Параллельный перенос
методическая разработка по геометрии (9 класс)

Параллельный перенос

Паралле́льный перено́с, иногда трансляция(от лат. translatio — перенос, перемещение) ― частный случай движения, при котором все точки пространства перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Определение

Параллельный перенос ― перемещение всех точек пространства в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Если M ― первоначальное положение, а M′ ― смещённое в результате переноса положение точки, то вектор MM′→ ― один и тот же для всех пар точек, соответствующих друг другу в данном преобразовании.
Параллельный перенос на вектор a→ обозначается как Ta→ (от лат. translatio - перенос, перемещение)Параллельный перенос перемещает каждую точку фигуры или пространства на одно и то же расстояние в одном и том же направлении.Координатное представление[править | править код]На плоскости параллельный перенос выражается аналитически в прямоугольной системе координат (x,y) при помощи(x,y)↦(x+a,y+b),где вектор MM′→=(a,b).

Свойства

Две различные точки и их образы, полученные параллельным переносом, являются вершинами параллелограмма, в котором отрезок, соединяющий две начальные точки, образует одну сторону, а отрезок, соединяющий два их образа — противоположную ей сторону.У параллельного переноса нет неподвижных точек (если только это не тождественное преобразование, либо если прямая или плоскость не параллельны вектору параллельного переноса (т.к. именно он определяет направление переноса)).Совокупность всех параллельных переносов образует группу, которая в евклидовом пространстве является нормальной подгруппой группы движений, а в аффинном ― нормальной подгруппой группы аффинных преобразований.Параллельный перенос сохраняет направления ( т.е. для любого вектора a→ верно, что f(a→)=a→)Преобразование, обратное к параллельному переносу Ta→ есть T−a→Композиция параллельных переносов Ta→ и Tb→ есть Ta→+b→Параллельный перенос переводит прямую в себя или в параллельную ей прямую, а плоскость - в себя или в параллельную ей плоскость.Параллельный перенос T0→ - это тождественное преобразование.

Вариации и обобщения

Параллельное перенесение — обобщение понятия «параллельный перенос» на случай искривлённых пространств.Поступательное движение — движение в механике, разница положений при котором в любые 2 момента времени представляет собой параллельный перенос.Трансляция (кристаллография)Трансляционная симметрия

Давайте разберем, что такое параллельный перенос, и как его можно объяснить на примерах.

Пример на координатной плоскости.

Рассмотрим пример на координатной плоскости. Пусть у нас есть точка 𝐴(2; 3). Мы хотим выполнить параллельный перенос этой точки на вектор 𝑣→=(4; −2).

1. Вектор 𝑣→=(4; −2) означает, что мы перемещаем точку на 4 единицы вправо и на 2 единицы вниз.

2. Новые координаты точки 𝐴′ будут (2+4; 3−2)=(6; 1).

Таким образом, точка 𝐴(2; 3) после параллельного переноса на вектор 𝑣→=(4; −2) перейдет в точку 𝐴′(6; 1).

Пример с фигурой.

Теперь рассмотрим пример с фигурой, например, треугольником. Пусть у нас есть треугольник с вершинами 𝐴(1; 2), 𝐵(3; 4) и 𝐶(5; 1). Мы хотим выполнить параллельный перенос этого треугольника на вектор 𝑣→=(2; 3).

1. Переносим каждую вершину треугольника на вектор 𝑣→:

- Точка 𝐴(1; 2) перейдет в точку 𝐴′(1+2; 2+3)=(3; 5).

- Точка 𝐵(3; 4) перейдет в точку 𝐵′(3+2; 4+3)=(5; 7).

- Точка 𝐶(5; 1) перейдет в точку 𝐶′(5+2; 1+3)=(7; 4).

2. Новые координаты вершин треугольника после параллельного переноса:

𝐴′(3; 5), 𝐵′(5; 7), 𝐶′(7; 4).

Проверка свойств.

Важно отметить, что при параллельном переносе:

- Расстояния между точками не изменяются.

- Углы между сторонами фигуры остаются такими же.

- Фигура сохраняет свою форму и размеры.

Применение в задачах ОГЭ.

В задачах ОГЭ часто требуется выполнить параллельный перенос и найти новые координаты точек или проверить, как изменится фигура. Например, может быть дана фигура и вектор переноса, и нужно найти координаты новой фигуры.

Пример задачи:

Дан квадрат с вершинами 𝐴(1; 1), 𝐵(1; 3), 𝐶(3; 3), 𝐷(3; 1). Выполните параллельный перенос на вектор 𝑣→=(2; −1).

Решение:

1. Переносим каждую вершину квадрата:

𝐴(1; 1)→𝐴′(1+2; 1−1)=(3; 0)

𝐵(1; 3)→𝐵′(1+2; 3−1)=(3; 2)

𝐶(3; 3)→𝐶′(3+2; 3−1)=(5; 2)

𝐷(3; 1)→𝐷′(3+2; 1−1)=(5; 0)

2. Новые координаты вершин квадрата:

𝐴′(3; 0), 𝐵′(3; 2), 𝐶′(5; 2), 𝐷′(5; 0)

Таким образом, квадрат после параллельного переноса на вектор 𝑣→=(2; −1) будет иметь новые координаты вершин.

Параллельный перенос — это простое, но важное геометрическое преобразование, которое сохраняет форму и размеры фигуры.