Задачи на прямую и обратную пропорциональность
статья по алгебре (7 класс)

Задачи на прямую пропорциональность

Основной принцип: Во сколько раз увеличивается (уменьшается) одна величина, во столько же раз увеличивается (уменьшается) вторая. Формула: y = k * x, где k — коэффициент пропорциональности.

Простой уровень (прямое вычисление)

1. Задача на стоимость.
   За 3 кг яблок заплатили 360 рублей. Сколько стоят 5 кг этих же яблок?
   Решение:
   Стоимость прямо пропорциональна массе.

1. 360 : 3 = 120 (руб.) — цена за 1 кг (коэффициент k).
2. 120 * 5 = 600 (руб.).
   Ответ: 600 рублей.

2. Задача на путь.
   Автомобиль за 2 часа проехал 180 км. Какое расстояние он проедет за 5 часов с той же скоростью?
   Решение:
   Путь прямо пропорционален времени при постоянной скорости.

1. 180 : 2 = 90 (км/ч) — скорость (k).
2. 90 * 5 = 450 (км).
   Ответ: 450 км.

Средний уровень (составление пропорции)

3. Задача на производительность.
   6 одинаковых труб наполняют бассейн за 24 минуты. За сколько минут наполнят бассейн 8 таких же труб?
   Решение:
   Время обратно пропорционально количеству труб (чем больше труб, тем меньше времени нужно). Это обратная пропорциональность, см. ниже. Давайте решим как прямую: производительность прямо пропорциональна числу труб.

1. Производительность 6 труб: 1/24 бассейна в минуту.
2. Производительность 1 трубы: (1/24) / 6 = 1/144 бассейна в минуту.
3. Производительность 8 труб: 8 * (1/144) = 8/144 = 1/18 бассейна в минуту.
4. Время: 1 : (1/18) = 18 минут.
   Ответ: 18 минут.

4. Задача на масштаб (подобие).
   На географической карте расстояние в 180 км изображено отрезком 3,6 см. Какой отрезок на карте изображает расстояние в 420 км?
   Решение:
   Длина отрезка на карте прямо пропорциональна реальному расстоянию.
   Составим пропорцию:
   3,6 см / 180 км = x см / 420 км
   x = (3,6 * 420) / 180 = 1512 / 180 = 8,4 (см).
   Ответ: 8,4 см.

Задачи на обратную пропорциональность

Основной принцип: Во сколько раз увеличивается (уменьшается) одна величина, во столько же раз уменьшается (уcreasesвается) вторая. Формула: y = k / x.

Простой уровень (прямое вычисление)

1. Задача на скорость и время.
   Велосипедист, двигаясь со скоростью 12 км/ч, проезжает путь от города до деревни за 4 часа. Сколько времени ему потребуется, чтобы проехать этот же путь со скоростью 16 км/ч?
   Решение:
   Время обратно пропорционально скорости (чем выше скорость, тем меньше время).

1. Найдем весь путь: 12 * 4 = 48 (км) — это константа k.
2. Найдем новое время: 48 : 16 = 3 (ч).
   Ответ: 3 часа.

2. Задача на количество рабочих.
   Для ремонта класса нужно 18 дней, если работают 4 маляра. Сколько маляров нужно, чтобы справиться с этой работой за 12 дней?
   Решение:
   Количество рабочих обратно пропорционально времени работы.

1. Найдем общий объем работы: 18 * 4 = 72 (человеко-дня) — k.
2. Найдем нужное количество маляров: 72 : 12 = 6 (маляров).
   Ответ: 6 маляров.

Средний уровень (составление пропорции)

3. Задача с дробными значениями.
   Два трактора вспахали поле за 6 дней. За сколько дней вспашут это поле 5 таких же тракторов?
   Решение:
   Составим обратную пропорцию:
   2 трактора — 6 дней
   5 тракторов — x дней
   x / 6 = 2 / 5 (отношение времени обратно отношению числа тракторов)
   x = (6 * 2) / 5 = 12 / 5 = 2,4 (дня).
   Ответ: 2,4 дня.
4. Комбинированная задача.
   Бригада из 8 рабочих выполняет заказ за 12 дней. Сколько рабочих должны выполнить тот же заказ за 8 дней, если производительность труда увеличилась в 1,2 раза?
   Решение:
   Это двухступенчатая задача.

1. Сначала учтем изменение времени. Объем работы постоянен. Пусть x — исходное число рабочих для нового времени.
   8 раб. — 12 дней
   x раб. — 8 дней
   x = (8 * 12) / 8 = 12 (рабочих). Столько бы потребовалось при старой производительности.
2. Теперь учтем рост производительности. Если производительность выросла в 1,2 раза, то рабочих нужно в 1,2 раза меньше.
   12 / 1,2 = 10 (рабочих).
   Ответ: 10 рабочих.

Задачи на определение типа зависимости (прямая или обратная)

Эти задачи полезны для проверки понимания концепции.

1. При постоянной цены стоимость покупки и масса товара.
   Ответ: Прямая пропорциональность.
2. Скорость движения и время, затраченное на прохождение одного и того же пути.
   Ответ: Обратная пропорциональность.
3. Возраст человека и размер его обуви.
   Ответ: Никакой (пропорциональность не постоянна).
4. Количество одинаковых станков и объем деталей, которые они производят за час.
   Ответ: Прямая пропорциональность.
5. Количество людей, делящих пиццу, и размер куска, который достанется каждому.
   Ответ: Обратная пропорциональность.

Практический совет

Чтобы не ошибиться, перед решением задавайте себе вопрос: «Если одна величина увеличится в несколько раз, что произойдет со второй?»

• Если увеличится тоже в это число раз — прямая пропорциональность.
• Если уменьшится в это число раз — обратная пропорциональность.
• Если изменение не подчиняется этому правилу — пропорциональности нет.