Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация)

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

«Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации

имени Главного маршала авиации А.А.Новикова»

Авиационно-транспортный колледж

Шувалова М.А.

МАТЕМАТИКА

Часть 1

Рабочая тетрадь

Направление подготовки (специальность)

25.02.05 Управление движением воздушного транспорта

Очная форма обучения

по дисциплине ОП.01 Математика

Санкт-Петербург

2026

Рассмотрено и одобрено на заседании ЦК№2

Авиационно-транспортного колледжа

(протокол от 02.03.2026 №5)

Математика: рабочая тетрадь / Сост. М.А. Шувалова; ФГБОУ ВО СПбГУ ГА им. Главного маршала авиации А.А. Новикова; Авиационно-транспортный колледж. – Санкт-Петербург, 2026. - 37 с.

Составлена в соответствии с примерной рабочей программой учебной дисциплины «Математика» с учетом требований Федерального государственного образовательного стандарта для среднего профессионального образования.

Рабочая тетрадь содержит комплекс вопросов и заданий по разделу «Основные понятия и методы математического анализа» по теме «Основы дифференциального исчисления». Представленные задания включают в себя вопросы теоретического характера и практические задачи.

Предназначена для курсантов 1-го курса, обучающихся по специальности 25.02.05 Управление движением воздушного транспорта.

Составитель Шувалова М.А., преп. ЦК №2 АТК СПбГУ ГА.

Оглавление

Раздел 1. Основные понятия и методы математического анализа        4

Тема 1.1 Основы дифференциального исчисления        4

Определение функции        4

Предел функции. Основные теоремы о пределах функции        10

Методы раскрытия неопределенностей при вычислении пределов        13

Замечательные пределы        27

Критерии оценки        35

Литература        36

Раздел 1. Основные понятия и методы математического анализа

Тема 1.1 Основы дифференциального исчисления

Определение функции

Задание 1.

Заполните пропуски в тексте.

Постоянной величиной (const) называется величина, _____________ ________________________. Обозначается как: a, b, c,… Пример: число π.

Переменной величиной называется величина, которая ____________ __________________________. Обозначается как: x, y, w, t,… Пример: скорость машины.

Множеством называется совокупность каких-либо _______________. Обозначаются как: A, B, C… Пример: множество натуральных чисел (={______________}).

Пусть X, Y – _______________ множества. Говорят, что на множестве определена функция f, если каждому элементу x из множества X поставлен в соответствие ____________________ элемент y множества Y. Обозначение: . x называют ____________________ переменной (аргументом), y – зависимой переменной (_________________).

При этом X называются областью определения данной функции (D(f)), Y – область ______________________. Областью значений функции (E(f)) называется множество всех возможных значений, которые принимает _________________ при всех допустимых значениях аргумента из области __________________.

График функции  – это множество пар (x, y) точек ___________________ Oxy. Заметим, что не всякий график является графиком функции.

Способы задания функции:

1. Аналитический способ – задание функции одной или несколькими ________________________;

2. Табличный способ – представление зависимости между _________ ________________________________ в виде таблицы;

3. ____________________ способ – построение графика функции;

4. Словесный способ – описание поведения функции с помощью слов, то есть про функцию нужно как бы рассказать.

Основными элементарными функциями называются следующие
функции:

1. Степенная (например:)
2. _____________________________ (например:);
3. Логарифмическая (например:);
4. _____________________________ (например:);
5. Обратные тригонометрические (например: ).

Пусть заданы две функции  и , причем множество значений функции  принадлежит области определения функции _______________. Тогда говорят, что определена функция , которая называется __________________ функцией. Пример: .

Функция называется четной, если для любого значения x из области определения существует ________ из области определения и _______________________. Функция называется нечетной, если для любого значения x из области определения существует ________ из области определения и _______________________. В противном случае функция называется функцией _______________________.

Функция называется периодической с периодом T≠ 0, если для любых значений x из области определения  _______________________.

Задание 2.

Проверьте функцию на чётность/ нечётность.

Задание 3.

Приведите примеры:

1. Постоянной величины: ______________________________________;
2. Переменной величины: ______________________________________;
3. Множества: ________________________________________________;
4. Функции: __________________________________________________;
5. Степенной функции: ________________________________________;
6. Показательной функции: _____________________________________;
7. Логарифмической функции: __________________________________;
8. Тригонометрической функции: _______________________________;
9. Обратной тригонометрической функции: _______________________;
10.  Сложной функции: _________________________________________;
11.  Чётной функции: ___________________________________________;
12.  Нечётной функции: _________________________________________;
13.  Периодической функции: ____________________________________.

Задание 4.

Выберите график, который не является графиком функции. Ответ обоснуйте.

Задание 5.

По словесному описанию функции задайте ее аналитически, таблично и графически.

1. Значение функции равняется удвоенному значению аргумента.

2. Каждому действительному значению аргумента соответствует квадрат этого значения.

Задание 6.

В данных сложных функциях выделите внутреннюю и внешнюю функции.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10.  .

Предел функции. Основные теоремы о пределах функции

Задание 1.

Допишите определения.

Предел функции  в точке a – это значение _____________________ ________________________________________________________________. Определение предела не требует существования функции в самой точке a, то есть x стремится к a, но ________________________________.

Если при стремлении x к a переменная x принимает лишь значения меньшие a или, наоборот, лишь значения, большие a и при этому функция стремится к некоторому числу , то говорят об ________________ ________________________________________________________________.

Функция  называется бесконечно малой в точке ,
если _____________________________.

Функция называется бесконечно большой в точке ,
если _____________________________.

Задание 2.

Продолжите теоремы о пределах функции.

1. Точка A является пределом функции в точке a тогда и только тогда, когда A является также пределами _______________________ ___________________________________________________
2. Если существует и конечен, то он _________________
3. _____________________
4. __________________________________
5. ___________________________________
6. __________________________, где c – const.
7. _______________________, если _______________
8. Если , то ____________________________________
9. Если , то ____________________________________
10. Если  бесконечно малая функция при , то функция  является ___________________________________________
11. Если бесконечно большая функция при , то функция  является ___________________________________________
12. Если  и , то

1. ________________, символическая запись: [_______________];
2. ______________, [_______________];
3. ______________, [_______________].

13. Если  и , то

1. ___________, [_______________];
2. ___________, [_______________].

14. Если  и , то

1. ___________, [_______________];
2. ____________, [_______________].

15. Если  () и , то

,   [______________].

16. Если  () и , , то

,  [______________].

Аналогичные результаты будут иметь место, если  или .

17.  Если функция  имеет в точке  конечный предел , то справедливы следующие равенства:

1. ___________________;
2. ___________________, если m – четное число, то ;
3. ___________________, при b>0, b≠1;
4. ___________________, при b>0, b≠1.

Аналогично результаты будут иметь место, если  или .

Методы раскрытия неопределенностей при вычислении пределов

Задание 1.

Решите пределы функций с помощью метода прямой подстановки как в примерах.

Пример 1. .

Пример 2. .

Задание 2. Тест

Найдите с помощью метода подстановки значение, соответствующее пределу функции.

1.  =

)      б) ;      в) .

Ответ:_____________________

)      б) ;      в) .

Ответ:_____________________

)      б) ;      в) .

Ответ:_____________________

)      б) ;      в) .

Ответ:_____________________

)      б) ;      в) .

Ответ:_____________________

)      б) ;      в) .

Ответ:_____________________

Задание 3.

Решите пределы функции с неопределенностью вида  как в примерах.

Пример 1. . Учли, что , , ,  при .

Пример 2. = (старшая степень x равна 5  делим на  и числитель, и знаменатель) .

Пример 3. (разделим на старшую степень x и числитель, и знаменатель и воспользуемся теоремой о предельном переходе) .

Задание 4. Тест

Найдите с помощью метода решения пределов вида  значение, соответствующее пределу функции.

1.  =

)      б) ;      в) .

Ответ:_____________________

)      б) ;      в) .

Ответ:_____________________

)      б)       в) .

Ответ:_____________________

)      б) ;      в) .

Ответ:_____________________

)      б) ;      в) .

Ответ:_____________________

)      б) 0;      в) .

Ответ:_____________________

Задание 5.

Решите пределы функции с неопределенностью вида  как в примерах.

Пример 1. .

Пример 2. .

Пример3.