Алгебраический способ решения задач на смеси и сплавы
статья по алгебре (9 класс)

Алгебраический  способ решения задач на смеси и сплавы.

Недостаточно лишь понять задачу, необходимо желание решить ее.

Без сильного желания решить трудную задачу невозможно,

Но при наличии такового – возможно. Где есть желание, найдется путь!

Пойя Д.

            Задачи с использованием таких понятий как концентрация, процентное содержание вещества в смеси, растворе и в сплаве часто включают в экзаменационные варианты ЕГЭ и ОГЭ, в олимпиады по математике, физике и химии. В школьном курсе математики на решение таких задач отводится недостаточное количество времени. Увидев задачу на смеси, растворы и сплавы, многие учащиеся сразу отказываются ее решать. Они считают такие  задачи достаточно сложными,  и справиться с ними не всегда могут успешно. Существуют разные способы, и методы решения задач на смеси, растворы и сплавы. В данной работе рассмотрим  алгебраический способ решения задач на смеси и сплавы , который поможет учащимся успешно решать задачи данного типа.

        Прежде всего введем основные понятия. Говоря о смесях, растворах и сплавах, будем употреблять термин «смесь» независимо от ее вида (твердая, жидкая, газообразная, сыпучая и т. д.).  Смесь состоит из «чистого вещества» и «примеси». Что есть «чистое вещество», определяется в каждой задаче отдельно, однако при этом все остальные вещества, составляющие смесь, относят к примеси.

           Текстовые задачи на смеси, сплавы и растворы содержат в себе три основных величины 1 – масса смеси, сплава или раствора, выраженная в граммах, литрах или других мерах веса и объёма (Mc);  2 – масса определённого вещества в составе смеси, сплава или раствора, выраженная в граммах, литрах или других мерах веса и объёма (Mв);  3 – концентрация вещества  в смеси, сплаве или растворе, выраженная в процентах или, чаще, дробным числом без наименования (K).

Все три элемента взаимосвязаны между собой формулой  Мв ;  К

            При решении применяется  закон сохранения  объемов.

 Если два сплава (раствора) соединяют в один сплав (раствор), то объем полученного сплава (раствора) равен сумме объемов исходных  сплавов (растворов).  

V = V1+ V2

При решении применяется закон сохранения  массы.

 Если два сплава (раствора) соединяют в один «новый» сплав (раствор), то масса полученного сплава (раствора)  равна сумме масс исходных сплавов (растворов). m = m1+ m2 

        Чтобы решить задачу, надо найти план её решения. Поиск плана решения составляет центральную часть всего процесса решения. Найдя план, его осуществление уже не составляет особого труда.

Рассмотрим основные этапы решения задач на смеси и сплавы:

    1. Выбор неизвестной (или неизвестных). В качестве неизвестных величин выбирают те, которые требуется найти. Но иногда целесообразно обозначать неизвестными некоторые промежуточные величины, через которые легко выражаются искомые.

   2. Выбор чистого вещества. Из веществ, фигурирующих в условии задачи, выбирается одно в качестве чистого вещества. Чаще всего выбирают вещество, о котором идет речь в требовании задачи, или вещество, о концентрации которого в условии содержится больше всего информации..

   3. Переход к долям. Если в задаче имеются процентные содержания. Их следует перевести в доли и в дальнейшем работать только с долями, рекомендую записывать их в виде обыкновенных дробей.

   4. Отслеживание состояния смеси (сплава). На каждом этапе изменения смеси (добавление, изъятие) необходимо описывать состояние смеси с помощью трех основных величин Мв, Mс,  К .

    5.  Составить уравнения по правилу: при объединении двух смесей/сплавов их массы складываются. Другими словами, масса полученной смеси равна сумме масс исходных смесей. Аналогично, складываются массы «чистых» веществ..

        Если все сделать правильно, то получится одно-два линейных уравнения. Решаем их — получаем ответ. После того, как решите уравнение, никогда (слышите, никогда!) не записывайте ответ. Запомните:

        Прежде чем записать ответ, вернитесь к задаче и еще раз прочитайте, что требуется найти. Потому что решить уравнение — это еще не значит решить текстовую задачу.

Это правило работает для всех текстовых задач. Многие ученики сосредотачиваются на решении уравнения, но совершенно забывают, что, собственно, требовалось найти. Получается, что по существу задача решена верно, а ответ — неправильный.

Самый распространенный в школе метод решения задач на смеси, растворы и сплавы с помощью составления уравнения или системы уравнений. Алгебраический способ самый универсальный. С его помощью можно решить любую задачу на смеси и сплавы. При применении данного способа необходимо составление таблицы, а по ней уже соответствующая запись уравнения или системы уравнения. Для успешного решения необходимы знания по их решению.

В процессе поиска решения этих задач полезно применить очень удобную модель и научиться  пользоваться ею. Изображаем каждую смесь (сплав) в виде прямоугольника разбитого на фрагменты, Изобразим каждый из сплавов в виде прямоугольника, разбитого на три фрагмента (Мс, К, Мв). Кроме того на модели отобразим характер операции – сплавление, поставим знак «+» между первым и вторым прямоугольниками. Поставив знак «=» между вторым и третьим прямоугольниками, показывая, что третий сплав получен в результате сплавления первых двух. Получилась схема:

    Такая форма записи условия очень удобна для решения задач. По ней достаточно просто составить алгебраическую модель.

Задача. В 100 г 20%-ного раствора соли добавили 300 г её 10%-ного раствора. Определите процентную концентрацию раствора.

Решение.

Составим таблицу и заполним её по данным условия.

Используя закон сохранения масс,  составим уравнение:

20+30=4х

Х= 50:4

х = 12,5

Ответ: 12,5%

            Задача . Сироп содержит 18% сахара. Сколько килограммов воды нужно добавить к 40 кг сиропа. Чтобы содержание сахара составило 15%?

Решение.

Составим таблицу и заполним её по данным условия.

Используя закон сохранения масс,  составим уравнение:

   15⋅(40 + x) = 720;

         15⋅ x = 120, откуда x = 8.

Ответ: 8 кг.

Взгляните на задачи, приведенные выше: все уравнения — линейные. Никаких квадратов, никаких дискриминантов и тем более дробно-рациональных выражений. Вот почему задачи на смеси и сплавы считаются очень легкими.

             Умение решать текстовые задачи свидетельствует о способности учащихся понимать текст. Поэтому решение текстовых задач - это деятельность, весьма важная для общего развития. Решение текстовых задач способствует, с одной стороны, закреплению на практике приобретённых умений и навыков, с другой стороны, развитию логического мышления учащихся.

.        Рассмотренный  алгебраический способ решения задач на смешивание растворов учит детей строить цепочку логических рассуждений и является классическим, так как чаще других используется для решения.

Дидактический материал (для самостоятельного решения)

1. Сколько нужно взять 10% и 30% растворов марганцовки, чтобы получить 200 г 16% раствора марганцовки?
2. Сколько граммов 35% раствора марганцовки надо добавить к 325 г воды, чтобы концентрация марганцовки в растворе составила 10%?
3. Сколько граммов воды нужно добавить к 5% йодной настойке массой 100г, чтобы концентрация йода уменьшилась до 1%?
4. Требуется приготовить 100г 10%-го раствора нашатырного спирта. Сколько для этого потребуется воды и 25%-го раствора нашатырного спирта?
5. Собрали 8 кг свежих цветков ромашки, влажность которых 85%. После того как цветки высушили, их влажность составила 20%. Чему равна масса цветков ромашки после сушки?
6. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько надо взять «бедной» руды, чтобы при смешивании с «богатой» получить 20 т руды с содержанием меди 8%?
7. Имеется два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46 % кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов?
8. В сосуде объемом 10 л содержится 20%-й раствор соли. Из сосуда вылили 2 л раствора и долили 2 л воды, после чего раствор перемешали. Эту процедуру повторили ещё один раз. Определите концентрацию соли после первой и второй процедуры.
9. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
10. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15 кг, содержащий 40% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 30% меди?
11. Сколько чистой воды нужно добавить к 100г 60%-го раствора кислоты, чтобы получить 30%-ный раствор?
12. К раствору, содержащему 40г соли, добавили 200г воды, после чего массовая доля растворенной соли уменьшилась на 10%. Сколько воды содержал раствор, и какова была в нем массовая доля соли?
13. Первый сплав состоит из цинка и меди, входящих в него в отношении 1:2, а другой сплав содержит те же металлы в отношении 2:3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27?
14.  Смешали некоторое количество 15%-го раствора некоторого вещества с таким же количеством 19%-го раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
15.  Смешали 30%-ый раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-го раствора. Сколько граммов 10%-го раствора было взято?
16. Имеется два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 20% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
17. Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом  сплаве содержится 35% золота, а во втором — 60%. В каком отношении надо взять первый и второй  сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота?
18. При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%. и второго раствора этой ж кислоты концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый  второй растворы?
19. Смешали 3 литра 40%-го водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 35%-го водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
20. Смешали 8 литров 15%-го водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 40%-го водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
21. Смешали некоторое количество 17%-го раствора некоторого вещества со втрое большим количеством 9-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
22. Смешали некоторое количество 14-процентного раствора некоторого вещества со вдвое большим количеством 8-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
23. В сосуд, содержащий 5 литров 12% водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
24. Смешали некоторое количество 15% раствора некоторого вещества с таким же количеством 19% раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
25. Смешали 4 литра 15% водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25% водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
26. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
27. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
28. Смешав 30% и 60% растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36% раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50% раствора той же кислоты, то получили бы 41% раствор кислоты. Сколько килограммов 30% раствора использовали для получения смеси?
29. Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Список  литературы

1. Галицкий и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич.-2-е изд. - М.: Просвещение,1994. - 271с
2. Задачи на смеси и сплавы. Журнал «Математика в школе». №17. №11  2004г.
3. Лурье М.В., Александров Б.И. Задачи на составление уравнений. Учебное руководство. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1990г
4.  Прокопенко Н.И. Задачи на смеси и сплавы.- М. :Чистые пруды, 2010 (Библиотечка «Первого сентября». Выпуск 31 )
5. Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий. Как научиться решать задачи. Кн. Для уч-ся ст. кл. сред. шк. – 3-е изд. дораб.- М.: Просвещение,1989.