материалы по алгебре для 11 класса "Комплексные числа"
учебно-методический материал по алгебре (11 класс)

Понятие комплексного числа

Комплексное число – это двумерное число.

Оно имеет вид 

  где  и  – действительные числа,  – так называемая мнимая единица.

Число  называется действительной частью () комплексного числа , число  называется мнимой частью () комплексного числа .

 – это ЕДИНОЕ  ЧИСЛО, а не сложение.

Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости.

Комплексная плоскость состоит из двух осей:
 – действительная ось
 – мнимая ось.

Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
, , 
, , 
, , , 

Числа , ,  – это комплексные числа с нулевой мнимой частью.

Числа , ,  – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси .

В числах , , ,  и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не  чертят, потому что они сливаются с осями.

Сложение комплексных чисел

Пример 1

Сложить два комплексных числа , 

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Для комплексных чисел справедливо правило:  – от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Вычитание комплексных чисел

Пример 2

Найти разности комплексных чисел  и , если , 

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

.

Рассчитаем вторую разность:

Здесь действительная часть тоже составная: 

Умножение комплексных чисел

Пример 3

Найти произведение комплексных чисел  , 

Очевидно, что произведение следует записать так:

Раскрываем скобки по правилу умножения многочленов:

Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена (надо помнить, что  и быть внимательными со знаками)

Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .

Деление комплексных чисел

Для выполнения этого действия нам понадобится понятие сопряжённого комплексного числа. Число  называют сопряжённым для числа  (и наоборот). Таким образом,  – это пара сопряженных (по отношению друг к другу) чисел.

Пример 4

Даны комплексные числа , . Найти частное .

Составим частное:

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю число .

Cмотрим на наш знаменатель: . Сопряженным для него является  .

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число :

Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой  (помним, что  и не путаемся в знаках!!!).

Пример 5

В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел: .

Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы: . (ответ: )

Пример 6

Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме ( ).

Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю число, то есть на . Далее пользуемся формулой :
 – обратите внимание, что исходное и полученное – это одно и то же число.

Пример 7

Даны два комплексных числа , . Найти их сумму, разность, произведение и частное.

Решение:

Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел

Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел

Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел

Тригонометрическая форма комплексного числа

1. Проверка дз, повторение действий с комплексными числами

Изобразите комплексные числа

2. Найдите сумму, разность, произведение и частное: z1 и z2
3. Решение уравнений на множестве комплексных чисел

Решить уравнение:    

Тригонометрическая форма комплексного числа

Любое комплексное число (кроме нуля)  можно записать в тригонометрической форме:
,

где  – это модуль комплексного числа, а  – аргумент комплексного числа. 

Модулем комплексного числа  называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Модуль комплексного числа  стандартно обозначают:  или 

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: .

Аргументом комплексного числа  называется угол  между положительной полуосью действительной оси  и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: .

Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:
. 

Внимание! Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-й и не 4-й координатной четверти, то формула будет немного другой. Эти случаи мы тоже разберем.

Но сначала рассмотрим простейшие примеры, когда комплексные числа располагаются на координатных осях.

Пример 1

Представить в тригонометрической форме комплексные числа: , , , .

1) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .
Очевидно, что  (число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Проверка: 

2) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .
Очевидно, что  (или 90 градусов). На чертеже угол обозначен красным цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Проверка:  

3) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .
Очевидно, что  (или 180 градусов). На чертеже угол обозначен синим цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Проверка: 

4) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .

Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ:  (270 градусов), и, соответственно: . Проверка: 

Однако более стандартно следующее правило: Если угол больше 180 градусов, то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла:  (минус 90 градусов), на чертеже угол отмечен зеленым цветом. Легко заметить, что  и  – это один и тот же угол.

Таким образом, запись принимает вид: 

Внимание! Ни в коем случае нельзя использовать четность косинуса, нечетность синуса и проводить дальнейшее «упрощение» записи:

формулы для нахождения аргумента будут разными, это зависит от того, в какой координатной четверти лежит число . При этом возможны три варианта:

1) Если  (1-я и 4-я координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле .

2) Если  (2-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

3) Если  (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

Пример 2

Представить в тригонометрической форме комплексные числа:

 , , , .

1. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. 

 Поскольку  (случай 1), то . Таким образом:  – число  в тригонометрической форме.

2. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.
   
   Поскольку  (случай 2), то  – вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице отсутствует значение , поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:
    – число  в тригонометрической форме.
3. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.
   

Поскольку  (случай 1), то  (минус 60 градусов).

Таким образом:
 – число  в тригонометрической форме.

А вот здесь, как уже отмечалось, минусы не трогаем.

Проверка:
 – число  в исходной алгебраической форме.

4. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. . Поскольку  (случай 3), то . Таким образом:  – число  в тригонометрической форме.

Домашнее задание:

1. Выполните сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел:
2. Запишите в тригонометрической форме комплексные числа:
3. Решшите уравнение в комплексных числах:

Действия с комплексными числами, записанными в тригонометрической форме

Повторение.

Записать числа в тригонометрической форме.

Умножение

При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Пример 1.

Деление

При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Возведение в степень

Натуральные степени мнимой единицы i.

Задание 1

Пример 3

Задание 2.

Вычислить

; .

При возведении в степень, большую 2, удобно использовать тригонометрическую форму комплексного числа.

Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень   модуль этого числа возводится в степень n, а аргумент умножается на n:

(формула Муавра)

Пример 4

Дано комплексное число , найти .

Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме:

Тогда, по формуле Муавра:

Угол в большинстве случае следует упростить. Для этого нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет  радиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе . Для удобства делаем дробь правильной: , после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот: . Надеюсь всем понятно, что  и  – это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде:
 (т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).

Хотя  – ни в коем случае не ошибка.

Пример 5

Вычислить , если ,

Задание 3

Дано комплексное число , найти . Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.

Решение: Представим число в тригонометрической форме:  (это число  Примера 8). Используем формулу Муавра :

Домашнее задание

1. Вычислить:  ;   ;  ;
2. Вычислить ; .

Извлечение корней из комплексных чисел.

Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел: 

, , , ,  и т.д. Во всех случаях получается два сопряженных комплексных корня.

Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?

Рассмотрим уравнение , или, то же самое: . 

Уравнение вида  имеет ровно  корней , которые можно найти по формуле:
, где  – это модуль комплексного числа ,  – его аргумент, а параметр  принимает значения: 

Пример 1

Найти корни уравнения 

Перепишем уравнение в виде 

В данном примере ,  , поэтому уравнение будет иметь два корня:  и .
Общую формулу можно сразу немножко детализировать:
, 

Теперь нужно найти модуль и аргумент комплексного числа :


Еще более детализируем формулу:
, 

Подставляя в формулу значение , получаем первый корень:

Подставляя в формулу значение , получаем второй корень:

Ответ: , 

При желании или требовании задания, полученные корни можно перевести обратно в алгебраическую форму.

Пример 2

Найти корни уравнения , где 

Сначала представим уравнение в виде :

Если , тогда 

Обозначим  привычной формульной буквой: .
Таким образом, требуется найти корни уравнения 

В данном примере , а значит, уравнение имеет ровно три корня: , , 
Детализируем общую формулу:
, 

Найдем модуль и аргумент комплексного числа :

Число  располагается во второй четверти, поэтому:

Еще раз детализируем формулу:
, 
Корень удобно сразу же упростить:

Подставляем в формулу значение  и получаем первый корень:

Подставляем в формулу значение  и получаем второй корень:

Подставляем в формулу значение  и получаем третий корень:

Очень часто полученные корни требуется изобразить графически:

Как выполнить чертеж?
Сначала на калькуляторе находим, чему равен модуль корней   и чертим циркулем окружность данного радиуса. Все корни будут располагаться на данной окружности.

Теперь берем аргумент первого корня  и выясняем, чему равняется угол в градусах: . Отмеряем транспортиром  и ставим на чертеже точку .

Берем аргумент второго корня  и переводим его в градусы: . Отмеряем транспортиром  и ставим на чертеже точку .

По такому же алгоритму строится точка 

Легко заметить, что корни расположены геометрически правильно с интервалом между радиус-векторами. 

Контрольная работа №5

по теме «Комплексные числа»

Вариант 1

1. Даны комплексные числа: , . Вычислите:

а);    б) ;     в) ;   г).

2. Вычислите:   а) (2 - i)(2 + i) - (3 - 2i) + 7;   б) i37.
3. Представить следующие комплексные числа в тригонометрической форме:  

   а) 3;        б) -5i;         в) 1 + i;         г).

4. Комплексные числа представлены в тригонометрической форме:

; . Вычислите:

;     б)

5. Решите уравнения в комплексных числах:

              а) ;            б)

Контрольная работа №5

по теме «Комплексные числа»

Вариант 2

1. Даны комплексные числа: , . Вычислите:

а);    б) ;     в) ;   г).

2. Вычислите:   а) (3 + i)(3 - i) - (6 + 2i) + 7;   б) i 23.
3. Представить следующие комплексные числа в тригонометрической форме:  

   а) -4;        б) 2i;         в) 1- i;         г).

4. Комплексные числа представлены в тригонометрической форме:

; . Вычислите:

;     б)

5. Решите уравнения в комплексных числах:

               а) ;                        б)

Подготовка к контрольной работе

1. Даны комплексные числа: , . Вычислите:

а);    б) ;     в) ;   г).

2. Вычислите:   а) (5 - i)(5 + i) - (7 - 2i) + 4;   б) i26.
3. Представить следующие комплексные числа в тригонометрической форме:  

   а) 4;        б) -2i;         в) 3 + 3i;         г).

4. Комплексные числа представлены в тригонометрической форме:

; . Вычислите:  ;     б)

5. Решите уравнения в комплексных числах:

              а) ;            б)

Домашнее задание

1. Даны комплексные числа: , . Вычислите:

а);    б) ;     в) ;   г).

2. Вычислите:   а) (4 + i)(4 - i) - (5 + 3i) + 2;   б) i 35.
3. Представить следующие комплексные числа в тригонометрической форме:  

   а) -5;        б) 3i;         в) 4 - 4i;         г).

4. Комплексные числа представлены в тригонометрической форме:

; . Вычислите:

;     б)

5. Решите уравнения в комплексных числах:

               а) ;                        б)