Логарифм.Производная логарифмической функции. Материалы открытого урока по алгебре 11 класс.
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Учитель математики: Чиненова Г.А.

Открытый урок в 11а классе.

Обобщающий урок по теме:

 «Логарифм. Производная логарифмической функции».

Изобретение логарифмов,

сократив работу астронома,

продлило ему жизнь…

Лаплас.

Цели урока:

• обобщение свойств логарифмической функции,  свойств логарифмов, понятия производной логарифмической и показательных функций, применение их к решению заданий;
• обобщение и систематизация знаний, умений и навыков учащихся в решении логарифмических уравнений и неравенств при подготовке к ЕГЭ;
• проверка умения самостоятельного применения полученных  знаний к решению задач.
  

Задачи урока:

Обучающая:

• повторить понятие логарифма, логарифмической функции;
• закрепить знание свойств логарифмов, логарифмической функции;
• систематизировать знания и умения для решения логарифмических  уравнений и неравенств;
• продолжить закрепление   практических навыков решения ключевых задач и формирование навыков применения знаний к решению  задач повышенной сложности при подготовке к ЕГЭ;

Развивающая:

• продолжить формирование аналитического и логического мышления учащихся;
• продолжить формирование у учащихся навыков самостоятельной деятельности при подготовке к ЕГЭ;
• пополнение интеллектуального багажа учащихся;
• продолжить формирование навыков математической речи.

Воспитательная:

• повышение мотивации к изучению предмета, повышение интереса к математике;
• воспитание уважения к соучастникам образовательного процесса;
• воспитание культуры поведения, общения, работы;
• воспитание стремления к самосовершенствованию.

Тип урока:

закрепление и обобщение изученного материала.

Ход урока

1. Организационный момент.  (Приветствие класса, отсутствующие, цели и задачи урока, работа на уроке.)

                                               Историческая справка.

Эдмонт Гунтер в 1624 году через 10 лет после появления первых таблиц изобрел логарифмическую линейку. В течении 300 лет она усовершенствовалась, но только лишь в 20 веке получила широкое распространение, сейчас ее вытиснили микрокалькуляторы и компьютеры.

Изобретение логарифмов в начале 17 в. Тесно связано с развитием в 16 в. производства и торговли, астрономии и мореплавания, требовавших усовершенствования методов вычислительной математики. Все чаще требовалось быстро производить громоздкие действия над числами, все точнее и точнее должны были быть результаты действий. вот тогда-то и нашла воплощение идея логарифмов, ценность которых состоит в сведении сложных действий к самым простым. В середине 16 в. Симон  Стивен опубликовал таблицу для вычисления сложных процентов, необходимость которых была вызвана ростом торгово- финансовых операций. Сам Стивен не заметил того, что его таблицами стали пользоваться для упрощения вычислений. Это увидел один из его современников – Бюрги. Талантливый математик И. Бюрги не был профессиональным ученым. Он был искуснейшим часовым мастером и механиком. В 1603 г по приглашению императора Рудольфа 2 он прибыл в Прагу, где стал придворным часовщиком. Его пребывание в Праге совпало по времени с пребыванием там Иоганна Кеплера. Деятельность Бюрги была высоко оценена Кеплером, который призвал Бюрги опубликовать свои изобретения. Бюрги составил таблицу логарифмов, где  одних умножений громоздких чисел на 1,0001 пришлось производить свыше 200 млн раз. Бюрги не торопился сдать в печать свой труд, и только в 1620 году она была опубликована. Однако важнейшей причиной ограниченного успеха таблицы Бюрги явилось то, что еще за 6 лет до её опубликования появилась более совершенная таблица логарифмов Джона Непера. Составлению таблиц Непер посвятил около 20 лет своей жизни. Таблица Непера сыграла огромную роль в математической науке. Таблицы натуральных логарифмов составил и издал в 20-х годах 17 в Джон Спейдель. Идея создания десятичных логарифмов была осуществлена другом Непера – Бриггсом.

2. Актуализация знаний учащихся.

1. Определение логарифма  его свойства, применение свойств к решению заданий.

Давайте вспомним , что называется логарифмом?  ( Логарифмом числа  b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b.)

Какое условие накладывается на  основание логарифма? На выражение, стоящее под знаком логарифма? (Основание логарифма  a>0, a# 1. Выражение, стоящее под знаком логарифма,  должно быть  положительно).  

Запишите основное логарифмическое тождество и свойства логарифмов.

(alogab=b,  logaa=1,  loga1=0,  logabc=logab+logac, logab/c=logab-logac,   logabn=nlogab, logamb=1/mlogab,  logab=1/logba)

Какие логарифмы еще существуют? (lgx, lnx) Каковы их основания? (lgx,основание 10, lnx –основание е).

Каким образом связаны показательная и логарифмическая функции? (Логарифмическая функция- обратная для показательной функции).Как свойства функции применяются к решению неравенств? (Учитывается убывание и возрастание функции, если основание логарифма больше 1, знак неравенства не меняется).

Что вы знаете об экспоненте? (это показательная функция с основанием е, ех) Чему равно число е? .Какова её производная? ((ех)!=ех). Напишите формулы производной показательной функции, натурального логарифма и логарифма с основанием а. Какие правила используют для вычисления производной? (правила вычисления производной суммы, произведения и частного.) Как правильно найти производную, если функция сложная? (производную основной функции умножить на производную подфункции).Какова первообразная показательной функции?

(ах)| =ахlna;  (lnx)|=  1/x,  (logab)|=1/alnb;  F(ax) = ax/lna

УСТНО:   Вычислите, применяя  определение логарифма и его свойства.

loga64=6 ; (2)           log363-log37; (2)       log1112,1+log1110;  (2);            log922

                                                                               __                                  log8122      (2)

log6(2+x)=1; (4)      log5(5+x)=2; (20)       log1/3V23               (-1/2)

(ln2x)| (2lnx*1/x)       [ log2 (x+1)]|   (1/(x+1)ln2)

3. Закрепление изученного материала.

Работа у доски.

1. Решить уравнения .

Log2x + log4x + log8x =5,5

(Решение: перейдем к одному основанию, например к основанию 2, тогда получим применяя свойства логарифма:

Log2x +1/2 log2x +1/3 log2x =5,5 умножим уравнение на 6, чтобы избавится от дробных множителей, получим:

6log2x +3log2x +2log2x =33, 11 log2x =33, log2x =3, значит x=8.)

                __

2. log6 Vx-2 +log6(x-11)=1     (Резервное задание)

(Решение: запишем  ОДЗ: {x-2 >0

     x-11>0, откуда получим x~ (11;   ).

Запишем уравнение в виде: 1/2log6 (x-2) +1/2log6(x-11)=1, или log6(x-2)+log6(x-11)=2.

Преобразовав получим: log6(x2 – 13x + 22)=2. Пользуясь определением логарифма получаем квадратное уравнение  x2 -13x +22=36 или  x2 -13x -14=0. Корни этого уравнения x1=14, x2=-1искл по ОДЗ. Ответ:{14})

3. Найдите производную функций

                  2

Y=23x-x            (Резервное задание)                                                                                       2

     (Решение: По правилу вычисления производной сложной функции получим:  (23x-x    )!=

       2                                             2

23x-x   *(3x-x2)! Ln2=23x-x  *(3-2x)ln2 )

4.  Y=ln(5x+x2)

(Решение: y!= 1/5x-x2 *(5x-x2)!= (5+2x)/(5x+x2))

5.  Y= log3(sin x)

(Решение:

Y!=(1/(sin x *ln3))*(sinx)!= cosx/sinxln3=ctgx/ln3.)

6.  Написать уравнение касательной к графику функции  f(x)=xln2x  в точке x0=e.

(Решение: уравнение касательной к графику функции  y=f(x0) + f! (x0)(x-x0), найдем значение производной и самой функции в точке х0. f!(e)=lne(lne+2)=3,  f(e)=eln2e=e.  Подставим в уравнение касательной и получим: y= 3(x-e)+e=3x-2e)

7.  Решить неравенство: log2(x-13)<3

(Решение: Зададим ОДЗ: x-13>0, по определению логарифма  log2 (x-13)28, используя свойства логарифмической функции, основание больше 1, значит, знак неравенства при переходе к неравенству аргументов сохраняется, так как функция возрастает. x-13<8, x<21.

С учетом ОДЗ ответ можно записать :x~ (13;21).

Резервное задание на уроке: задачи типа С3  стр24, № 3,5,26

4. Контроль знаний учащихся.

Каждому учащемуся выдается  текст самостоятельной работы (Приложение №1), составленной в двух вариантах и  бланк-имитатор бланка ЕГЭ для записи ответов решения (Приложение №2)  . Сами решения производятся в тетради. В скобках листа заданий стоят номера подготовительных к ЕГЭ упражнений. В самостоятельную работу включено задание С3. Каждое задание части В оценивается в 1 балл, задание С3 оценивается в 3 балла при верном и полном решении, которое дается на обороте бланка-имитатора.

5. Подведение итогов урока.

             Обобщение материала урока, выставление оценок за работу на уроке.

6. Домашнее задание.

Подготовка к ЕГЭ №2091,  2122, 2127,  707,  708.

                                          Кто с детских лет занимается математикой,

тот развивает внимание, тренирует свой мозг,

свою волю, воспитывает в себе настойчивость

и упорство в достижении цели.

А.Маркушевич.

Используемая литература:

Учебник «Алгебра и начала  математического  анализа 10-11 класс» А.Н.Колмогоров .

Доп. Литература: «Все задания группы В «Закрытый сегмент», 3000 задач ЕГЭ»  с теорией вероятности и статистикой под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко.,

«ЕГЭ-2011» Задачи С3 «Уравнения и неравенства»

Приложение 1

Самостоятельная работа (подготовка к ЕГЭ)     I вариант.

                                                                          __

B1. Найти значение выражения: 133log13 V13                      (1041)

     B 2.Найти точку максимума функции: y=ln(x+9)-2x+13       (2179)

     B 3. Найти значение выражения: log23log34               (1038)

      B4.Решите уравнение: log7(3-x)=2log74                      (714)

      В5. Решите неравенство: log31/2(x2-2x-5)>2                 (3)

      C3. Решите уравнение:  lg5+lg(x+10)=1+lg(21x-20)-lg(2x-1)

Самостоятельная работа (подготовка к ЕГЭ)     II вариант.

B1. Найти значение выражения: log6 198-log6 5,5                      (1044)

     B 2.Найти точку максимума функции: y=ln(x+13)-4x+8       (2180)

     B 3. Найти значение выражения: log4 3log3 16               (1039)

      B4.Решите уравнение: log2(14-2x)=4log23                      (713)

      В5. Решите неравенство: log0,5(x2-5x+6)>-1                 (3-17)

      C3. Решите уравнение: log4(2log3(1+log2(1+3log3x)))=1/2