6. Формулы половинного аргумента (знак – по функции в левой части):        1.        Считая числовую окружность образом беговой дорожки стадиона,

1. sin α = ±

2

1− cos α

2. cos α = ±

2

отметьте на ней конец дистанции: а) 1500 м; б) 42 км 195 м.

2.        Дана окружность радиуса 1 см. Чему равна длина: а) всей окружности;

3. tg α = ±

2

=    sinα 1+ cos α

= 1− cos α ; sinα

α ≠ π + 2πn,

n ∈ Z

б) ее половины; в) ее четверти?

Горизонтальный диаметр СА и вертикальный        В

7. Формулы сумм:

α + β        α − β

диаметр DB разбивают единичную окружность

на четыре четверти: АВ – первая, ВС – вторая,        С        А

3. sin α + sinβ = 2 sin

cos

2        2

CD – третья, DA – четвертая.

Опираясь        на        эту        геометрическую        модель,

4. sin α − sinβ = 2 sin α − β cos α + β

решите задачи № 3, 4, 5, 6, 7, 8.        D

5. cos α + cos β = 2 cos

2

α + β

2

cos

2

α − β

2

3. Первая четверть разделена точкой М на две равные части, а точками К и Р – на три равные части (точка Р между М и В). Чему равна длина дуги: АМ, МВ, АК, КР, РВ, АР, КМ?

4. cos α − cos β = −2 sin α + β sin α − β = 2 sin α + β sin β − α

2        2        2        2

5. tg α ± tg β = sin(α ± β) ;        α,        π        n, n ∈ Z

4. Вторая четверть разделена пополам точкой М, а третья четверть

разделена на три равные части точками К и Р (точка Р между К и D).

cos α cos β

6. ctg α ± ctg β = sin(β ± α) ;

sin αsinβ

8. Формулы произведений:

β ≠        + π

2

α,β ≠ πn,

n ∈ Z

Чему равна длина дуги: АМ, ВК, МР, DC, КА, ВР, СВ, ВС?

5. Вторая четверть разделена точкой М пополам, а четвертая четверть разделена на три равные части точками К и Р (точка Р между К и А). Чему равна длина дуги: АМ, АК, АР, РВ, МК, КМ?

1. sinαsinβ = 1 (cos(α − β) − cos(α + β))

2

1         

6. Первая четверть разделена на две равные части точкой М, а четвертая разделена на три равные части точками К и Р (точка Р между К и А). Чему равна длина дуги: АМ, ВD, CK, MP, DM, MK, СP, PС?

2. cos α cos β =

2

cos(α − β) + cos(α + β)

.        Третья четверть разделена точкой Р в отношении 1 : 5. Чему равна

3. sin α cos β = 1 (sin(α − β) + sin(α + β))

2

длина дуги: СР, PD, АР?

.        Первая четверть разделена точкой М в отношении 2 : 3. Чему равна

9. Универсальная тригонометрическая подстановка:

длина дуги: АМ, МВ, DM, МС?

2tg α

1.   sinα =        2

1+ tg2 α

2

1− tg2 α

2. cos α =        2 ;

1+ tg2 α

2

α ≠ π + 2πn, n ∈ Z

9.        Выразите в радианах:

1) 1°;        4) 10°;        7) 15°;        10) 30°;

2) 45°;        5) 60°;        8) 70°;        11) 90°;

10. Некоторые дополнительные формулы:

3) 225°;        6) 240°;        9) 320°;        12) 330°.

6. a sinα + b cos α = Asin(α + ϕ),

где

A =    a2 + b2 ,

ϕ = arctg b

a

10. Переведите из градусной меры в радианную:

⎛ π        ⎞        ⎛ π        ⎞

2.   cos α ± sinα =

2 sin⎜        ± α⎟ =

4

2 cos⎜        μ α⎟

4

⎝        ⎠        ⎝        ⎠

11. Выразите в градусах:

1)   π ;        4)   π ;        7) π ;        10) 7π ;

1. Основное тригонометрическое тождество и следствия из него:

1. sin2 α + cos 2 α = 1

15        12        8        9

2        1        π

2) 2π ;        5) 11π ;        8) 1,5π;        11) 3π;

2. 1+ tg α = cos 2 α ;

α ≠        + πn,

2

n ∈ Z

3        6

3) 0,25π;        6) 21 π;        9) – 31 π;        12) 101 π.

3. 1+ ctg 2α =

1        ;        α ≠ πn,

n ∈ Z

4        6        12

sin2 α

12. Переведите из радианной меры в градусную:

4. tg α ⋅ ctg α = 1;

α ≠ πn ,

n ∈ Z

1) 3π ;        3)

5π

11π ;        5)

7π

6π ;        7)

11π

46π

9

47π

2

2. Формулы (теоремы) сложения аргументов:

2)        8 ;        4)

12 ;        6)

12 ;        8)        9   .

1. sin(α + β) = sinα cos β + cos αsinβ
2. sin(α − β) = sinα cos β − cos αsinβ

13. Окружность разделена на шесть равных частей. Выразить в градусах и радианах

сумму дуг:        D        A

3. cos(α + β) = cos α cos β − sin αsinβ
4. cos(α − β) = cos α cos β + sinαsinβ

1. ∪AECBF + ∪EAB + ∪DCB ;
2. ∪AFE + ∪EDC + ∪CD + ∪BD + ∪DCBA .

14. Угол А трапеции ABCD (AD || BC) на 70° меньше угла В и на 10° больше угла D. Найдите радианную меру каждого из углов трапеции.

5. tg (α + β) =

6. tg (α − β) =

tg α + tg β ; 1− tg α tg β

tg α − tg β ; 1+ tg α tg β

α,β,

α,β,

α + β ≠

α − β ≠

π + πn, 2

π + πn, 2

n ∈ Z

n ∈ Z

15. Перечертите в тетрадь и заполните таблицу:

16. Один из углов треугольника больше другого на 20° и меньше третьего

3. Формулы приведения:

1. функция меняется на кофункцию при переходе через вертикальную ось и не меняется при переходе через горизонтальную;
2. перед приведенной функцией ставится знак приводимой функции, считая α углом первой четверти.

4. Формулы двойного аргумента:

на 50°. Найдите радианную меру каждого из углов этого треугольника.

1.   sin 2α = 2sinα cos α,

отсюда

sinα cos α = 1 sin 2α

2

17. Записать общий вид углов для случаев, когда

конечный радиус их занимает положение: 1) ОВ;        А

2.   cos 2α = cos2 α − sin2 α = 1 − 2sin2 α = 2 cos2 α −1

2

2. ОС и найти несколько частных значений этих углов.

18. В какой четверти находится конечная точка поворота на угол:

3. tg 2α =

2tg α

1 − tg2α

4. ctg 2α = ctg α −1

2ctg α

1) 220°;        3) –160°;        5) 906°;

2) 285°;        4) –290°;        6) 4825°?

19.        Представьте в виде α0 + 360° ⋅ п (α0 ∈ [0°; 360°), п ∈ Z) углы:

5. Формулы понижения степени:

1. sin2 α = 1 (1 − cos 2α) 2

2. cos 2 α = 1 (1 + cos 2α) 2

3.   tg2α = 1 − cos 2α

1 + cos 2α

4.   ctg2α = 1 + cos 2α

1 − cos 2α

128. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит один из его катетов на отрезки 3 см и 4 см. Вычислите косинусы

20.        Найти на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу:

острых углов треугольника.

129. В квадрат со стороной а вписан другой квадрат так, что вершины

1)        π , π, 2

3π ,

2

2π,

7π ,

2

9π,

− 3π ;

2

второго квадрата лежат на сторонах первого, а сторона второго квадрата

образует угол α со сторонами первого. Найдите сторону вписанного квадрата.

2)        π , π , 6        4

π , − 5π ,

3        4

7π ,

6

5π .

3

130. Пусть α, β и γ – углы некоторого треугольника. Докажите, что для них выполняются следующие соотношения:

21. Отметьте на координатной окружности точки, соответствующие числам:

1. sinα + sinβ + sin γ = 4 cos α        β        γ ;

1)        π ,

2π ,

π ,   − 7π ,

π,   3π ;        2)

− 9π ,

π , 5π ,

11π ,

− 17π .

cos        cos

2        2        2

3        3        6        6

2        4        4        4        4

2. sin 2α + sin 2β +sin 2γ = 4sinαsinβsinγ ;

22. Какой четверти числовой окружности принадлежит число:

3. cos α + cosβ + cos γ = 1+ 4sin

α sin 2

β sin γ ;

2        2

1)   19π ;        2)

4

− 37π ;        3) 100?

6

4. cos 2α + cos 2β + cos 2γ = −1− 4cos αcosβcos γ ;
5. tg α + tgβ + tg γ = tg α tgβ tg γ ;
6. ctg α + ctg β + ctg γ = ctg α ctg β ctg γ ;

23. Запишите три числа, которые изображаются на окружности той же точкой, что и 17π .
24. Часы отстали на 18 минут. На какой угол надо повернуть минутную стрелку, чтобы часы показывали верное время?

7. sinα + sinβ − sin γ =

α        β        γ ;

4sin        sin  cos

2        2        2

8. cos α + cosβ − cos γ = −1+ 4 cos α cos β cos γ ;

2        2        2

9. tg α −ctg β −ctg γ = tg α ctg β ctg γ ;
10. sin α⋅cos β⋅cos γ + cos α⋅sin β⋅cos γ + cos α⋅cos β⋅sin γ = sin α⋅sin β⋅sin γ;

11) tg α ⋅ tg β + tg α ⋅ tg γ + tg β ⋅ tg γ = 1;

12) ctg α ⋅ ctg β + ctg α ⋅ ctg γ + ctg β ⋅ ctg γ = 1;

25. Переведите углы из градусной меры в радианную:

1) 36°;        3) –120°;        5) 870°;        7) –2510°;

2) 265°;        4) –135°;        6) 1020°;        8) –2940°.

26. Найдите радианную меру дуг:

1) 18°;        3) –252°;        5) 1530°;

2) 324°;        4) 828°;        6) –2490°.

27. Чему равна градусная мера углов:

1) 3π ;        3) 5π ;        5) – 11π ;        7) 35π ;

13)

sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 2 + 2cosαcosβcosγ ;

10        6

15        18

2) 19π ;        4) 7π ;        6) – 17π ;        8) 13π ?

14)

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1− 2cosαcosβcosγ ;

16        4

12        45

15)

16)

sin2 α + sin2 β − sin2 γ = 2sinαsinβcosγ ;

sin2 α + sin2 β − sin2 γ = 1− 2cosαcosβsinγ ;

28.        Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:

1) 23π ;        3) 3π ;        5) – 11π ;

12        8        9

17)

cos2 α + cos2 β − cos2 γ = 2cosαcosβsinγ .

2) 7π ;        4) 9π ;        6) – 13π .

3        5        6

29.        Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу:

1) π ; 2π ;  – π ;        3) 3π ; 5π ; –2π;

122.        Замените произведение тригонометрических функций суммой:

1) cos 52° cos 22°;        5) cos 50° cos 58°;

2) 2 sin 52° cos 8°;        6) sin 31° cos 41°;

2        3        2        2        6

2) π; 3π ;  – 2π ;        4) 2π;   5π ; – 3π .

3) sin 52° sin 7°;        7) 2 sin 24° sin 44°;

4        3        4        4

4) 2 cos π cos π ;        8)   2sin π cos 5π .

30. На числовой окружности укажите точку, соответствующую числу:

10        4

7        14

1) 7π;   4π ; 25π ;        3) 10π; 7π ; – 26π ;

123.        Упростите выражения:

3        4        6        3

2) 4π;   5π ; – 25π ;        4) 3π; 11π ; 16π .

31. Какой        четверти        числовой        окружности        принадлежит        точка, соответствующая числу:

1. cos 3α cos α – cos 7α cos 5α;        3) sin 4β cos 3β – sin 5β cos 2β;
2. cos 3α cos α – sin 3α sin α;        4) sin 4β cos 3β – cos 4β sin 3β.

124. Преобразуйте выражения:

1. cos 7ϕ cos 3ϕ + sin 8ϕ sin 2ϕ;        2) cos 7ϕ cos 3ϕ + sin 7ϕ sin 3ϕ.

125. Проверьте равенства:

32. Какой четверти принадлежат точки:

1)   cos 50° + 2 sin 40°sin10° =

3 ;        4)

2 cos 40° cos10° − cos 50° =   3 ;

1) 7π ;        3)

17π ;        5) 4,3;        7) 20;        2        2

1        1

2) 19π ;        4) – 8π ;        6) –3,3;        8) –100?

2)   2 sin 25° cos 5° − sin 20° =        ;        5)

2

sin 20° + 2 cos 25°sin 5° =        ;

2

4        7

3) sin 5α – 2 cos 4α sin α = sin 3α;        6) cos 3α – 2 sin 2α sin 5α = cos 7α.

33. Как расположены на числовой окружности точки, соответствующие числам:

1) t и –t;        3) t и t + π;

2) t и t + 2πk, k ∈ Z;        4) t – π и и t + π?

34. Ведро в колодце поднимается на 2 м, если рукоятка ворота повернута на

126.   Вычислите:

1) tg 15° + tg 75°;        5)

sin4 3π − cos4 3π ;

8        8

3π        3π

пять полных оборотов по часовой стрелке. На какой угол надо

2) cos2 3 + cos2 1 – cos 4 cos 2;        6)

sin4        + cos4        ;

повернуть рукоятку ворота, чтобы ведро: 1) поднялось на 1,5 м?

2) опустилось на 1,25 м?

35.        Вычислите:

1) 2sin 30° – tg 45° + ctg 30°;

3) tg 41° tg 43° tg 45° tg 47° tg 49°;   7)

sin

8

6 3π

8

π

• cos

8

6 3π ;

8

π

2)   tg 60° + 2cos 45° −   3 ctg 45° ;

4) tg 20° tg 40° tg 50° tg 70°;        8)

cos8

• sin8        .

8        8

3)        6cos 30° – 3tg 60° + 2sin 45°;

4)        3 tg 30° + 4sin30° −

3 ctg 30° ;

127.   Вычислите значение выражения

π        π        3        π

cos11α + 3cos 9α + 3cos 7α + cos 5α , если cos α = 1 .

5. 3 sin        − 2 cos        +

3        6

tg        ;

2        3

cos 8α        3

116. Докажите тождество:

6. 2 cos π + 2sin π − 2sin π ;

cos2 3x + cos2 4x − sin2 5x − sin2 6x

3        6        4

sin2 3x − sin2 5x + sin2 4x − sin2 6x = −ctg 2x ctg 9x .

7)        3 cos π + 2sin π −   3 ctg π ;

6        3        2        6

117. Упростите выражение:

8. 2 cos π − 2sin π + ctg π ;

1) sin 5γ + sin 3γ ;        5)

sin 7α + sin 5α + sin 3α ;

4        6        6

sin 5γ − sin 3γ

cos 7α + cos 5α + cos 3α

9. 2sin π − cos 0 + tg 0 + 3cos π − sin 3π ;

cos 2α − cos 8α

cos 6α − cos 4α + cos 2α − cos 8α        2        3

2)   sin 2α + sin8α

;        6)

sin 3α − sinα        ;

10)

5sin90° + 2cos 0°− 2sin 270° +10cos180° .

sin x − sin 2x

sinα + 2sin 2α + sin 3α

36.        Найдите значение выражения:

3)        ;        7)

cos x − cos 2x

;

2 cos 2α + cos 3α + cos α

1)    4cos 60° + 2sin 45° − 2 3 tg 30° ;

2sin2 α − sinα

cos α + cos 5α + cos 7α + cos 3α

2)        2 cos 45° − 3 3 tg 60° + 6cos 30° ;

4) sin 2α − cos α

;        8)

sin3α + sinα + sin5α + sin 7α .

3)   2 cos π − 4 ctg π + 2sin π ;

6        4        6

118. Вычислите:

4)   4 tg π − 2 cos π − 2sin π ;

1) cos 95° + cos 94° + cos 93° + cos 85° + cos 86° + cos 87°;

2) tg 9° – tg 27° – tg 63° + tg 81°;

4        3        6

5) 3sin π + cos 2π − 4 tg 0 + sinπ + cos π ;

2        2

3. cos

2π cos 7

4π + cos 7

2π cos 6π 7        7

• cos

4π cos 7

6π .

7

6) 4cos 180° – 3sin 270° + 3sin 360° – ctg 90°.

37.        (Устно). Существуют ли числа α, β и γ, для которых:

119. Преобразуйте выражение:

1) sinα = −0,5,

cosβ =

3, tg γ = −2,5 ;

sin8α + sin 9α + sin10α + sin11α

⋅ cos 8α − cos 9α − cos10α + cos11α .

2)   sinα =

5 , cosβ = −2,2,

tg γ = 0,31 ;

cos 8α + cos 9α + cos10α + cos11α

sin8α − sin 9α − sin10α + sin11α        2         

120. Тангенсы двух углов треугольника равны соответственно 1,5 и 5. Найдите третий угол треугольника.

3) sinα = 1,3,

cosβ =

10 ,

4

tg γ = 5,2 ?

121. Преобразуйте произведение в сумму:

1) sin 42° cos 12°;        5) cos 23° cos 27°;

2) cos 42° cos 18°;        6) 2 sin 18° sin 22°;

3) 2 sin 42° sin 3°;        7) sin 40° cos 56°;

38.        Оцените   выражение,   т.е.   укажите   его   наименьшее   и наибольшее

значение:

1) 1 + 2sin α;        4) 2sin x + 3;        7) 1 – 4cos2x;

39.

4. 2 sin

π cos π

8        10

;        8)

2 cos

π cos 3π .

5        10

40.        Определить, в какой четверти находится конечная точка поворота на угол α и каковы знаки cos α и sin α, если угол равен:

109.    Вычислите:

sin4 π + cos4 3π + sin4 5π + cos4 7π .

8        8        8        8

41.        Определить знак каждого из данных произведений:

1) sin 100° ⋅ sin 132°;        5) ctg 300° ⋅ sin 222°;

2) cos 210° ⋅ sin 115°;        6) sin 118° ⋅ cos 118° ⋅ tg 118°;

3) cos 285° ⋅ cos 316°;        7) sin 2,1 ⋅ ctg 2,1 ⋅ cos 2,1;

4) tg 112° ⋅ sin 165°;        8) cos 123° ⋅ tg 123° ⋅ sin 312°.

110. Известно, что sin α = 336 , где 5π < α < 3π . Вычислите sin α .

625        4        4

111. Вычислите sin π = sin 22,5° .

8

42.        Какой знак имеет произведение sin ϕ ⋅ cos ϕ ⋅ tg ϕ, если число ϕ равно:

1) 4,1;        2) – 240°;        3) 7π ?

112. В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине равен Найдите синус угла при основании.

 5 .

13

43.        Вычислите:

1)        ⎛   π ⎞        ⎛   π ⎞



⎛   π ⎞        ⎛   π ⎞



113.        Преобразуйте сумму в произведение и упростите результат, если это возможно:

sin⎜−   ⎟cos⎜−    ⎟ − sin⎜−    ⎟cos⎜−    ⎟ ;

⎝   6 ⎠        ⎝  4 ⎠

⎝  4 ⎠

⎝   6 ⎠

1) sin 50° + sin 20°;        4) cos 160° + cos 80°; 7) cos 3α – cos 5α;

2)        ⎛   π ⎞        ⎛   π ⎞        ⎛   π ⎞        ⎛ π ⎞

sin⎜−    ⎟ ctg ⎜−   ⎟ − cos⎜−    ⎟ tg⎜−   ⎟ ;

4        4        6        4

2) cos 28° – cos 12°;        5) sin 83° – sin 23°;        8) sin 10° + cos 40°;

⎝        ⎠        ⎝        ⎠        ⎝        ⎠        ⎝        ⎠

3)   sin(− π)+ cos⎛− π ⎞ + tg⎛− π ⎞ + ctg⎛− π ⎞ .

3) cos 2π + cos 3π ;        6)

sin π − sin 5π ;        9)

sin π + sin π .

⎜        ⎟

⎝   2 ⎠

⎜        ⎟

⎝  4 ⎠

⎜        ⎟

⎝   2 ⎠

5        5        12        12

10        12

44.        Найдите значение выражения:

1)    cos⎛− π ⎞cos⎛− π ⎞ − sin⎛− π ⎞cos⎛− π ⎞ ;

114. Замените сумму произведением:

1) cos 40° – cos 10°;        4) cos 37° + cos 23°;        7) cos 20° – cos 70°;

⎜        ⎟

⎝  4 ⎠

⎜        ⎟

⎝  3 ⎠

⎜        ⎟

⎝  4 ⎠

⎜        ⎟

⎝   3 ⎠

2) sin 42° – sin 26°;        5) sin 130° + sin 110°; 8) sin β – sin 3β;

⎛   π ⎞        ⎛   π ⎞        ⎛   π ⎞        ⎛   π ⎞



5π        7π

π        5π        π        π

2)   sin⎜−    ⎟cos⎜−    ⎟ − sin⎜−    ⎟cos⎜−    ⎟ ;

4        6        3        3

3) sin

• sin

;        6)

sin

− sin        ;        9) cos        − cos        .

⎝        ⎠        ⎝        ⎠

⎝        ⎠        ⎝        ⎠

24        24

12        12

8        10

3) cos(− 2π)+

⎛− 3π ⎞ + ctg ⎛− π ⎞ + tg(− π).

sin⎜        ⎟

⎝        2 ⎠

⎜        ⎟

⎝   4 ⎠

115. Упростите выражение:

45. Найдите значение:

1) cos 2550°;        5) sin(–4005°);        9) cos(–2220°);

2) tg 2205°;        6) tg 3630°;        10) sin(–3555°);

3) sin 3300°;        7) ctg 2100°;        11) tg(–2460°);

4) ctg 2130°;        8) cos(–3210°);        12) ctg(–2115°).

46. Вычислите:

1)   sin 3α + sin 5α ;        5)

cos 3α + cos 5α

2) cos x − cos 3x ;        6)

sin x + sin 3x

3)   sin 2β − sin 3β ;        7)

cos 2β − cos 3β

sin 3α + sin 7α + sin11α ;

cos 3α + cos 7α + cos11α

cos 4α − cos 6α − cos10α + cos 8α ;

cos 8α − cos 6α

cos α − 2sin 3α − cos 5α ;

sin 5α − 2 cos 3α − sinα

1) sin 2580°;        3) tg(–2835°);        5) ctg(–2565°);

2) ctg 2190°;        4) sin 2490°;        6) cos(–2820°).

4)                sinα + sin 2α cos α + 2 cos2 α

;        8)

sin 3α + sin 4α + sinα + sin 2α .

cos α + cos 2α + cos 4α + cos 3α

99. Упростите выражения:        47.        Определите:

1 − tg2 α

tg α

tg α +

tg α

1)   sin 37π ;        5) cos 13π ;        9)   cos⎛− 11π ⎞ ;

1)   1 + tg2 α ;        3)

;        5)

tg 2α − tg α

1 + tg α

;

1 − tg α

⎜        ⎟

6        3        ⎝        3 ⎠

2)        2 tg α

;        4)

tg 2α ⋅ tg α ;        6)

1        −        1        .

2)   tg⎛− 37π ⎞ ;        6)   tg 31π ;        10) ctg 49π ;

1 + tg2 α

tg 2α − tg α

1− tg α        1+ tg α

⎜        ⎟

⎝        3 ⎠        6        4

3)   ctg 47π ;        7)   sin −        ;        11)

⎛ 23π ⎞



⎛− 49π ⎞ ;

100. Преобразуйте следующие выражения:

⎜        ⎟

4        ⎝        6 ⎠

sin⎜        ⎟

⎝        6 ⎠

1. sin2 α⎛

• sinα

+ ctg α⎞⎛

• cos α

+ tg α⎞ ;

4) cos 17π ;        8)

ctg 26π ;        12)

⎛− 27π ⎞ .

⎝        ⎠⎝

cos2 2α − 4 cos2 α + 3

⎠

tg2 α + ctg2 α − 6

tg⎜        ⎟

4        3        ⎝        4 ⎠

2)        cos2 2α + 4 cos2 α −1 ;        3)

tg2 α + ctg2 α + 2 .

48.        Вычислите:

1) cos 19π ;        3)   ctg⎛− 10π ⎞ ;        5) sin 35π ;

101. Вычислите без помощи калькулятора или таблиц:

⎜        ⎟

3        ⎝        3 ⎠        3

1) (tg 255° − tg 555°)(tg 795° + tg195°);        2)

tg 615° − tg 555° .

⎛ 23π ⎞

59π

⎛   17π ⎞

tg 795° + tg 735°

2)   sin⎜−

⎝        4

⎟ ;        4)

⎠

cos

6

;        6)

tg⎜−        ⎟ .

⎝        3 ⎠

Вычислите:

49. С помощью тригонометрической окружности решите уравнения:

⎛        5π ⎞

tg α = 2

1)   sin 6x = 1 ;        3)

cos x = − 1 ;        5)

sin x = 0 ;

102.

sin⎜ 2α +

⎝

⎟ , если        .

4 ⎠        3

2        5        2        3

103.

cos ⎜ 2α +

⎝

7π ⎞ , если ctg α = 2 .

4 ⎠        3

2)   sin 3x = −

5

2 ;        4)

2

cos 4x =

3

3 ;        6)

2

cos 3x = −1.

50. Используя единичную окружность, решите уравнения:

104. tg (4х – у), если tg x = 1 ,

5

tg y =

1   .

239

1. sin x =

6

2 ;        3)

2

cos 6x = 1 ;        5)

2

sin3x =1 ;

105. (sin 4α + 2sin 2α) cos α, если sin α = 1 .

4

2. sin 2x = −

5

3 ;        4)

2

cos x =

8

2 ;        6)

2

cos 4x = 0 .

5

106. Упростите выражение cos2⎛ 5π − 2α⎞ − cos2⎛ 5π + 2α⎞ .

51.        Найдите значения тригонометрических функций угла α, если известно, что:

⎜        ⎟

⎝ 4        ⎠

⎜        ⎟

⎝ 4        ⎠

1) sinα = 5 ,   π < α < π ;        3) tg α = 4 ,   0 < α < π ;

107. Найдите значение выражения:

13        2        3        2

2 π        2 11π



2 3π

2 7π

2) cos α = 4 ,   3π < α < 2π ;        4) ctg α = 12 ,   π < α < 3π .

1. sin

• sin

13

;        2)

26

cos

• cos        .

34        17

5        2        5        2

108. Без помощи таблиц или калькулятора вычислите:

sin2 π + cos2 3π + sin2 5π + cos2 7π .

52. По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций:

1) cos α = −0,6,   π < α < 3π ;        2) sinα = 8 , 0 < α < π .

8        8        8        8

2        17        2

53. Упростите выражения (предпочтительно устно):

1) 4cos23α + 4sin23α;        2) 2sin25α + 2cos25α;

3) 1 – sin23x;        4) 1 – cos24β;

5) sin27y – 1;        6) cos23t – 1;

7) 2sin2t – 1;        8) 1 – 2cos23γ;

9) tg 3β ctg 3β;        10) ctg 1,1 ⋅ tg 1,1;

11) tg α cos α;        12) sin 2ϕ ctg 2ϕ;

95. Упростите выражения:

1. 0,5 sin 2β ctg β;        5) cos2 2x – 4 sin2 x cos2 x;

2) 2 sin2 α + cos 2α;        6) 2sin2 4α + cos 8α + 1;

3) cos2 4β – cos 8β;        7) 4 sin4 x + sin2 2x.

96. Преобразуйте выражение:

1. sin 2t ctg t – 1;        7)        ctg β(1 – cos 2β);

13) ctg2ϕ sin2ϕ;        14) tg2α cos2α;

15) tg γ cos γ sin γ;        16) sin 2α cos 2α ctg 2α;

sin2 αctg α

2)        sin 2α

;        8)        1 + sin 2x        ;

(sin x + cos x)2

17) (1 – cos 3β)(1 + cos 3β);        18) (1 – sin 2ϕ)(1 + sin 2ϕ);

19) (sin t + 1) (sin t – 1);        20) (cos 5α – 1)(1 + cos 5α);

21) sin2γ cos2γ + cos4γ;        22) sin4ϕ + sin2ϕ cos2ϕ;

cos 2t − cos2 t

3)

1 − cos2 t

1 + cos 2α

;        9) (tg t + ctg t) sin 2t;

2

23) (sin α – cos α)2 + (sin α + cos α)2;

24) (3sin t + 4 cos t)2 + (4sin t – 3 cos t)2.

4)        2 cos α

;        10)

;

tg t − ctg t

54. Преобразуйте следующие выражения:

1) sin2α + cos2α – cos2β;        13) cos2α + cos2α ctg2α;

2. tg x ctg x – cos23α;        14) sin4α + cos2α – cos4α;

5) 1 − cos 2α ;        11)

2 sinα

6)        sin 2β   ;        12)

1 + cos 2β

1 − cos 2x + sin 2x ;

1 + cos 2x + sin 2x

⎛  cosβ        cos β ⎞

⎜        +        ⎟sin 2β .

1 + sinβ        1 − sinβ

3. tg25β + tg t ctg t;        15) sin4β + sin2β cos2β + cos2β;

4) (1 – sin23α) tg23α;        16) tg2ϕ – sin2ϕ – tg2ϕ sin2ϕ;

5) ctg2β(cos2β – 1) + 1;        17) (ctg2α – cos2α) tg2α;

6) 1 + cos2γ – sin2γ;        18) ctg2y (1 – cos y)(1 + cos y);

⎝        ⎠

97. Выполните преобразование:

2 cos 2 α tg α

1)        ;        5) tg α (1 + cos 2α);

cos2 α − sin2 α

7) 1 – sin α cos α ctg α;        19) (tg x −1)2 −

1        ;

cos 2 x

2)        sin 2t − 2 sin t

cos t −1

;        6)

(sinβ + cos β)2

1 + sin 2β        ;

8) (tg β cos β)2 + (ctg β sin β)2;        20)

1

sin2 x

− (ctg x +1)2 ;

3) 1 − cos 2α

;        7)        2        ;

1− cos 2 7 y

sin 2α

tg t + ctg t

9) 2 – cos2ϕ tg2ϕ – cos2ϕ;        21)

;

cos 2 7 y

4) 1 + cos 2ϕ

;        8)

⎛   sinα

⎜

• sinα

⎞sin 2α .

10)

1

cos 2 α

− tg2α − cos 2 α ;        22)

1− sin2 7α 1− cos 2 7α

• tg

π ctg π ;

9        9

1 − cos 2ϕ

98. Вычислите:

⎝ 1+ cos α

1− cos α ⎠

π        1        sin2 x

1)   tg1° ⋅ tg 2° ⋅ tg 3° ×...× tg 87° ⋅ tg 88° ⋅ tg 89° ;