ЕГЭ, профиль №19
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10 класс)

Задачи на делимость. Вводный листок.

Числа в задачах везде целые, если другое специально не сказано.  

1. Запишите общий вид чисел, которые 1) при делении на 6 дают в остатке 4, 2) при делении на 8 дают в остатке 5.
2. Число делится на 3. Какие остатки оно может иметь при делении на 9?
3. Число делится на 12.  Какие остатки оно может иметь при делении на 8?
4. Число при делении на 3 дает в остатке 1. Какие остатки оно может иметь при делении на 15?
5. Число при делении на 3 дает в остатке 2, а при делении на 5 дает в остатке 3. Какой остаток оно дает при делении на 15?
6. Найдите наименьшее натуральное число, отличное от 1, которое при делении на 2, 3 и 5 дает в остатке 1.
7. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 2 дает остато1, при делении на 3 – остаток 2, при делении на 4 – остаток 3, при делении на 5 – остаток 4.
8. Какой остаток при делении на 3 имеет число 2012…….2012    (100 раз по 2012)?
9. На какую цифру может оканчиваться число   при различных n? На какую цифру оканчивается  ? А  ?
10. Оба числа не делятся на 5. Верно ли, что их произведение не делится на5? Что их сумма не делится на 5? Что их разность не делится на 5?
11. Число делится на 3. Верно ли, что его квадрат делится на 9?  
12. Квадрат числа делится на 3. Верно ли, что само число делится на 3?
13. Квадрат числа делится на 9. Верно ли, что само число делится на 9?
14.  Квадрат числа делится на 12. Что с уверенностью можно сказать про само число?
15.  Какие остатки при делении на 3 может иметь квадрат целого числа?
16. Сумма квадратов двух чисел делится на 2. Верно ли, что она делится на 4?
17. Сумма квадратов двух чисел делится на 3. Верно ли, что она делится на 9?
18. Какие остатки при делении на 5 может иметь квадрат целого числа?
19. Докажите, что числа вида  не делятся на 5.
20. Найдите несколько чисел, имеющих ровно 3 делителя. Каков общий вид этих чисел?
21. Найдите наименьшее число, имеющее ровно 5 делителей и превосходящее 1000.
22. Найдите число, которое делится на 20 и имеет ровно 9 делителей. А если число делится на 25 и имеет ровно 9 делителей, ответ будет такой же?
23. Сколько существует чисел, меньших 200, кратных 5 и имеющих ровно 4 делителя?
24.   Найдите наименьшее составное число, которое не делится ни на одно из натуральных чисел от двух до десяти.
25.  Число имеет 14 делителей. Может ли оно быть квадратом целого числа?
26. Сколько делителей имеет число 50? Придумайте еще 5 чисел, у которых столько же делителей.
27. Сколько делителей имеет число 36? Придумайте еще 3 числа, у которых столько же делителей.
28. Сколько делителей имеет число 1000?
29. Сколько делителей имеет число  ?
30. Обязательно ли произведение трех последовательных чисел делится на 6?
31. На что заведомо делится произведение пяти последовательных чисел?
32. При каких n число (n-1)! не делится на n?
33. При каких n число (n-1)! не делится на n2?