Классическое определение вероятности
методическая разработка по алгебре (9 класс)

Филиал муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения «Кяхтинская средняя общеобразовательная школа № 4» (СОШ № 19) Монголя, г.Эрдэнэт

Тема урока «Классическое определение вероятности»

Венжик Тамара Дмитриевна,

учитель математики,

высшая квалификационная категория

Звучит музыка. В.Мулерман «По теории вероятности».

Цели урока:

1. Познакомить учащихся с новым разделом математики: "Теория вероятности", с ее основными понятиями и задачами. Формировать умения решать задачи на определение вероятности. Показать практическую направленность изучаемого вопроса.
2. Развивать логическое мышление, умение делать выводы, в результате взаимосвязанных умозаключений, построенных на анализе ситуации, внимание, память, речь в ходе устных ответов и объяснений решений задач; развитие математической речи путём введения в активный словарь основных  понятий изучаемого раздела.
3. Воспитывать стремление добиваться наилучших результатов, умение рефлексировать.

Задачи: дать ученикам возможность осознать разницу между теоретическим ответом и результатом, полученным эмпирическим путем; проверить умения решать задачи по теории вероятности.

Тип урока: формирование новых знаний

Формы организации учебной деятельности обучающихся: коллективная и индивидуальная, в парах, в малых группах.

Методы работы: рассказ, беседа, эксперимент.

Оборудование

• Презентация
• Ребус
• Задачи, по изучаемой теме
• Карты, кубики, монеты

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Сегодня мы с вами начнем урок с игры. Во время игры попробуем ответить на вопрос: «Как играть, чтобы не проиграть?»

Игра: у меня в руках два зажима – два зеленых и один желтый. Вызываю к доске двух учеников, которые становятся лицом к классу и закрывают глаза. Прицепляю СЛУЧАЙНЫМ ОБРАЗОМ каждому из них на голову зажим, а оставшийся прячу в руке. Ученики открывают глаза, и каждый видит зажим на голове своего товарища, но не видит свой. Может ли кто−нибудь из них определить цвет своего зажима?

Рассматриваем два случая:

а) прицеплены желтый и зеленый зажим;
б) прицеплены два зеленых зажима.

Решение:
а) если ученик видит на голове своего товарища желтый зажим, то значит у него зажим однозначно зеленый, так как желтых больше не осталось;
б) если ученик видит на голове своего товарища зеленый зажим, то значит, у него свой зажим либо зеленый, либо желтый, поэтому определить цвет своего зажима в этом случае нельзя. Но товарищ, глядя на него молчит, значит, у меня зеленый зажим.

Ответ:

а) может определить;
б) может определить.

Как вы думаете, выигрыш был СЛУЧАЙНЫМ, или это закономерный итог логических рассуждений?

«Ничего не бывает случайного, все имеет первопричину». Зигмунд Фрейд (австрийский психолог, психиатр и невропатолог, создатель психоанализа) СЛАЙД 1

2. Подготовка к восприятию нового материала

Наша жизнь во многом состоит из случайностей. Существует такая наука «Теория вероятностей» - наука, которая занимается оценкой вероятностей случайных событий. Пользуясь ее языком, можно описать многие явления и ситуации.       СЛАЙД 2

Еще первобытный вождь понимал, что у десятка охотников «вероятность» поразить копьем зубра больше, чем у одного. Поэтому и охотились тогда коллективно.

Такие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали не только на доблесть и искусство воинов, но и на случай.

Математику многие любят за вечные истины: дважды два всегда четыре, сумма четных чисел четна, площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон и т. д. В любой задачах, которые вы решали, у всех получается один и тот же ответ – нужно только не делать ошибок в решении.

  Теория вероятностей неразрывно связана с нашей повседневной жизнью. Это дает нам замечательную возможность установить многие вероятностные законы опытным путем, многократно повторяя случайные эксперименты. Материалами для этих экспериментов чаще всего будут обыкновенная монета, игральный кубик, набор домино, нарды, рулетка или даже колода карт. Каждый из этих  предметов,  так или иначе, связан с играми. Дело в том, что случай здесь предстает в наиболее частом виде. И первые вероятностные задачи были связаны с оценкой шансов игроков на выигрыш. СЛАЙД 3

   Современная теория вероятностей ушла от азартных игр, но их реквизит по-прежнему остается наиболее простым и надежным источником случая. Поупражнявшись с монетами, картами и кубиком, вы научитесь вычислять  вероятность случайных событий в реальных жизненных ситуациях, что позволит вам оценивать свои шансы на успех, проверять гипотезы, принимать оптимальные решения не только в играх и лотереях.

Основателями теории вероятностей были французские математики Б. Паскаль и П. Ферма, и голландский ученый Х. Гюйгенс.                      СЛАЙД 4

Обратимся к словам одного из них. Блез Паскаль говорил: «Случайные открытия делают только подготовленные умы». Так, например, Ньютону упало на голову яблоко и он открыл закон всемирного тяготения, Д.И.Менделееву таблица химических элементов приснилась во сне. Вот и мы сейчас займемся этим, что подготовим наш ум для открытий.

3. Изучение нового материала

Каждая наука, при изучении явлений материального мира, оперирует теми или иными понятиями, среди которых обязательно имеются основополагающие.

В теории вероятности тоже есть основные понятия. И чтобы узнать его разгадаем ребус.

СЛАЙД 5

В теории вероятности основным является понятие события.

Что такое событие?  

СОБЫТИЕ – это явление, которое происходит в результате осуществления каких -либо условий.

Во многих играх используют кубик, у которого на каждой грани отмечено различное количество точек от 1 до 6. Играющий бросает кубик, смотрит, сколько точек выпало (на той грани, которая располагается сверху), и делает соответствующее число ходов:1, 2, 3, 4, 5 или 6. Бросание кубика можно считать опытом, экспериментом, испытанием, а полученный результат – событием. Людям обычно очень интересно угадывать наступление того или иного события, предсказывать его исход. Какие предсказания они могут сделать, когда бросают игральный кубик?

СЛАЙД 6

Первое предсказание: на кубике выпадет одна из цифр 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Как вы думаете, предсказанное событие наступит или нет? Конечно, обязательно наступит.

При подбрасывании монеты выпадет орел или решка.

Событие, которое в данном опыте обязательно наступит, называют достоверным событием.

Второе предсказание: на кубике выпадет пустое поле. Как вы думаете, предсказанное событие наступит или нет?  Конечно, не наступит, это просто невозможно.

Монета при подбрасывании зависнет в воздухе.

Событие, которое в данном опыте наступить не может, называют невозможным событием.

Третье предсказание: на кубике выпадет цифра 1. Как вы думаете, предсказанное событие наступит или нет? На этот вопрос мы с полной уверенностью ответить не в состоянии, поскольку предсказанное событие может наступить, а может и не наступить.

При подбрасывании монеты выпадет орел.

 События, которые в одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти,  называются случайными.

СЛАЙД 7 (примеры событий)

СЛАЙД 8     Задание: Проверь себя.

Укажите, какие из следующих событий невозможные, какие – достоверные, какие – случайные:

• Футбольный матч «Спартак» - «Динамо» закончится вничью  (случайное )
• Вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее                   (достоверное)
• В полночь выпадет снег, а через 24 часа будет светить солнце  (невозможное)
• 30 февраля будет дождь.                                                                  (невозможное) 
• Завтра будет контрольная по математике                                      (случайное )
• Пингвины не летают                                                                         (достоверное)
• Вас изберут президентом России.                                                  (случайное )
• Вода становится теплее при нагревании                                        (достоверное)
• Человек рождается старым и каждый день становится моложе (невозможное)
• В доме живет кошка                                                                          (случайное)

Выровняться, закрыть глаза и сделать глазами круг.

Классическое определение вероятности и её свойства.

Проведем следующий опыт или испытание: будем подбрасывать монету 10 раз. Какие возможны исходы? (Орел или решка) Как вы думаете, они будут равновозможными? Посмотрим, сколько раз выпадет орел. Орел выпал 4 раза из 10. Говорят, что вероятность выпадения орла в данном случае 4/10=0,4.   ПРОВЕСТИ ОПЫТ С МОНЕТОЙ.

СЛАЙД 9

Итак, тема урока сегодня: «Классическое определение вероятности» (обучающиеся записывают тему в тетрадь). Существует несколько определений этого понятия.

СЛАЙД 10

В  толковом  словаре  С.И. Ожегова:

«Вероятность – возможность исполнения, осуществимости чего-нибудь».

Основатель современной теории вероятностей А.Н.Колмогоров говорил так:

«Вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, м'0гущих повторяться неограниченное число раз условиях».

Принято обозначать вероятность события А: Р(А). Так как слово «вероятность» по – английски – probability.

Теория вероятности дает нам способ нахождения численного значения вероятности события.

Давайте вернемся к опыту с монеткой. Пусть множество исходов данного опыта состоит из п равновозможных исходов (общее количество подбрасываний), в m из которых происходит событие А (выпадение орла). Мы составили соотношение числа благоприятных исходов к числу всех исходов. Таким образом, мы с вами численно выразили вероятность выпадения орла в серии наших испытаний.

(обучающиеся записывают в тетрадь)

СЛАЙД 11

Вероятностью события А называется число, равное отношению числа исходов, в которых произойдет событие А, к числу всех исходов опыта. Кратко запишем формулой определение: .

СЛАЙД 12

Алгоритм нахождения вероятности события А:

1. Найти число п всех возможных исходов данного опыта;
2. Принять предположение  о равновероятности (равновозможности) всех этих исходов;
3. Найти количество(благоприятных) исходов m, в которых наступает событие А;
4. Найти частное m /п, оно и будет равно вероятности события А.

СЛАЙД 13

А теперь давайте попробуем сформулировать свойства вероятности. Для этого проделаем еще один опыт. Перед вами коробка с шарами – 3 сиреневых, 2 красных, 1 зеленый. Определите вероятность того, что наудачу выбранный шар окажется:

1. черным? (вероятность 0, т.к. нет черных шаров) т.е. вероятность невозможного события равна 0;
2. сиреневым? (3/5<1), красным? (2/5<1), зеленым? (1/5<1) т.е. вероятность случайного события меньше 1, но больше 0;
3. цветным? (5/5 = 1, т.к. все шары цветные) т.е. вероятность достоверного события равна 1.

СЛАЙД 14

Проводим эксперимент – участвуют три группы

1. 1 группа – подбросить два игральных кубика 18 раз. Записать количество исходов, в которых сумма очков на двух кубиках будет равна 7.

Какова вероятность того, что при подбрасывании двух кубиков выпадет в сумме 7 очков?

СЛАЙД 15

Решение: Всего различных вариантов, которые могут выпасть при броске сразу двух игральных костей:

n - число всевозможных исходов события А: 6 * 6 = 36,

из них вариантов, которые дают в сумме семь очков, m - число благоприятствующих исходов события А: 1 + 6 = 7, 6 + 1 = 7, 2 + 5 = 7, 5 + 2 = 7, 3 + 4 = 7, 4 + 3 = 7.

Воспользуемся классическим определением вероятности: Р(А)=m/n.

Как видно, таких вариантов всего 6 из 36. Значит, искомая вероятность будет составлять:

Р(А)=1/ 36 = 1/ 6.

СРАВНИТЬ С ТЕМ, ЧТО ПОЛУЧИЛОСЬ У ДЕТЕЙ.

2. 2 группа – из колоды в 36 карт наудачу извлечь 18 раз одну карту. Записать количество исходов, когда извлекался туз.

Какова вероятность события: вынутая карта – туз.

Решение:

Найдем вероятность события - вынутая карта - туз.

Воспользуемся классическим определением вероятности: Р(А)=m/n.

n - число всевозможных исходов события А, т. е. число способов выбрать одну карту из 36: n=36.

m - число благоприятствующих исходов события А, т. е. число способов выбрать одного туза из 4 (в колоде из 36 карт всего 4 туза): m=4.

Вероятность события А равна:

P(A) = 4/36=1/9.

СРАВНИТЬ С ТЕМ, ЧТО ПОЛУЧИЛОСЬ У ДЕТЕЙ.

3. 3 группа – подбросить две монеты одновременно 20 раз. Записать количество выпадений «орёл-орёл». Какова вероятность выпадения события: «орёл-орёл».

Решение:

Найдем вероятность события – орел-орел.

Воспользуемся классическим определением вероятности: Р(А)=m/n.

n - число всевозможных исходов события А, т. е. число способов выпадения любой комбинации монет: n=4.

m - число благоприятствующих исходов события А, т. е. число способов выпадения орел-орел: m=1.

Вероятность события А равна:

P(A) = ¼=0,25.

СРАВНИТЬ С ТЕМ, ЧТО ПОЛУЧИЛОСЬ У ДЕТЕЙ.

СЛАЙД 16

Задачи:

Из колоды в 36 карт наудачу извлекается одна карта. Какова вероятность события:

1) вынутая карта черной масти, 2) вынутая карта  - картинка, т. е. является валетом, дамой, королем, 3) вынутая карта – дама пик.

1. Найдем вероятность события – вынутая карта черной масти.

n - число всевозможных исходов события, т. е. число способов выбрать одну карту из 36: n=36.

m - число благоприятствующих исходов событию, т. е. число способов выбрать одну карту черной масти из 18 (в колоде из 36 карт всего 18 карт черной масти): m=18.

Вероятность события А равна:

P(A) =18/36=1/2=0,5.

2. Найдем вероятность события  – вынутая карта  - картинка, т. е. является валетом, дамой или королем.

n - число всевозможных исходов события А, т. е. число способов выбрать одну карту из 36: n=36.

m - число благоприятствующих исходов событию 12 (в колоде из 36 карт всего 12 карт с фигурой): m=12.

Р(А)=12/36=1/3=0,(3).

3. Найдем вероятность события  – вынутая карта  - дама пик.

n - число всевозможных исходов события F, т. е. число способов выбрать одну карту из 36: n=36.

m - число благоприятствующих исходов событию, т. е. число способов выбрать даму пик - 1 (в колоде из 36 карт всего 1 карта с дамой пик): m=1.

Р(А)=1/36=0,02(7).

СЛАЙД 17

4. Решение задач № 10 ОГЭ.

1) На экзамене 25 билетов, Сергей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.                                                                        (Р(А)=22/25=0,88).

2) В мешке содержатся жетоны с номерами от 2 до 51 включительно. Какова вероятность, того, что номер извлеченного наугад из мешка жетона является однозначным числом? (Р(А)=8/50=0,16).

3) В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 3 черных, 6 желтых и 6 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое такси. (Р(А)=6/15=0,4).

4) В магазине канцтоваров продается 100 ручек, из них 37 – красные, 8 – зеленые, 17 – фиолетовые, еще есть синие и черные, их поровну. Найдите вероятность того, что Алиса наугад вытащит красную или черную ручку.                (Р(А)=19/100=0,19).

5) Стрелок три раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок первые два раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.                           (Р(А)=0,7*0,7*0,3=0,147).

5. Итог урока.

Вопросы учащимся:

- Какие события называются случайными?

- Какие события называются равновероятными?

- Какие события называются достоверными? невозможными?

- Какие события называются более вероятными? менее вероятными?

6. Рефлексия. Поставить на листочках смайлик, соответствующий понятийному восприятию материала. Выставить отметки, задать дз.

Закончить фразой «Весьма вероятно наступление невероятного»

СЛАЙД 19

Дома:

1. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 15 до 29 делится на 5?
2. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.
3. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, большее 3.
4. Известно, что в некотором регионе вероятность того, что родившийся младенец окажется девочкой, равна 0,488. В 2010 г. в этом регионе на 1000 родившихся младенцев в среднем пришлось 532 мальчика. Насколько частота рождения мальчика в 2010 г. в этом регионе отличается от вероятности этого события?
5. Стрелок три раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что стрелок первый раз попал в мишени, а последние два раза промахнулся.

Самостоятельная работа:

1. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России. 9/20=0,45
2. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет меньше 4.  Ответ 0,4
3. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 1. (Ответ. 6/12= 0,5 (6 делений между 12 и 7, всего 12 делений).

Используемая литература

1. В.А.Булычев, Е.А.Бунимович. Изучение теории вероятностей и статистики в школьном курсе математики. “Математика в школе”.
2. Абдрахманов А.М., Абдрахманова А.А. Теория вероятностей в примерах и задачах: Учебное пособие. Уфа, БИРО, 2009.

Электронные источники информации 

• Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика 5-9. Электронное учебное пособие на CD-ROM. – М.: Дрофа, 2003.
• www.teorver.ru
• http://ru.wikipedia.org/wiki/Теория_вероятности.

1. Организационный момент
2. Подготовка к восприятию нового материала
3. Изучение нового материала
4. Решение задач
5. Итог урока.
6. Рефлексия.