Краткий конспект лекций по теме: «Методы вычисления неопределенных интегралов»
план-конспект по алгебре

Краткий конспект лекций по теме: «Методы вычисления неопределенных интегралов»

Краткие теоретические сведения:

Основной метод вычисления первообразной функции – это непосредственное интегрирование.

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам. Это действие основано на свойствах неопределенного интеграла, и для вычислений нам понадобится таблица первообразных.

Таблица интегралов:

13. – «Высокий» логарифм;
14. – «Длинный» логарифм.

Свойства неопределенного интеграла:

1. ;

Практические задания:

1. Найдите интеграл с помощью метода непосредственного интегрирования:

2. ;
3. ;
11. .

2. Найти первообразную функции ;

Краткие теоретические сведения:

Метод замены переменной заключается в выражении подынтегральной функции через новую переменную. При этом получают либо интеграл табличного вида, либо упрощают интеграл.

Пусть необходимо вычислить интеграл . Добавим новую переменную . Тогда , . Получившиеся выражения подставляем в интеграл: .

Правило интегрирования способом подстановки состоит в следующем

1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).
2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.
3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.
4. Производят замену под интегралом.
5. Находят полученный интеграл.
6. Производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной.

Практические задания:

4. Найдите интеграл с помощью метода подстановки:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. ;
11. ;
12. ;
13. ;
14. ;
15. .

5. Допишите предложение.

Основная предпосылка для использования метода замены переменной: в подынтегральном выражении должна находится функция и ….

6. Выберете для каждой функции ее первообразную. Обоснуйте свой выбор.

1. ;
2. ;
3. ;

1. ;
2. ;
3. ;
4. .

4. .

3. ;

Краткие теоретические сведения:

По определению дифференциала функции . Данный переход также называют «подведением множителя под знак дифференциала».

Теорема об инвариантности формул интегрирования.

, то , где – дифференцируемая функция от .

Пусть необходимо вычислить Предположим, что существуют дифференцируемая функция и функция такие, что: Тогда .

Практические задания:

7. На какой метод можно заменить метод подведения функции под знак дифференциала? Почему? Чем они отличаются?
8. Внесите функцию под знак дифференциала:

2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
9. ;
10. ;
11. .

9. Найдите интеграл с помощью метода подведения под знак дифференциала:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;

Краткие теоретические сведения:

Пусть функции – непрерывно дифференцируемые функции. по формуле дифференциала произведения. Поэтому Тогда Данная формула называется формулой интегрирования по частям. Она показывает, что интеграл можно привести к интегралу . Для использования данного метода подынтегральное выражение должно представляться в виде .

Пусть есть интегралы вида: где – многочлен степени n. В интегралах данного типа в качестве обычно выбирается , , , , А определяется как .

Пусть есть интегралы вида: где – многочлен степени n. В интегралах данного типа в качестве обычно выбирается , а определяется как, , .

Практические задания:

10. Пусть интеграл решается с помощью метода интегрирования по частям. . Выразите с помощью и .
11. Выберете для каждого интеграла и для рационального использования метода интегрирования по частям.

1. ,
2. ,
3. ,

1. ,
2. ,
3. ,
4. ,

1. ,
3. ,
4. ,

1. ,
3. ,
4. ,

1. ,
3. ,
4. ,

12. Найдите интеграл с помощью метода интегрирования по частям:

2. ;
3. ;
4. ;