Технологическая карта и рабочий лист занятия "Показательные уравнения"
план-конспект занятия по алгебре (11 класс)

Дронова (Степанова) Татьяна Николаевна
Опубликовано 09.03.2026 - 17:05 - Дронова (Степанова) Татьяна Николаевна

Материал содержит технологическую карту, рабочий лист и задачи к занятию по теме "Показательные уравнения и системы. Основные приемы их решения. Решение задач, связанных с расчётом сложных процентов и определением срока вклада или кредита" для групп специальности "Банковсое дело" колледжа. Цель занятия -  продемонстрировать прикладное значение показательных уравнений в банковской и финансовой сфере; показать взаимосвязь математического аппарата с банковскими процессами (расчёт вкладов, кредитов, инвестиционных проектов), сформировать начальные навыки финансового моделирования. Для этого подобраны задачи с прикладным содержанием.

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл технологическая карта, рабочий лист и задачи к занятию по теме "Показательные уравнения и системы. Основные приемы их решения. 417.59 КБ

Предварительный просмотр:

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА ЗАНЯТИЯ

Дисциплина / группа/дата

ОДБ.03 МАТЕМАТИКА

Группа БД24-1, 31.10.2025

Тема занятия

Показательные уравнения и системы. Основные приемы их решения. Решение задач, связанных с расчётом сложных процентов и определением срока вклада или кредита

Ф.И.О. преподавателя

Дронова Татьяна Николаевна

Цель занятия

образовательная: сформировать у студентов систему знаний и умений по решению показательных уравнений, продемонстрировать их прикладное значение в банковской и финансовой сфере; показать взаимосвязь математического аппарата с банковскими процессами (расчёт вкладов, кредитов, инвестиционных проектов), сформировать начальные навыки финансового моделирования;

развивающая: развивать логическое и аналитическое мышление, умение применять математические методы для решения профессиональных задач, навыки работы с финансовыми формулами и калькулятором;

воспитательная: воспитывать интерес к математике как инструменту профессиональной деятельности, ответственное отношение к расчётам, культуру математической речи и оформления решений.

Задачи занятия

обучающие

развивающие

воспитательные

  • актуализировать знания свойств степеней и показательной функции;
  • освоить основные методы решения показательных уравнений (приведение к одинаковому основанию, вынесение общего множителя, замена переменной);
  • научиться применять логарифмирование для решения показательных уравнений;
  • отработать навыки преобразования показательных выражений и проверки корней
  • формирование самостоятельности мышления, мыслительных операций: сравнение, анализ, обобщение;
  • формирование навыков групповой и самостоятельной работы;
  • умение обобщать, абстрагировать и конкретизировать знания при применении формулы сложных процентов
  • воспитание умения контролировать свою деятельность и оценивать её;
  • воспитание познавательной активности, культуры общения
  • мотивировать к изучению математики как основы финансовой грамотности;
  • формировать ответственное отношение к точным расчётам в банковской сфере;
  • показать перспективы применения математических знаний в профессиональной деятельности банковского специалиста.

Формируемые УУД:

познавательные

  • самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели;
  • поиск и выделение необходимой информации;
  • структурирование знаний;
  • выбор эффективных способов решения задач;
  • рефлексия способов и условий действия

регулятивные

  • целеполагание
  • планирование
  • прогнозирование
  • контроль и самоконтроль
  • коррекция
  • оценка
  • волевая регуляция

коммуникативные

  • умение с достаточной четкостью выражать свои мысли,          
  • умение контролировать и оценивать действия партнера
  • сотрудничество
  • разрешение конфликтов
  • диалогическая и монологическая речь
  • презентация результатов.                        

Формируемые компетенции

ОК 01 Выбирать способы решения задач профессиональной деятельности применительно к различным контекстам

ОК 02 Использовать современные средства поиска, анализа и интерпретации информации, и информационные

технологии для выполнения задач профессиональной деятельности

ОК 04 Эффективно взаимодействовать и работать в коллективе и команде

ПК 1.1. Осуществлять расчетно-кассовое обслуживание клиентов

Образовательные ресурсы

Аппаратное обеспечение: мультимедийный компьютер, проектор.

Программное обеспечение: MS PowerPoint, MS Word

Тип занятия

Комбинированный урок

Формы и методы обучения

Проблемно-поисковый метод;  коллективная и индивидуальная работа; методы самоконтроля, взаимоконтроля.

Основные термины и понятия  

Показатель степени, основание степени, показательное уравнение, логарифм, сложные проценты.

Планируемые образовательные результаты

Студенты знают:
основные методы решения показательных уравнений и их применение в банковской сфере.

Умеют:

решать уравнения разными способами и использовать их для расчёта финансовых показателей.

Компоненты культурно-компетентностного опыта:

Умеют планировать и организовывать свою работу;

Умеют определять понятия;

Умеют высказывать и обосновывать свое мнение, участвовать в диалоге.

Умеют контролировать свою деятельность и оценивать ее

ОРГАНИЗАЦИОННАЯ СТРУКТУРА ЗАНЯТИЯ

Этап занятия

Деятельность преподавателя 

Деятельность студентов

Формы организации

Деятельность со средствами ИКТ

УУД

Организационный момент (1 мин.)

Проверка наличия студентов на занятии. Объявление темы урока

Подготовка к работе 

Фронтальная

Демонстрация слайда, содержащего дату и номер занятия, выполненного в среде MS PowerPoint

Регулятивные: составление плана и последовательности действий

Коммуникативные:

планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками — определение цели, функций участников, способов взаимодействия

Проверка домашнего задания (3 мин)

Проверка наличия и правильности выполнения домашнего задания. Анализ типичных ошибок

Решение на доске заданий, вызвавших затруднения дома

Фронтальная, индивидуальная

Демонстрация слайда, содержащего примеры из домашней работы с ответами, выполненного в среде MS PowerPoint

Регулятивные:

контроль в форме сличения способа выполнения домашнего задания и его результата с записанным на доске с целью обнаружения ошибок и неточностей

Познавательные:

выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий

Коммуникативные:

постановка вопросов — инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации

Мотивация и целеполагание

(4 мин)

Организация фронтального опроса, комментирование ответов

Ответы на вопросы преподавателя устно

Формулирование цели занятия

Запись темы занятия в тетрадь

Фронтальная

Демонстрация слайда, содержащего формулу сложных процентов и кейс с задачей на определение срока вклада для получения желаемой суммы,

слайдов с темой, целями и формируемыми компетенциями, выполненными в среде MS PowerPoint и MS Word

Регулятивные: фиксация индивидуального затруднения

Коммуникативные: выражение своих мыслей, аргументация своего мнения

Познавательные: самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели

Повторение опорных знаний (6 мин) мин)

Организация фронтального и индивидуального опросов, комментирование ответов, координирование самостоятельной работы обучающихся

Ответы на вопросы преподавателя и одногруппников устно

Запись в тетрадь свойств степени

Фронтальная, индивидуальная,

Демонстрация слайда, содержащего таблицу степеней, слайда со свойствами степени, выполненных в среде MS PowerPoint и MS Word

Регулятивные: фиксация индивидуального затруднения,

взаимоконтроль

Коммуникативные: выражение своих мыслей, аргументация своего мнения

постановка вопросов

Познавательные: осознанное построение речевого высказывания, подведение под понятие.

Изучение нового материала (12 мин)

Пояснение  нового материала с записью на доске, пояснение фактов, вызвавших затруднения

Конспектирование объясняемого материала, выяснение недопонятых моментов, ответы на вопросы преподавателя

Фронтальная, индивидуальная

 

Регулятивные: планирование и контроль способа достижения результата

Познавательные:        поиск и выделение необходимой информации.

Коммуникативные: формулирование уточняющих вопросов 

Актуализация знаний  (12 мин)

Координирует рассуждения студентов, организует и координирует самостоятельную работу студентов

Работают в мини-группах, решают показательные уравнения и кейс-задачу на определение срока вклада, представляют полученные решения группе.

Фронтальная, работа в малых группах

Регулятивные: вносят необходимые коррективы в действие после его завершения на основе учета характера сделанных ошибок.

Познавательные:

выбирают эффективные способы решения задач.

Коммуникативные: осуществляют диалоговое взаимодействие

Домашнее задание (2мин)

Инструктирует студентов по выполнению творческого домашнего задания.

Записывают задание из слайда презентации

Индивидуальная

Демонстрация слайда, содержащего варианты домашнего задания

Регулятивные:

выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению

Коммуникативные:

умение слушать и вступать в диалог

Итоги урока.

Рефлексия  

(7 мин)

Организует  фронтальную беседу, оценку результатов занятия, учитывая взаимо- и самооценку студентов

Высказывание собственного мнения, обобщение изученного в форме «СМС преподавателю»

Фронтальная, индивидуальная

Демонстрация слайда, содержащего формат СМС

Регулятивные: выделение и осознание того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения.

Познавательные: рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов

Коммуникативные: осуществлять диалоговое взаимодействие

Рабочий лист «Показательные уравнения»

(для специальности «Банковское дело»)

  1. Решите уравнения (покажите ход решения):

3x = 81      Решение:  

(заполните пропуски)

2. Приведение к одинаковому основанию
Решите: 8x=64

  • Шаг 1. Представим числа как степени двойки:
    8=2    3, значит 8x = (23)x =______​
    64=2    6
  • Шаг 2. Приравняем показатели: _____=6
  • Шаг 3. Решим уравнение: x=____

3. Вынесение общего множителя
Решите: 5x+1−5x = 100

  • Шаг 1. Вынесем 5x за скобки:
    5    x(5−1)=100 → 5x ⋅ ______ ​=100
  • Шаг 2. Разделим обе части на 4:     5x = ______​
  • Шаг 3. Представим 25 как степень 5:     5x =5​____
  • Шаг 4. Найдём x:   x=​_______

4. Замена переменной
Решите: 4x −5⋅2x +4=0

  • Шаг 1. Заметим, что 4x =(2x)2. Введём замену:
    Пусть     t=2x, тогда уравнение примет вид:
    t2−5t+4=0
  • Шаг 2. Решим квадратное уравнение:
    D= _______​,  t1​=​ ______,  t2​=​ _______
  • Шаг 3. Вернёмся к переменной x:
  1. 2x=t1​ → x=​ ________
  2. 2x=t2​ → x=​ ________

Задача 1. Удвоение капитала
Через сколько лет сумма вклада удвоится при ставке 7 % годовых с ежегодной капитализацией?

  • Уравнение: 2P=P⋅(1,07)t → 2=(1,07)t
  • Логарифмируем обе части:
    ln2=ln(1,07    t) → ln2=t⋅ln1,07
  • Выразите t:     t= ln2 /​ ln1,07
  • Вычислите (используйте калькулятор):  t≈​ __________лет

Ответ: ___________________________

Задача 2. Инвестиционный рост
Инвестиции растут по закону A(t)=A0​⋅e0,1t. За сколько лет капитал увеличится в 3 раза?

  • Уравнение: 3A0​=A0​⋅e0,1t → 3=e0,1t
  • Логарифмируем:   ln3=0,1t
  • Выразите t:   t=ln3​ / 0,1
  • Вычислите:    t≈​ ________ лет

Ответ: ___________________________

  Самопроверка (тест)

Выберите верный ответ или заполните пропуск:

  1. Корень уравнения 2x=32 равен:    а) 4 б) 5 в) 6 г) 3
  2. Упростите:  7x+2​ / 7x =​
  3. Какое уравнение соответствует росту вклада при 6 % годовых?   S=P⋅_________​t
  4. При ставке 5 % капитал удвоится примерно за:
    а) 10 лет б) 14 лет в) 20 лет г) 7 лет
  5. Метод решения уравнения 9x−4⋅3x+3=0:
    _____________________________________________________

Задача 1. Срок удвоения вклада (классика)

Вклад 150 000 руб. размещён под 7 % годовых с ежегодной капитализацией. Через сколько лет сумма достигнет 300 000 руб.?

Модель: 150000⋅(1+0,07)t  =300000

Решение:

  1. Делим обе части на 150 000: (1,07)t =2.
  2. Логарифмируем (например, по основанию 10):   lg(1,07t )=lg2  ⇒  t⋅lg1,07=lg2.
  3. Выражаем t:    t = lg2 / lg1,07 ​≈ 0,3010 / 0,0294​ ≈ 10,24.

Ответ: ≈ 10,24 года (т. е. чуть больше 10 лет и 3 месяцев).

Проверка: (1,07)10,24≈2,000 — верно.

Задача 2. Срок достижения целевой суммы при ежемесячной капитализации

Клиент хочет накопить 400 000 руб., положив 250 000 руб. под 6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Через сколько месяцев это произойдёт?

Модель:   Месячная ставка: 0,06 / 12​ = 0,005.

        Уравнение:   250000⋅(1 + 0,005)m = 400000, где m — число месяцев (неизвестная в показателе).

Решение:

  1. Делим на 250 000:  (1,005)m=1,6.
  2. Логарифмируем:  m⋅lg1,005=lg1,6   ⇒   m=lg1,6 / lg1,005​.
  3. Вычисляем: lg1,6≈0,2041;  lg1,005≈0,00217   ⇒   m≈0,2041 / 0,00217​ ≈ 94,06.

Ответ: ≈ 94 месяца (7 лет и 10 месяцев).

Интерпретация: Месячная капитализация ускоряет рост, но даже при 6 % накопление на 60 % требует почти 8 лет.

Задача 3. Определение срока при дробной ставке

Инвестор вложил 50 000 руб. в инструмент с доходностью 0,5 % в неделю. Через сколько недель сумма превысит 75 000 руб.?

Модель:  50000⋅(1+0,005)w > 75000, где w — число недель.

Решение

  1. Делим на 50 000:  (1,005)w > 1,5.
  2. Логарифмируем: w⋅lg1,005 > lg1,5   ⇒   w > lg1,5 / lg1,005​.
  3. Вычисляем:

lg1,5 ≈ 0,1761;  lg1,005 ≈ 0,00217   ⇒   w > 0,1761 / ​0,00217 ≈ 81,15.

Ответ: ≥ 82 недели (так как w должно быть целым и строго больше 81,15).

Проверка
(1,005)81≈1,498<1,5;  (1,005)82≈1,506>1,5 — верно.

Задача 4. Время обесценивания (отрицательный показатель)

Из-за инфляции деньги теряют 3 % покупательной способности в год. Через сколько лет 100 000 руб. будут стоить как 50 000 руб. сегодня?

Модель 100000⋅(1 – 0,03)t = 50000, где t — годы.

Решение

  1. Делим на 100 000:     (0,97)t = 0,5.
  2. Логарифмируем:   t⋅lg0,97 = lg0,5   ⇒   t= lg0,5 / lg0,97​.
  3. Вычисляем: lg0,5 ≈ −0,3010; lg0,97 ≈ −0,0132   ⇒   t ≈ −0,3010 ​/ (−0,0132) ≈ 22,80.

Ответ:  ≈ 22,8 года (т. е. около 23 лет).

Интерпретация:  При 3 % годовой инфляции деньги обесцениваются вдвое почти за четверть века.

Задача 5. Рост инвестиций с реинвестированием дивидендов

Акция растёт на 12 % в год, и все дивиденды реинвестируются. Через сколько лет стоимость портфеля увеличится в 3 раза?

Модель:   P⋅(1+1,12)t = 3P     ⇒      (1,12)t = 3, где t — годы.

Решение

  1. Логарифмируем:    t⋅lg1,12 = lg3    ⇒    t = lg3 / lg1,12​.
  2. Вычисляем:  lg3 ≈ 0,4771; lg1,12 ≈ 0,0492   ⇒   t ≈ 0,4771 / 0,0492​ ≈ 9,70.

Ответ: ≈ 9,7 года (почти 10 лет)

 

Задание на дом: Выполните любое задание из предложенных.

  • - «Комикс-инструкция»
  • Создайте 4–6 кадров комикса, где персонаж (например, начинающий банкир) пошагово решает показательное уравнение.
  • В подписях к кадрам объясните каждый этап («Приведём к одному основанию…», «Вынесем общий множитель…»).
  • Можно рисовать от руки или использовать онлайн-конструкторы 
  • - «Видео-объяснение для новичка»
  • Запишите короткое (1–2 мин) видео, где вы объясняете другу, как решить показательное уравнение (выберите одно из класса).
  • Используйте доску/бумагу для записей, говорите простыми словами.
  • Критерии: чёткость, логичность, минимум ошибок.
  • - «Банк прикладных задач»
  • Придумайте 2–3 задачи из банковской сферы, где нужно применить показательные уравнения.
  • Для каждой:
  • Сформулируйте условие (например, «Сколько лет потребуется, чтобы вклад вырос с 200 тыс. до 300 тыс. при ставке 6 %?»).
  • Запишите решение с пояснениями.
  • Оформите как мини-сборник (можно с иллюстрациями).

            


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Технологическая карта урока по теме «Решение уравнений» в 5 классе

Данная технологическая карта разработана для учащихся 5 класса с применением ЭОР и УУД....

Технологическая карта урока алгебры "Определение квадратного уравнения"

Учебный предмет: математика (модуль «Алгебра»).Класс: 8 класс.Автор УМК (программы учебного курса): Ю.Н. Макарычев и др., под  ред. С.А. Теляковского «Алгебра. 8 класс&raq...

Технологическая карта урока 6 класс "Решение уравнений"

План - конспект урока по математике в 6 классе по решению уравнений...

Технологическая карта к уроку по теме "Уравнения"

Технологическая карта урокаРеализация ФГОС при проектировании урока математики (по теме «Решение уравнений») Учебный предмет: математикаКласс: 5Тема урока: «Уравнения».Тип урока: Урок  изуче...

Технологическая карта урока по теме «Решение уравнений»

Это обобщающий урок с применением технологии проблемного обучения, личностно- ориентированного обучения, ИКТ- технологии в 6 классе в рамках реализации ФГОС....

Технологическая карта урока по теме « Квадратные уравнения»

           Технологическая карта урока    по подготовке к основному государственному экзамену по математике    выпускников 9-х классов по теме...

Технологическая карта изготовления остроконечных листьев со сборками.

Изготовление остроконечных листьев...