Методическое пособие для учащихся 8-9 кл "Способы решения квадратных уравнений"
методическая разработка по алгебре (8, 9 класс)
Квадратные уравнения – это основа при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Многие физические задачи решаются с их помощью : рассчитать тормозной путь автомобиля, мощность ракеты для вывода на орбиту космического корабля, траектории движения различных физических объектов – от элементарных частиц до звёзд.
Применение разнообразных способов решения поможет сэкономить время и значительно повысить эффективность и качество решения квадратных уравнений.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 256.44 КБ |
Предварительный просмотр:
Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа с.Ракитное»
Дальнереченского муниципального района
Приморского края
Методическое пособие для учащихся 8-9 классов
«Способы решения квадратных уравнений»
Составитель: И.В.Кузнецова,
учитель математики
Ракитное
2022г
Содежание
Введение………………………………………………………………………3
1.Теорретическая часть………………………………………………………4
2.Практическая часть…………………………………………………………8
Вывод………………………………………………………………………….11
Список используемой литературы и интернет источники……………..…..11
ВВЕДЕНИЕ
Квадратные уравнения – это основа при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Многие физические задачи решаются с их помощью : рассчитать тормозной путь автомобиля, мощность ракеты для вывода на орбиту космического корабля, траектории движения различных физических объектов – от элементарных частиц до звёзд.
Применение разнообразных способов решения поможет сэкономить время и значительно повысить эффективность и качество решения квадратных уравнений.
Анализ учебников алгебры за 8 класс разных авторов позволяет сделать вывод, что самыми распространенными способами решения квадратных уравнений являются способы решения по формуле, то есть через дискриминант и по теореме Виета. Такие способы, как выделение квадрата двучлена, решение уравнений с четным коэффициентом при х, рассматриваются в каждом учебнике алгебры. Разложение левой части уравнения на множители и графический способ решения квадратных уравнений изучается в учебнике А.Г. Мордковича. В учебнике, автором которого является Г.В. Дорофеев, учащихся знакомят с интересным способом решения уравнений с целыми коэффициентами, этот способ автор поместил в раздел «Для тех, кому интересно».
В дополнительной литературе можно найти нестандартные способы решения кв. уравнений. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на контрольных работах и экзаменах.
1.ТЕОРРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Стандартные методы (изучаются в учебниках):
- решение квадратных уравнений по формулам,
- решение с использованием формул для четного коэффициента,
- теорема Виета,
- разложение левой части на множители,
- выделение полного квадрата,
- графический метод.
Нестандартные методы:
- решение способом «переброски» коэффициентов,
- свойства коэффициентов квадратного уравнения,
- Султанов способ,
- решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки,
- геометрический способ.
1. Свойства коэффициентов квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0
1. Если a + b + c = 0, то х1 = 1, х2 =
2. Если а + с = b, то х1 = –1, х2 = –
3. Если b = a2 + 1 и c = a, то x1 = – a, x2= –
4. Если b = – ( a2 + 1 ) и c = a, то x1 = a, x2=
5. Если b = a2–1, c = – a, то x1 = – a, x2 =
6. Если b = – ( a2 –1), c = – a, то x1 = a, x2 = –
7. Если а + в = с, то корней нет.
Пример: Решить уравнение 839 x2 – 448 x – 391 = 0
839 – 448 – 391 = 0, то x1 = 1, x2 = –839/391
Ответ: – 839/391; 1.
Пример: Решим уравнение 6 х2 + 37 х + 6 = 0.
Так как b = a2 + 1, c = a, то x1 = – a, x2 = – 1/а
37 = 36 + 1, то x1 = – 6, x2 = –1/6
Ответ: – 6; – 1/6.
2. Решение уравнений способом «переброски» старшего коэффициента
Решим уравнение ах2+bх + с = 0. Умножив обе части уравнения на а, получим
а2х2 +аbх + ас = 0. Пусть ах = у. Тогда получим уравнение с новой переменной
у2 +bу + с = 0. Его корни у1 и у2. Окончательно:, .
При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета, и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Пример: 2х2 – 11х + 15 = 0
Перебросим коэффициент а = 2 к свободному члену и получим уравнение:
у2 – 11у + 30 = 0, из которого по теореме Виета у1= 5, у2 = 6.
Тогда корнями исходного уравнения будут x1 = 5 : 2 = 2,5, х2 = 6 : 2 = 3.
Ответ: 2,5; 3.
Пример: 3х2 + 4х – 7=0.
«Перебросим» коэффициент 3 к свободному члену, в результате получим уравнение у2 + 4у – 21 = 0. Согласно теореме Виета у1= – 7, у2 = 3
х1 = , x2 =
Ответ: х1 = , x2 = 1 .
3. Султанов метод
Решим уравнение 4х2 +35х – 9=0.
Разделим всё уравнение на х и перенесем свободный член в другую часть:
4х+35= 9/х.
Найдем делители числа 9: -1; 1; -3; 3; -9 ;9. Проверяем каждый из них. Быстро определяем, что подходит число -9. Это первый корень.
Второй корень определяем так: с : х1 : а.
–9 : (–9) : 4=1/4.
Ответ: –9; 1/4.
Пример: Решить уравнение 2х2 + 21х – 11 = 0.
2х + 21 = 11/х
Делители числа 11: –1; 1; -11; 11.
Проверяем каждый из них. Подходит число –11.
Второй корень: –11 : (– 11) : 2 = 0,5
Ответ: 0,5; –11.
4. Геометрический способ решения квадратных уравнений
Решение уравнения у2 + 6у – 16 = 0
представлено на рисунке, где y2+ 6у = 16 или у2 + 6у + 9 = 16 + 9:
Выражения у2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой площадь одного и того же квадрата, а исходное уравнение и у2 + 6у – 16 + 9 – 9 = 0 – одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = – 8.
5.Решение при помощи циркуля и линейки
Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения
ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки.
Данный способ заключается в том, чтобы при нахождении корней уравнения ах2 +bх + с = 0 отметить в системе координат точки S () и А (0;1) и провести окружность с центром в точке S и радиусом SA. Абсциссы точек пересечения с осью Ох есть корни исходного уравнения. | |
Возможны три случая: | |
1) Радиус окружности больше ординаты центра SA>SB или R > , окружность пересекает ось Ох в двух точках (x1; 0) и (х2; 0) , где x1 и x2 корни исходного уравнения. | |
2) Радиус окружности равен ординате центра SA=SB или R=, окружность пересекает ось Ох в одной точке (x1; 0), где x1 – корень исходного уравнения. | |
3) Радиус окружности меньше ординаты центра SA<SB или R< , окружность не имеет общих точек с осью Ох. В этом случае исходное уравнение не имеет корней. | |
Пример: 2х2 + 3х + 1 = 0 Определим координаты центра окружности по формулам: ;, то есть S Ответ: –1; –0,5. |
2.ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Решим квадратное уравнение 2х2 +7х –9 = 0 различными способами:
1. Разложение левой части уравнения на множители:
2х2 + 7х – 9 = 0
2х2 +9х – 2х – 9 =0
(2х2 +9х) – (2х + 9) = 0
х(2х +9) – (2х +9) = 0
(х – 1)(2х + 9) = 0
х –1 = 0 или 2х + 9 = 0
х = 1 х = –4,5
Ответ: –4,5; 1.
2. По формуле корней квадратного уравнения:
2х2 + 7х – 9 = 0
a = 2, b = 7, c = –9
D = 49 + 72 = 121
D > 0 (2 корня)
Ответ: –4,5; 1.
3. Выделение полного квадрата:
2х2+ 7х – 9 = 0
Разделив левую и правую части
уравнения на 2, получим:
х2 + х –
= 0
х2+ 2··х +()2 =()2+
(х +)2 =
х+= – или х +=
х = – 4,5 х = 1
Ответ: –4,5; 1
4. По теореме Виета:
2х2+ 7х – 9 = 0
Разделив левую и правую части уравнения на 2, получим:
х2 + х – = 0
x1 + x2 =
x1∙x2 = –
х1 = – 4,5 х2 = 1
Ответ: –4,5; 1.
5. По свойству коэффициентов:
2х2 + 7х – 9 = 0
a = 2, b = 7, c = –9
Так как a + b+ c = 2 + 7 – 9 = 0,
то х1=1, х2 = –4,5
Ответ: –4,5; 1.
6. Способ «переброски»:
2х2+ 7х – 9 = 0
Перебросим коэффициент а = 2 к свободному члену и получим уравнение
y2 +7у –18 = 0, из которого по теореме Виета у1= 2, у2 = – 9.
Тогда корнями исходного уравнения будут х1= 2/2=1, x2= –9/2= –4,5
Ответ: –4,5; 1.
7. Графический способ:
2х2 + 7х – 9 = 0
Запишем уравнение в виде
2х2 = 7х + 9
и в одной системе координат построим графики функций
у = 2х2 и у = 7х + 9
Ответ: –4,5; 1.
8. . Султанов метод
2х2 + 7х – 9 = 0
Свободный член перенесем в правую часть и разделим все уравнение на х
2х + 7 = 9/х
Найдем делители числа 9:
±1; ±3; ±9
Проверяем каждый из них. Быстро находим, что подходит число 1, это и есть первый корень.
Второй корень определяем так:
с: х1 : а
– 9: 1 : 2 = – 4,5
Ответ: – 4,5; 1.
9. Геометрический способ:
2х2 + 7х – 9 = 0
Представим уравнение в виде:
х2 + х =
Площадь полученного квадрата:
S = (х +)2
Так как ,
то S = (х + )2 =
Таким образом, получили
уравнение:
(x + )2 =
х+= – или х +=
х = – 4,5 х = 1
Ответ: – 4,5; 1.
10. С помощью циркуля и линейки:
2х2 + 7х – 9 = 0
Определим координаты центра окружности по формулам:
.
S ( )
Проведем окружность радиуса SA, где А(0;1).
Ответ: –4,5; 1.
11. По формуле четного коэффициента
2х2 + 7х – 9 = 0
Умножим все уравнение на 2.
4х2 + 14х – 18 = 0
Применяем формулу
, k =
x1 = 1, х2 = –4,5
Ответ: – 4,5; 1
ВЫВОД
Так как эти способы решения квадратных уравнений просты в применении, то они могут заинтересовать учеников 8-9 классов при изучении математики.
Данное пособие можно использовать при подготовке к сдаче ОГЭ и ЕГЭ по математике.
Но следует учесть, что каждый способ имеет свои «плюсы» и «минусы».
Способ решения квадратного уравнения | Достоинства, недостатки способа |
Решение квадратных уравнений с использованием теоремы Виета | Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть корни уравнения. Легко можно найти только целые корни |
Решение квадратных уравнений способом переброски | За минимальное количество действий можно найти корни уравнения. Применяется совместно с теоремой Виета. Легко можно отыскать только целые корни |
Свойства коэффициентов квадратного уравнения | Не требует особых усилий. Подходит только к некоторым уравнениям |
Графическое решение квадратных уравнений Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки | Наглядный способ. Могут быть неточности при построении графиков и определении корней уравнения |
Решение квадратных уравнений с помощью номограммы | Наглядный способ, прост в применении. Не всегда под рукой имеется номограмма |
Геометрический способ решения квадратных уравнений | Наглядный способ, похож на способ выделения полного квадрата |
Список литературы и интернет ресурсов
- Сетевая консультация «Нестандартные способы решения квадратных уравнений» (Шорохова Ольга Михайловна, учитель математики МБОУ «Первомайская СОШ» Павловского района Алтайского края, тьютор Мобильной сети учителей математики Алтайского края) 2021
- Задачи по математике. Уравнения и неравенства: справочное пособие / В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н. Олехник, П.И. Пасиченко. – М. : Наука, 1987.
- Математика. 8-9 классы: сборник электронных курсов / В.Н. Студенецкая, Л.С. Сагателова. – М. : Учитель, 2006.
- Математический калейдоскоп / В.Г. Штейнгауз. – М. : Бюро «Квантум», 2005.
- Пресман, А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки // Квант. – 1972. – № 4. – С. 34.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2015/01/08/picture-560350-1420741323.jpg)
Тест по алгебре для учащихся 8 класса по теме "Решение квадратных уравнений"
Данный тест п озволяет оценить начальный уровень подготовки учащихся 8-х классов по теме "Решение квадратных уравнений"Система оценивания работы:За каждое правильное решенное 1-6 задание -1 балл...
![](/sites/default/files/pictures/2015/08/31/picture-660112-1441028873.jpg)
Пособие для учащихся Применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений
В пособии представлен алгоритм нахождения корней приведенного квадратного уравнения. Пособие предназначено ученикам 9 класса в помощь при подготовке к ОГЭ, а также учителям при организации уроков повт...
Курс обучения решению квадратных уравнений для учащихся 8-9 классов
Краткий справочник, алгоритмы решений квадратных уравнений, формулы и практические задания с ответами. Предназначен для самобразования, устранения пробелов в знаниях и отработки навыков решения квадра...
Конспект урока по теме: квадратные уравнения. Решение квадратных уравнений.
Урок в 8 классе по теме Учитель математики: Папшева Ю.А. Тема урока: Квадратные уравнения. Ре...
![](/sites/default/files/pictures/2019/01/19/picture-1103853-1547877482.jpg)
Учебно-методическое пособие по теме «Решение квадратных уравнений»
Данное учебно-методическое пособие содержит полный набор правил и формул данной темы. К каждому правилу приведены примеры с подробным решением....
Методические рекомендации к изучению темы: « Решение квадратных уравнений» с применением теоремы Виета для решения приведенного квадратного уравнения и полного квадратного уравнени
Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто в старших классах, Решение иррациональных, показательных , логарифмических ,тригонометрических уравнений часто сводится к решени...
![](/sites/default/files/pictures/2019/12/22/picture-1199414-1577028973.jpg)
Методическое пособие по решению квадратных уравнений
Методическое пособие по решению квадратных уравнений...