – ( a2 –1), c = – a, то x1 = a, x2 = – 

7. Если а + в = с, то корней нет.

Пример:  Решить уравнение 839 x2 – 448 x – 391 = 0

839 – 448 – 391 = 0, то x1 = 1, x2 = –839/391

Ответ: – 839/391; 1.

Пример: Решим уравнение 6 х2 + 37 х + 6 = 0.

Так как b = a2 + 1, c = a, то x1 = – a, x2 = – 1/а

37 = 36 + 1, то x1 = – 6, x2 = –1/6

Ответ: – 6; – 1/6.

2. Решение уравнений способом «переброски» старшего коэффициента

Решим уравнение ах2+bх + с = 0.  Умножив обе части уравнения на а, получим

а2х2 +аbх + ас = 0.  Пусть ах = у. Тогда получим уравнение с новой переменной  

у2 +bу + с = 0. Его корни у1 и у2. Окончательно:, .

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета, и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример: 2х2 – 11х + 15 = 0 

Перебросим коэффициент а = 2 к свободному члену и получим уравнение:

у2 – 11у + 30 = 0, из которого по теореме Виета у1= 5, у2 = 6. 

Тогда корнями исходного уравнения будут x1 = 5 : 2 = 2,5, х2 = 6 : 2 = 3.

Ответ: 2,5; 3.

Пример: 3х2 + 4х – 7=0.

«Перебросим» коэффициент 3 к свободному члену, в результате получим уравнение у2 + 4у – 21 = 0. Согласно теореме Виета у1= – 7, у2 = 3      

                                                                       х1 = ,   x2 =    

  Ответ:  х1 = , x2 = 1 .    

3. Султанов метод

Решим уравнение 4х2 +35х – 9=0.

Разделим всё уравнение на х и перенесем свободный член в другую часть:

4х+35= 9/х.

Найдем делители числа 9: -1; 1; -3; 3; -9 ;9. Проверяем каждый из них. Быстро определяем, что подходит число -9. Это первый корень.

Второй корень определяем так: с : х1 : а. 

–9 : (–9) : 4=1/4.

Ответ: –9; 1/4.

Пример: Решить уравнение 2х2 + 21х – 11 = 0.

2х + 21 = 11/х

Делители числа 11: –1; 1; -11; 11.

Проверяем каждый из них. Подходит число –11.

Второй корень: –11 : (– 11) : 2 = 0,5

Ответ: 0,5; –11.

4. Геометрический способ решения квадратных уравнений

Решение уравнения  у2 + 6у – 16 = 0

представлено на рисунке, где y2+ 6у = 16 или у2 + 6у + 9 = 16 + 9:

Выражения у2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой площадь одного и того же квадрата, а исходное уравнение и у2 + 6у – 16 + 9 – 9 = 0 – одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = – 8.

5.Решение при помощи циркуля и линейки

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения  

 ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки.

2.ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Решим квадратное уравнение 2х2 +7х –9 = 0 различными способами:

1. Разложение левой части уравнения на множители:

2х2 + 7х – 9 = 0

2х2 +9х – 2х – 9 =0

(2х2 +9х) – (2х + 9) = 0

х(2х +9) – (2х +9) = 0

(х – 1)(2х + 9) = 0

х –1 = 0 или   2х + 9 = 0

х = 1                х = –4,5

Ответ: –4,5; 1.

2. По формуле корней квадратного уравнения:

2х2 + 7х – 9 = 0

a = 2, b = 7, c = –9

D = 49 + 72 = 121

D > 0 (2 корня)

Ответ: –4,5; 1.

3. Выделение полного квадрата:

2х2+ 7х – 9 = 0

Разделив левую и правую части

уравнения на 2, получим:

х2 +  х – = 0

х2+ 2··х +()2 =()2+

(х +)2 =  

х+= –  или х +=

х = – 4,5                            х = 1

Ответ: –4,5; 1

4. По теореме Виета:

2х2+ 7х – 9 = 0

Разделив левую и правую части уравнения на 2, получим:

х2 +  х – = 0

x1 + x2 =

x1∙x2 = –

х1 = – 4,5               х2 = 1            

Ответ: –4,5; 1.

5. По свойству коэффициентов:

2х2 + 7х – 9 = 0

a = 2, b = 7, c = –9

Так как   a + b+ c = 2 + 7 – 9 = 0,

то   х1=1, х2 = –4,5

Ответ: –4,5; 1.

6.   Способ «переброски»: 

2х2+ 7х – 9 = 0

Перебросим коэффициент а = 2 к свободному члену и получим уравнение

y2 +7у –18 = 0, из которого по теореме Виета у1= 2, у2 = – 9.

Тогда корнями исходного уравнения будут х1= 2/2=1, x2= –9/2= –4,5

Ответ: –4,5; 1.

7. Графический способ:

2х2 + 7х – 9 = 0

Запишем уравнение в виде

2х2 = 7х + 9

и в одной системе координат построим графики функций

у = 2х2      и     у = 7х + 9

Ответ: –4,5; 1.

8. . Султанов метод 

2х2 + 7х – 9 = 0

Свободный член перенесем в правую часть и разделим все уравнение на х

2х + 7 = 9/х 

Найдем делители числа 9:

±1; ±3; ±9

Проверяем каждый из них. Быстро находим, что подходит число 1, это и есть первый корень.

Второй корень определяем так:

 с: х1 : а

– 9: 1 : 2 = – 4,5

Ответ: – 4,5; 1.

9. Геометрический способ:

2х2 + 7х – 9 = 0

Представим уравнение в виде:          

 х2 + х =

Площадь полученного квадрата:

S = (х +)2

Так как ,

то S = (х + )2 =

Таким образом, получили

уравнение:

(x + )2 =

 х+= –    или   х +=

х = – 4,5                            х = 1

Ответ: – 4,5; 1.

10. С помощью циркуля и линейки:

2х2 + 7х – 9 = 0

Определим координаты центра окружности по формулам:

.  

S ( )

Проведем окружность радиуса SA, где А(0;1).

Ответ: –4,5; 1.

11. По формуле четного коэффициента

2х2 + 7х – 9 = 0

Умножим все уравнение на 2.

4х2 + 14х – 18 = 0

Применяем формулу  

, k =

x1 = 1, х2 = –4,5

Ответ: – 4,5; 1

ВЫВОД

Так как эти способы решения квадратных уравнений просты в применении, то они могут заинтересовать учеников 8-9 классов при изучении математики.

Данное пособие можно использовать при подготовке к сдаче ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Но следует учесть, что каждый способ имеет свои «плюсы» и «минусы».

Список литературы и интернет ресурсов

1. Сетевая консультация «Нестандартные способы решения квадратных уравнений» (Шорохова Ольга Михайловна, учитель математики МБОУ «Первомайская СОШ» Павловского района Алтайского края, тьютор Мобильной сети учителей математики Алтайского края) 2021
2. Задачи по математике. Уравнения и неравенства: справочное пособие / В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н. Олехник, П.И. Пасиченко. – М. : Наука, 1987.
3. Математика. 8-9 классы: сборник электронных курсов / В.Н. Студенецкая, Л.С. Сагателова. – М. : Учитель, 2006.
4. Математический калейдоскоп / В.Г. Штейнгауз. – М. : Бюро «Квантум», 2005.
5. Пресман, А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки // Квант. – 1972. – № 4. – С. 34.