Урок алгебры по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии», 9 класс
план-конспект урока по алгебре (9 класс)

Методическая разработка урока

по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Боровская Татьяна Андреевна

учитель математики и экономики

МОУ «Седановская СОШ»

Алгебра 9 класс

Цель урока: Изучение понятия «прогрессия», виды прогрессий, их определение, свойства, формула n-го члена.

Задачи урока:

• Определение понятий арифметической и геометрической прогрессии, формирование умений работать с формулой n-го члена прогрессии.
• Изучить определение арифметической и геометрической прогрессии; вывести формулу n-го члена; сформировать навыки применения формулы при решении упражнений.
• Развивать математическое мышление – умение применять ранее изученный материал о последовательностях; умение выстраивать логическую цепочку доказательств, аргументировать способ решения. Формирование грамотной математической речи.
• Воспитание самостоятельности, трудолюбия, внимания, чувства ответственности и общематематической культуры.

Планируемые результаты:

Предметные

Обучающиеся научится:

• распознавать арифметическую и геометрическую прогрессию;
• применять формулы n-го члена прогрессии в ходе решения практических задач;
• находить неизвестный член прогрессии;
• применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач;
• аргументировать своё решение, выбирать задания, соответствующие знаниям, излагать информацию, обосновывая свой собственный подход.

Личностные

• контролировать процесс и результат учебной математической деятельности формирование навыков индивидуальной и коллективной исследовательской деятельности;
• формирование устойчивого интереса к творческой и индивидуальной деятельности;
• учится проявлять самостоятельность в различных видах деятельности;
• работать над осознанием ответственности за общее дело;
• формирование установки на здоровый образ жизни.
• креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении математической задачи.

Метапредметные

Регулятивные - формирование умения соотносить свои действия с планируемыми результатами;

• осуществлять контроль своей деятельности в процессе достижения результата;

Познавательные - умение проводить исследование, анализировать, сравнивать, извлекать из личного опыта, дифференцировать, делать выводы;

- оценивать результаты своей деятельности;

- умение структурировать полученную информацию, выбирать главное;

- умение определять логическую последовательность действий и следовать ей в своей деятельности

Коммуникативные - умение вступать в речевое общение, участвовать в диалоге (понимать точку зрения собеседника, признавать право на иное мнение).

- отражать в устной и письменной форме результаты своей деятельности предметной и интеллектуальной.

- формировать умение воспринимать, перерабатывать и предъявлять информацию, извлекаемую, в том числе из субъектного опыта, в словесной, символической формах;

-распределять работу, оценивать свой вклад в результат общей деятельности.

Тип урока: Урок первичного изучения материала, систематизация полученных знаний.

Форма урока (вид): традиционная с элементами проблемного, исследовательского и практического обучения.

Методы обучения:

• Традиционные: объяснительно-иллюстративный и репродуктивный – при решении упражнений.
• Нетрадиционные: проблемный (при построении выведения определений и формул); частично-поисковый (при работе над формулой n-го члена и при выполнении заданий на повторение), исследовательский (вывод формул).

Формы работы учащихся: Групповая работа (в парах), фронтальная и индивидуальная.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер, проектор, презентация.

Средства обучения: контрольный дидактический материал, включающий задания разного уровня сложности для проверки уровня усвоения учебного материала.

План урока:  

1.        Организационный этап.

Проверка готовности обучающихся.

2.        Повторение пройденного материала.

Выполнение заданий по карточке (ОГЭ № 11, заполнение бланков).

3. Актуализация знаний.

Мотивация учебной деятельности учащихся.

Введение в тему занятия - постановка проблемы, формулирование цели, учебных задач урока.

4. Основной этап.

Изучение новой темы. Вывод формул.

5. Работа письменно.

Закрепление полученных знаний – выполнение заданий на решение практических задач.

6.        Подведение итогов урока.

Проверь себя.

Рефлексия. Синквейн.

Оценка деятельности.

ХОД УРОКА

1.        ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ

Здравствуйте, ребята!

Каждый новый день, тем более весенний - повод для радости, интересных встреч (сегодня на уроке у нас присутствую гости) и повод удивительных открытий.

Предлагаю вам сегодня на уроке открыть что-то новое, интересное, удивительное в мире математики.

Вам сегодня на уроке понадобится рабочая тетрадь, ручка.

Отройте тетрадь, запишите сегодняшнее число. Классная работа.

2. ПОВТОРЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО МАТЕРИАЛА

По традиции предлагаю начать урок с повторения изученного материала. На предыдущих уроках мы завершили изучение темы «Функции и их свойства». Эта тема встречается в ОГЭ – задание № 11. Сейчас вам необходимо выполнить задание по карточке и занести свои ответы в бланк. На выполнение задания 5 минут.

Проверьте свои ответы, оцените работу.

3. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

На доске записаны (на карточках) различные последовательности. Ребятам необходимо увидеть закономерность разделить их на группы.

1. 1, 2, 3, 4, 5…
2. 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001…
3. 10, 14, 18, 22, 26…
4. 9, 9, 9, 9…
5. -5, -10, -20, -40, -80…
6. 1, 
7. -2, -4, -6, -8, -10…

Задание заключалось в классификации этих последовательностей. Классифицировать последовательности они могли по-разному, в зависимости от правил составления той или иной последовательности. При проверке выполнения задания рассматриваются все возможные варианты и обсуждаются.

В результате обсуждения получены две группы последовательностей, от учащихся требуется сформулировать правило, по которому они составлены.

Молодцы! Вы разделили последовательности на две группы, каждая из которых имеет своё название.

Подписать последовательности.

И так тема нашего урока «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Что мы будем делать на уроке?

Цель урока: Изучить понятия «прогрессия», виды прогрессий, их определение и свойства.

Мы будем сегодня: узнавать что-то новое, изучать, выводить формулы, применять их на практике.

Мотивация изучения нового материала вытекает из потребностей обучающихся более детально изучить полученные группы последовательностей.

4. ОСНОВНОЙ ЭТАП

4.1. Вывод определения арифметической и геометрической прогрессии, работа над определением.

ИСТОРИЯ

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression) и означает «движение вперед» (как слово «прогресс»). Этот термин впервые был введен римским автором Боэцием, жившем в 6 веке.

Этим термином в математике прежде называли всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении.

Первые из дошедших до нас задачи на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т.д.

На связь между прогрессиями первый обратил внимание великий Архимед.

Выделяют два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – эти названия сохранились с древних времён.

Так что же такое арифметическая и геометрическая прогрессия? Давайте разбираться подробно.

Мы с вами распределили последовательности на две группы. Заметили отличия.

4.2. Свойства арифметической прогрессии

Сегодня предлагаю более подробно рассмотреть АРИФМЕТИЧЕСКУЮ ПРОГРЕССИЮ

Давайте рассмотрим наши последовательности.

1) 1, 2, 3, 4, 5… d = 1

2) 10, 14, 18, 22, 26… d = 4

3) -2, -4, -6, -8, -10… d = -2

4) 9, 9, 9, 9, 9… d = 0

Мы видим, что в каждой последовательности d имеет разный знак. Что заметили?

СВОЙСТВА ПРОГРЕССИИ

1. Если в арифметической прогрессии разность положительна (d>0), то прогрессия является возрастающей.
2. Если в арифметической прогрессии разность отрицательна (d<0), то прогрессия является убывающей.
3. В случае, если разность равна нулю (d=0) и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной.

4.3. Вывод формул n-го члена арифметической прогрессии.

Для решения некоторых задач по физике, геометрии, биологии, химии, экономике, строительному делу используются формулы арифметической и геометрической прогрессии.

Например, вы решите оформить вклад в банке, то проценты по вкладу будут начисляться по схемам сложных и простых процентов. Простые проценты – увеличения первоначального вклада   в арифметической прогрессии, сложные проценты – увеличение в геометрической прогрессии.

В этом году вам предстоит сдавать экзамен.  В задании № 14 вам предстоит применить знания на нахождение прогрессии.

Давайте рассмотрим одну из задач.

ЗАДАЧА № 1

В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 25 мест, а каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?

Нам нужно посчитать а8.

a1 = 25; d = 3.

a2 = 25+ 3 = 28

а3 = 28 + 3 = 31

а4 = 31 + 3 = 34 и т. д.

a1;

a2 = a1 + d

а3 = а2 + d = a1 + 2d

а4 = а3 + d = a1 + 3d

аn = а1 + d(n – 1) – формула n-го члена арифметической прогрессии

Воспользуемся формулой для арифметической прогрессии:

A8 = a1 + (8 − 1)⋅d = 25 +7 ⋅ 3 = 46.

Ответ: 46

5. РАБОТА ПИСЬМЕННО

РАБОТА С УЧЕБНИКОМ

Стр. 151 № 575, № 577.

Предлагаю вам решить ещё несколько задач из жизни (КАРТОЧКА).

ЗАДАЧА № 2

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту его температура уменьшалась на 6∘C.   Найдите температуру вещества в градусах Цельсия через 4 минуты после начала опыта, если начальная температура вещества составляла − 7∘ C.  (Источники: Банк ФИПИ)

РЕШЕНИЕ:

а1 = -7; d = - 6.

Нам нужно посчитать а5, воспользуемся формулой для арифметической прогрессии:

a5 = a1 + (5 − 1)⋅d = −7 + 4 ⋅(− 6) = −7 − 24 = −31.

Ответ: -31

ЗАДАЧА № 3

Витя решил сделать садовую лестницу с таким расчетом, чтобы нижняя ступенька имела длину 50 см, а каждая из следующих 12 ступенек была на 2 см короче предыдущей. Какой длины должна быть верхняя ступенька лестницы?

Дано:   ;  ; .

Найти:

Решение:

Ответ: 26 сантиметров.

ЗАДАЧА № 4

Курс воздушных ванн начинают с 15 мин. в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 час 45 минут?

Дано:  а1= 15 мин;  d = 10;  an = 1ч 45 мин = 105 мин.

Найти:   n = ?

Решение:

an = a1+ d · (n - 1)

105 = 15 + (n – 1) · 10

105 = 15 +10 n – 10

-10n = 15 – 10 – 105

-10n = -100

n = 10

Ответ: 10 дней

ЗАДАЧА № 5

3 марта на лужайке из-под снега показались три цветка. Каждый следующий день цветов появлялось на одно и то же количество больше, чем в предыдущий. Сколько цветов появилось из-под снега через 5 дней, если 4 марта на лужайке было 5 цветков.

РЕШЕНИЕ:

а1 = 3; а2 = 5.

d = а2 – а1 = 5 – 3 = 2

Нам нужно посчитать а6, воспользуемся формулой для арифметической прогрессии:

A6 = a1 + (6 − 1)⋅d = 3 + 5 ⋅ 2 = 13.

Ответ: 13 цветков.

Какой это будет день? Международный женский день.

Поздравляю всех девочек и наших педагогов с наступающем праздником. Всем весеннего настроения, счастья, море внимания и цветов.

6. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА

Проверь себя

Истинно или ложно каждое высказывание? 

1. В арифметической прогрессии 2,4; 2,6; … разность равна 2.

2. В геометрической прогрессии   0,3; 0,9; … третий член равен 2,7

3. 11-ый член арифметической прогрессии, у которой                                     равен  - 0,2  

4.  Последовательность чисел, кратных 5, является геометрической прогрессией.

5. Последовательность степеней числа 3 является арифметической прогрессией.

Проверка ответов

- + + - -

Что мы сегодня научились делать?

Домашняя работа.

Рефлексия

СИНКВЕЙН

1-я строка – _________________________________(тема называется одним словом – обычно существительным).

2-я строка –  _________________________________________ (описание темы в двух словах – два прилагательных).

3-я строка – _________________________________________________(описания действия в рамках этой темы - три глагола).

4-я строка – ________________________________________________(фраза из четырёх слов, показывающая отношение к теме урока).

5-я строка – _____________________________________(существительное, связанное с первым, отражающее сущность темы).

Мы сегодня только познакомились с арифметической и геометрической прогрессией. Мы будем работать по этой теме ещё несколько уроков.

Ну, а сегодня мне хотелось сказать всем большое спасибо.

Приложение

ЗАДАЧИ

№ 1.   В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 25 мест, а каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?

№ 2. При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту его температура уменьшалась на 6∘C.   Найдите температуру вещества в градусах Цельсия через 4 минуты после начала опыта, если начальная температура вещества составляла − 7∘ C.  

№ 3. Витя решил сделать садовую лестницу с таким расчетом, чтобы нижняя ступенька имела длину 50 см, а каждая из следующих 12 ступенек была на 2 см короче предыдущей. Какой длины должна быть верхняя ступенька лестницы?

№ 4.  Курс воздушных ванн начинают с 15 мин. в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 час 45 минут?

№ 5. 3 марта на лужайке из-под снега показались три цветка. Каждый следующий день цветов появлялось на одно и то же количество больше, чем в предыдущий. Сколько цветов появилось из-под снега через 5 дней, если 4 марта на лужайке было 5 цветков.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ

Истинно или ложно каждое высказывание? 

1. В арифметической прогрессии 2,4; 2,6; … разность равна 2.

2. В геометрической прогрессии   0,3; 0,9; … третий член равен 2,7

3. 11-ый член арифметической прогрессии, у которой а1 = - 4,2; d = 0,4, равен -0,2.  

4. Последовательность чисел, кратных 5, является геометрической прогрессией.

5. Последовательность степеней числа 3 является арифметической прогрессией.