Линейная функция, ее свойства и график
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (7 класс)

Линейная функция

Функция вида y = kx + b называется линейной функцией, где

у — значение функции, х — независимая переменная, k — коэффициент наклона (угловой коэффициент), b — свободный член, который показывает, где прямая пересекается с осью Y.

Графиком линейной функции является прямая.

Частным случаем линейной функции y = kx + b является прямая пропорциональность y = kx графиком которой является прямая, проходящая через начало координат, т.е. через точку О (0;0)

Свойства линейной функции

У линейной функции есть несколько важных свойств, которые её описывают. Давайте разберём их.

Угловой коэффициент

Угловой коэффициент  k определяет наклон графика линейной функции и описывает, как быстро меняется значение y по сравнению с x.  Он влияет на направление и угол наклона линии, а ещё с его помощью можно понять, как изменяется функция:

• Если k > 0, график наклонён вправо и функция будет возрастающей.
• Если k < 0, график наклонён влево и функция будет убывающей.
• Если k = 0, функция постоянна, и график у = b представляет собой горизонтальную линию, параллельную оси X.

Чем больше по модулю значение k, тем больше угол между графиком и осью X. Например, если k = 1,  то наклон прямой будет 45 градусов. Если увеличить угловой коэффициент до 2, прямая будет расти быстрее, а угол наклона увеличится.

Угловой коэффициент k также показывает, на сколько единиц изменится y, если x изменится на одну единицу. Например, если k = 2, то при увеличении x на одну единицу y увеличивается на две единицы. Этот принцип отражает постоянный темп изменения y по отношению к x.

Влияние углового коэффициента на график линейной функции

Свободный член b

Свободный член b показывает, в какой точке график пересекается с осью Y и сдвигает его вверх или вниз. Он не влияет на наклон линии, а только на её положение по высоте:

•        Если b > 0, прямая пересекает ось Y выше начала координат.

•        Если b < 0, прямая пересекает ось Y ниже начала координат.

•        Если b = 0, то линейная функция принимает вид  y = kx. Такая функция называется прямо пропорционально, и её график проходит через начало координат.

Область определения функции

Область определения функции — это все значения, которые может принимать переменная x.  Для графика функции y = kx + b область определения включает все действительные числа

Область значений функции

Область значений функции — это значения, которые может принимать переменная y при различных x. Область значения графика линейной функции также включает в себя все действительные числа.

Если k = 0, то область значений функции будет включать только одно значение y = b.

Непрерывность

Линейная функция y = kx + b — непрерывная, так как её график представляет собой прямую линию без разрывов и скачков. Для любого значения x функция ведёт себя предсказуемо, и изменение x приводит к пропорциональному изменению y. Непрерывность линейной функции означает, что её график можно нарисовать одним движением, например, с помощью линейки.

Точки пересечения с осью X

График линейной функции y = kx + b пересекает ось X в точке x = −b / k при k ≠ 0.  При k = 0  точек пересечения нет, так как уравнение превращается в у = b -это прямая линия, которая параллельна оси X и не пересекает её.

    Чётность функции показывает, как она ведёт себя при замене x на −x:

• Чётная функция: при замене x на −x значение не меняется, то есть f(−x) = f(x).
• Нечётная функция: при замене x на −x значение меняется на противоположное, то есть f(−x) = −f(x).

Линейная функция будет чётной только в случае, если k = 0, а нечётной - если b= 0. Если у линейной функции одновременно k ≠ 0 и b ≠ 0, то она не будет ни чётной, ни нечётной.

Разберём, как это работает, на примере функции f(x) = 5x.  В ней коэффициент наклона k = 5, а свободный член b = 0.  Сперва подставим в неё −x:

f(−x) = 5(−x) = −5x

Знак перед функцией поменялся на противоположный, а это значит, что применимо свойство нечетной функции f(−x) = −f(x).  Следовательно, f(x) = 5x — нечётная функция.

Построение графика линейной функции

Построить график линейной функции просто. Для этого нужно найти две точки на графике и провести через них прямую. В общем виде алгоритм выглядит так.

Шаг 1. Найдём точку пересечения с осью Y. Точка пересечения с осью Y — это точка, в которой x = 0.  Чтобы найти её, надо подставить x = 0  в уравнение функции y = kx + b:

y = k × 0 + b = b

Значит, у точки пересечения с осью Y координаты (0, b).

Шаг 2. Найдём вторую точку графика для любого значения x. Для этого выбираем любое значение x, желательно не слишком близкое к 0 (например, x = 1 или x = −1), подставляем его в уравнение и находим значение y.

Шаг 3. Строим график. Отмечаем найденные точки на графике и проводим через них прямую — это и будет график линейной функции.

Если k = 0, то график будет горизонтальной линией, так как y = b останется неизменным при любом x.

Примеры с решениями

Разберём алгоритм построения графика линейной функции более детально. Для примера построим график возрастающей функции у = 2х + 3:

Шаг 1. Найдём точку пересечения с осью Y. Подставим в уравнение 

у(0) = 2 × 0 + 3 = 3. x = 0:

Значит, координаты точки пересечения с осью Y - (0, 3).

Шаг 2. Найдём вторую точку графика. Для этого надо выбрать любое значение x и подставить его в уравнение.

Возьмём х = 1 и подставим в у = 2х + 3:

у(1) = 2 × 1 + 3 = 5

Координаты второй точки графика: (1, 5).

Шаг 3. Строим график. Отметим точки с координатами (0, 3) и (1, 5) на координатной плоскости и проведём через них прямую:

График линейной функции может быть и убывающим. Чтобы быть готовыми ко всему, разберём и такой случай.

Построим график убывающей функции у = −0,5х − 1.

Шаг 1. Найдём точку пересечения с осью Y.

y(0) = −0,5 × 0 − 1 = −1

Координаты первой точки — (0, −1).

Шаг 2. Найдём вторую точку графика.

Подставим значение  x = 2 в уравнение:

у(2) = −0,5 × 2 − 1 = −2

Координаты второй точки  (2, −2).

Шаг 3. Строим график.

Отметим точки с координатами (0, −1) и (2, −2) на координатной плоскости и проведём через них прямую: