Как правильно решить №21
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс)

Слайд 2

научить переводить реальные предметные ситуации в различные математические модели, обеспечить действенное усвоение обучающимися основных методов и приемов решения учебных математических задач Основные цели решения текстовых задач в школьном курсе математики

Слайд 3

2 . Основные требования к знаниям и умениям обучающихся основной школы по решению задач на совместную работу Выпускник научится в 5-6 классах (для использования в повседневной жизни и обеспечения возможности успешного продолжения образования на базовом уровне) Выпускник научится в 7-9 классах (для использования в повседневной жизни и обеспечения возможности успешного продолжения образования на базовом уровне) 1.Решать несложные сюжетные задачи разных типов на все арифметические действия; 2.Строить модель условия задачи (в виде таблицы, схемы, рисунка), в которой даны значения двух из трёх взаимосвязанных величин, с целью поиска решения задачи; 3.Осуществлять способ поиска решения задачи, в котором рассуждение строится от условия к требованию или от требования к условию; 4.Составлять план решения задачи; 5.Выделять этапы решения задачи; 6.Интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение задачи; 7.Знать различие скоростей объекта в стоячей воде, против течения и по течению реки; 8.Решать задачи разных типов (на работу, на покупки, на движение), связывающих три величины, выделять эти величины и отношения между ними. 1.Решать несложные сюжетные задачи разных типов на все арифметические действия; 2.Строить модель условия задачи (в виде таблицы, схемы, рисунка или уравнения ), в которой даны значения двух из трёх взаимосвязанных величин, с целью поиска решения задачи; 3.Осуществлять способ поиска решения задачи, в котором рассуждение строится от условия к требованию или от требования к условию; 4.Составлять план решения задачи; 5.Выделять этапы решения задачи; 6.Интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение задачи; 7.Знать различие скоростей объекта в стоячей воде, против течения и по течению реки; 8.Решать задачи разных типов (на работу, на покупки, на движение), связывающих три величины, выделять эти величины и отношения между ними.

Слайд 4

Выпускник получит возможность научиться в 5-6 классах (для обеспечения возможности успешного продолжения образования на базовом и углублённом уровнях) Выпускник получит возможность научиться в 7-9 классах (для обеспечения возможности успешного продолжения образования на базовом и углублённом уровнях) 1.Решать простые и сложные задачи разных типов, а также задачи повышенной трудности; 2.Использовать разные краткие записи как модели текстов сложных задач для построения поисковой схемы и решения задач; 3.Знать и применять оба способа поиска решения задач (от требования к условию и от условия к требованию); 4. Выделять этапы решения задачи и содержание каждого этапа; 5.Интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение задачи; 6.Анализировать всевозможные ситуации взаимного расположения двух объектов и изменение их характеристик при совместном движении (скорость, время, расстояние) при решении задач на движение двух объектов как в одном, так и в противоположных направлениях; 1.Решать простые и сложные задачи разных типов, а также задачи повышенной трудности; 2.Использовать разные краткие записи как модели текстов сложных задач для построения поисковой схемы и решения задач; 3.Различать модель текста и модель решения задачи, конструировать к одной модели решения несложной задачи разные модели текста задачи ; 4.Знать и применять оба способа поиска решения задач (от требования к условию и от условия к требованию); 5.Выделять этапы решения задачи и содержание каждого этапа; 6.Уметь выбирать оптимальный метод решения задачи и осознавать выбор метода, рассматривать различные методы, находить разные решения задачи, если возможно; 7.Анализировать затруднения при решении задач;

Слайд 5

7.Исследовать всевозможные ситуации при решении задач на движение по реке, рассматривать разные системы отсчёта; 8.Осознавать и объяснять идентичность задач разных типов, связывающих три величины (на работу, на покупки, на движение); выделять эти величины и отношения между ними, применять их при решении задач, конструировать собственные задачи указанных типов. 8.Выполнять различные преобразования предложенной задачи, конструировать новые задачи из данной, в том числе обратные; 9.Интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение задачи; 10.Анализировать всевозможные ситуации взаимного расположения двух объектов и изменение их характеристик при совместном движении (скорость, время, расстояние) при решении задач на движение двух объектов как в одном, так и в противоположных направлениях; 11.Исследовать всевозможные ситуации при решении задач на движение по реке, рассматривать разные системы отсчёта; 12.Осознавать и объяснять идентичность задач разных типов, связывающих три величины (на работу, на покупки, на движение); выделять эти величины и отношения между ними, применять их при решении задач, конструировать собственные задач указанных типов.

Слайд 6

Понятие задачи и виды задач на совместную работу в курсе алгебры основной школы Задачи на совместную работу - задачи, в которых несколько объектов или субъектов (людей, бригад, коллективов, насосов, тракторов и т.д.) выполняют одну и ту же работу вместе, при этом с отличными друг от друга скоростями. Задачи на работу можно отнести к задачам на прямую или обратную зависимость. Производительность труда, время работы и объем выполненной работы за данное время – это тройка пропорциональных величин. Две величины могут быть связаны друг с другом (говорят, величины зависят друг от друга) или не связаны (не зависят друг от друга).

Слайд 7

Зависимости бывают : прямые – когда изменение одной величины приводит к изменению второй величины в ту же самую сторону (например, если увеличить производительность деталей, то и общий объём выполненной работы увеличится); обратные – когда увеличение одной величины приводит к уменьшению другой (например, если нужно сделать определённое количество деталей, то при увеличении производительности, время, затрачиваемое на работу, уменьшится). Виды задач: задачи, в которых выполняемый объем работы известен или его нужно определить (например, количество изготовленных деталей, количество гектар вспаханной земли, объем бассейна и т.д.); задачи, в которых вообще не сказано, какая работа выполняется или эта работа задана неявно (в таких задачах зачастую задано только время). Типы задач : задачи, в которых выполняется раздельная работа - эти задачи решаются аналогично задачам на движение; задачи на совместную работу.

Слайд 8

3. Этапы процесса решения задач на совместную работу Основные этапы : 1. Анализ текста задачи . Цель этапа – выделить объективное содержание задачи, условие, заключение, выполнить краткую запись, чертеж, схему, если это понадобится решающему. 2. Поиск решения задачи . Цель этапа – создание плана решения, который можно представить в виде устного или письменного текста, а также в виде модели или поисковой схемы. 3. Реализация плана решения с обоснованием. 4. Проверка решения задачи. 5. Запись ответа .

Слайд 9

представление той жизненной ситуации, которая описана в задаче . Цель такого воспроизведения — выявление основных количественных и качественных характеристик ситуации, представленной в задаче. постановка специальных вопросов и поиск ответов на них — включает следующий «стандартный» набор вопросов, ответы на которые позволяют детально разобраться в содержании задачи: О чем говорится в задаче? Что известно в задаче? Что требуется найти в задаче? Что в задаче неизвестно? и др. переформулировка текста задачи — состоит в замене данного в задаче описания некоторой ситуации другим описанием, сохраняющим все отношения, связи, но более явно их выражающим. При необходимости строится вспомогательная модель задачи: краткая запись условия, таблица, рисунок, чертеж и т.п. моделирование ситуации , описанной в задаче, с помощью реальных предметов, предметных моделей или графических моделей. Приемы, используемые на этапе «Анализ задачи»

Слайд 10

анализ задачи по тексту или по ее вспомогательной модели : от вопроса задачи к данным ( аналитический путь ); от данных к вопросу ( синтетический путь ); комбинированный ( анализ и синтез ), анализ часто производят «про себя»; разбиение задачи на смысловые части ; введение подходящих обозначений в том случае, когда данные (или искомые) в задаче не обозначены. Приемы, используемые на этапе «Поиск пути решения задачи и составление плана ее решения».

Слайд 11

составление математической модели ; составление уравнений и неравенств, связывающих данные величины и переменные, которые вводят обучающиеся; нахождение соответствия между различными величинами, применительно к которым формулируется вопрос задачи; решение уравнений, системы уравнений или неравенств. Сложности при решении текстовых задач

Слайд 12

Вся выполненная работа принимается за единицу. Находим часть работы выполненной одним объектом за единицу времени (производительность Р1). ( Р = 1/Т ) Находим часть работы выполненной другим объектом за единицу времени (производительность Р2). Находим часть работы выполненной двумя и более объектами за единицу времени (производительность Р) ( Р = Р1 + Р2 ). Находим время, затраченное на выполнение всей работы всеми участвующими объектами ( Т = 1 : Р ). Алгоритм решения задач на совместную работу

Слайд 13

Производительность труда, время работы и объем выполненной работы за данное время – это тройка пропорциональных величин. Эти величины связаны между собой, следующими формулами: 1) работа = производительность ∙ время, А = Р∙t; 2) производительность = работа /время , 𝑃 = А/ 𝑡 ; 3) время = работа/ производительность , 𝑡 = А/ 𝑃 Во время решения задач на совместную работу нужно ответить на следующие вопросы (рассмотрим на примере задачи: Двое рабочих выполняют некоторую работу за разные промежутки времени. За какое время они выполнят эту работу, если будут работать одновременно? ) : Что принято за время выполнения работы первым рабочим? Что принято за время выполнения работы вторым рабочим? Какова производительность труда первого рабочего? Какова производительность труда второго рабочего? Чему равна совместная производительность труда? Чему равно время, за которое выполнят задание, работая вместе?

Слайд 14

12 Производительность Время Работа 1 рабочий 1/ х х 1 2 рабочий 1/у у 1 Вместе 1/х+1/у 1/(1/х+1/у)= xy /( x +у ) 1 Решая задачи на совместную работу с помощью таблиц , нужно последовательно отвечать на представленные вопросы, постепенно заполняя таблицу:

Слайд 15

Способы решения задач: арифметический; алгебраический. Задача . Две бригады слесарей должны были выполнить некоторое задание за 16 дней. После 14 дней их совместной работы вторая бригада получила другое задание, поэтому первая бригада закончила оставшуюся часть работы за 6 дней. За сколько дней могла бы выполнить задание каждая бригада, работая отдельно? Решение: I способ ( арифметический ). Обозначим всю выполненную работу за 1. 1/16 часть работы в день – их совместная производительность. (частей) всей работы выполнили обе бригады за 14 дней. (часть) всей работы осталось сделать. производительность первой бригады; (дней) первая бригада выполнит всю работу;

Слайд 16

производительность второй бригады; 24 (дня) вторая бригада выполнит всю работу. Ответ: за 48 дней; за 24 дня II способ ( алгебраический ). Всю выполненную работу примем за 1. Пусть за x дней первая бригада смогла бы выполнить все задание, а за y дней – вторая . 1/ x – производительность труда первой бригады, 1/ y – производительность труда второй бригады, 1/ x +1/y – их совместная производительность. Две бригады слесарей должны были выполнить некоторое задание за 16 дней составим уравнение: ∙ 16=1, х≠0, у≠0

Слайд 17

Т.к. 14 дней они работали совместно, а затем в течение 6 дней заканчивала работу первая бригада, то можно составить второе уравнение: Оба условия выполняются одновременно, составим и решим систему уравнений: Значит, первая бригада выполнит задание за 48 дней, а вторая - за 24 дня. Ответ: за 48дней, за 24дня.

Слайд 18

Рассмотрим задачу на движение, где путь, пройденный движущимися телами, рассматривается как совместная работа. Особенностью этой задачи является то, что в ней нет никаких данных о пройденном расстоянии, а единственной данной величиной является время. В таких случаях удобно все расстояние принять за 1. Задача . Из города А выехал автомобиль и одновременно навстречу ему из города В выехал автобус. Двигаясь без остановки и с постоянными скоростями, они встретились через 1 ч 12 мин после начала движения. За сколько часов смогут преодолеть расстояние от города А до города В автомобиль и автобус в отдельности, если автомобиль прибыл в город В на 1 час раньше, чем автобус в город А? Решение: Пусть для прохождения расстояния от города А до города В автомобилю необходимо x ч, а автобусу на это же расстояние - y ч. Так как автомобиль прибыл в город на 1 час раньше, чем автобус, то составим уравнение: y - x = 1. За 1 час автомобиль преодолевает 1/ x часть всего пути, а автобус – 1/ y часть пути. Через 1 ч 12 мин, т.е. через 6/5 ч, они встретились, значит, преодолели все расстояние от А до В. 13

Слайд 19

Составим второе уравнение : ( 1/х+1/у)6/5=1. Оба условия выполняются одновременно, составим и решим систему уравнений: ( x ≠0, х≠-1) Решим второе уравнение системы х=2 или х=-0,6 2≠0; 2≠-1; -0,6≠0, -0,6≠-1 Так как время - величина положительная, то -0,6 не удовлетворяет условию задачи. Значит, расстояние от А до В автомобиль сможет преодолеть за 2 часа, а автобус – за 3 часа. Ответ: 2 ч; 3 ч.

Слайд 20

Ошибки , которые допускают обучающиеся при решении задачи: 1. Не понимают условия задачи и связи между данными. 2. Не могут составить уравнение (систему уравнений). 3. Перевод времени. 4. Ошибки в решении уравнения (дробно рационального, квадратного). 5. Ошибки в оценке результата решения задачи с точки зрения здравого смысла.

Слайд 21

Демонстрационный вариант 2019 г. Решения и критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

Слайд 22

Критерии оценивания

Слайд 23

Слайд 24

Литература

Слайд 25

Литература Методика обучения учащихся решению задач на совместную работу в курсе алгебры основной школы/ Сергеева И.Ю.-Тольятти, 2016г. Федеральный государственный образовательный стандарт общего основного образования / МОиН РФ. – М.: Просвещение, 2011. – 48с. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред. шк. / Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий – 3-е изд., – М.: Просвещение, 1989. О задачах на «работу» и не только о них / А.В. Шевкин // Математика в школе. -1993. – № 6. – С. 16-18. Алгоритм решения задач на тему «работа» / А.А. Щепоткин // Математика в школе. -1993. – № 2. – С.