материалы к урокам по алгебре в 10 классе по теме "Функции" (ФГОС 2023)
учебно-методический материал по алгебре (10 класс)

Домашнее задание

Построить графики функций

                        №1                                                   №2                                                        №3

Самостоятельная работа

Самостоятельная работа «Свойства функций»

Вариант 1

1. Перечислите свойства функции y = g(x), изображенной на рисунке:

1. Область определения функции
2. Множество значений функции
3. Нули функции
4. Промежутки знакопостоянства (при каких значениях х функция принимает положительные; отрицательные значения)
5. Промежутки монотонности (возрастания и убывания) функции
6. Наибольшее и наименьшее значения функции.

2. Укажите рисунки, на которых изображены графики четных функций.

3. Функция f(x) – нечетная, f(-6) = 2. Найти f(6)
4. Исследовать функции на четность:

Самостоятельная работа «Свойства функций»

Вариант 2

1. Перечислите свойства функции y = g(x), изображенной на рисунке:

1. Область определения функции
2. Множество значений функции
3. Нули функции
4. Промежутки знакопостоянства (при каких значениях х функция принимает положительные; отрицательные значения)
5. Промежутки монотонности (возрастания и убывания) функции
6. Наибольшее и наименьшее значения функции.

2. Укажите рисунки, на которых изображены графики нечетных функций.

3. Функция g(x) – четная, g(2) = 7. Найти g(-2)

4. Исследовать функции на четность:

Линейная функция

Линейной называется функция вида , где   – угловой коэффициент,  – свободный член. Графиком такой функции является прямая.

1. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. Для каждой функции перечислите ее свойства.

Свободный коэффициент b задаёт точку пересечения прямой с осью ординат, так как . Угловой коэффициент , где  – угол между прямой и положительным направлением оси Ox.

Свойства линейной функции :

• Область определения 
• Область значений   (если ),  (если )
• Четность/нечетность:

1. если , функция общего вида
2. если , , функция нечетная (функция вида  называется прямой пропорциональностью)
3. если , , функция четная
4. если , , функция равна нулю, то есть одновременно и четная, и нечетная

• Монотонность функции:

1. если , то функция возрастает
2. если , то функция убывает
3. если , то функция постоянна (параллельна оси абсцисс)

4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

а)  на отрезке [-3; 0];              б)  на отрезке [-1; 2];

в)  на отрезке [-3; 6];                      г)  на отрезке [-5; 3].

Взаимное размещение графиков линейных функций:

1. если , графики функций  и  пересекаются в одной точке
2. если , , графики функций  и  являются параллельными прямыми
3. если , , графики функций  и  прямые совпадают

Задания из ЕГЭ

5. На рисунке 1 изображён график функции

 .

а) Найдите f(-5) 

б) Найдите значение x, при котором f(x) = -13,5

6. На рисунке 2 изображены графики двух линейных функций. Найдите

а) абсциссу точки пересечения графиков

б) ординату точки пересечения графиков.                             Рисунок 1                     Рисунок 2

Домашнее задание

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

а)  на отрезке [-2; 2];              б)  на отрезке [0; 3];

в)  на отрезке [-7; 5];                        г)  на отрезке [-5; 3].

2. На рисунке  изображены графики двух линейных функций. Найдите

а) абсциссу точки пересечения графиков

б) ординату точки пересечения графиков.                          

Самостоятельная работа «Линейная и квадратичная функции»           Вариант 1

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке [-3; 2].
2. Определите координаты вершины параболы ;  
3. Функция задана формулой. Найдите:

а) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения;

б) при каких значениях аргумента функция убывает;

в) наибольшее значение функции.

4. График функции  проходит через точки А(-3; -3) и В(1;5).

а) Запишите формулу, задающую функцию;

б) Найдите f(-8). 

Самостоятельная работа «Линейная и квадратичная функции»          Вариант 2

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке [-2; 3].
2. Определите координаты вершины параболы ;  
3. Функция задана формулой. Найдите:

а) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения;

б) при каких значениях аргумента функция возрастает;

в) наименьшее значение функции.

4. График функции  проходит через точки А(-3; -3) и В(0;6).

а) Запишите формулу, задающую функцию;

б) Найдите f(-10).

Самостоятельная работа «Линейная и квадратичная функции»              Вариант 3

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке [-3; 4].
2. Определите координаты вершины параболы ;  
3. Функция задана формулой. Найдите:

а) при каких значениях аргумента функция принимает отрицательные значения;

б) при каких значениях аргумента функция возрастает;

в) наибольшее значение функции.

4. График функции  проходит через точки А(-1; -2) и В(2;7).

а) Запишите формулу, задающую функцию;

б) Найдите f(-12).

Самостоятельная работа «Линейная и квадратичная функции»           Вариант 4

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке [-2; 5].
2. Определите координаты вершины параболы ;  
3. Функция задана формулой. Найдите:

а) при каких значениях аргумента функция принимает отрицательные значения;

б) при каких значениях аргумента функция убывает;

в) наименьшее значение функции.

4. График функции  проходит через точки А(-2; 1) и В(1;7).

а) Запишите формулу, задающую функцию;

б) Найдите f(-11) 

Дробно-линейная функция

Дробно-линейной называется функция вида , графиком которой является гипербола.

Эту функцию ещё называют обратной пропорциональностью, т.к. при увеличении (уменьшении) аргумента в несколько раз, значение функции во столько же раз уменьшается (увеличивается).

Если , то ветки гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

Если , то ветки гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

Свойства дробно-линейной функции:

• Область определения:   
• Область значения:  
• График дробно-рациональной функции оси координат не пересекает. Ось абсцисс является горизонтальной ассимптотой графика функции , ось ординат – вертикальной.
• Четность/нечетность: функция  нечетная
• Каждая из веток гиперболы является промежутком монотонности ( – убывания,  –  возрастания)

Пример построения графика дробно-линейной функции

Функция вида  , где , , также является дробно-линейной.

Ее можно привести к виду .

 – вертикальная   ассимптота;  – горизонтальная ассимптота.

Упражнения

1. Построить график функции .
2. Построить график функции .
3. Дана функция .

Найти y(5), y(-7).

4. Дана функция .

Найти x, если y = -7, y = 1

Домашнее задание (Дробно-линейная функция)

1. Дана функция .

а) Найти y(6), y(-6).

б) Вычислить x, если y = 41, y =

2. Построить график функции .
3. Построить график функции .